專題01 翻折問題（原卷版）

專題01翻折問題一、解答題1．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，DC=4，求AD的長．小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題：（1）分別以AB，AC所在直線為對稱軸，畫出△ABD和△ACD的對稱圖形，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長EB和FC相交于點(diǎn)G，求證：四邊形AEGF是正方形；（2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長．2．（2019秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）在初二的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．張老師在課堂上又提出了這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）經(jīng)過小組合作交流后，小明代表小組發(fā)言，他們發(fā)現(xiàn)了AB＝2BC，證明方法如下：證明：如圖2，把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（請?jiān)谙旅嫜a(bǔ)全小明的證明過程）（2）受到小明“翻折”方法的啟發(fā)，另一組代表小剛發(fā)言：如圖3，在△ABC中，如果把條件“∠ACB＝90°”改為“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不變，若BC＝1，求AB的長．3．（2021秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）問題：如圖1，在等邊三角形△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，ED＝EC，回答下列問題：（1）與AE相等的線段是．（2）請證明（1）中得到的結(jié)論，證明思路如下：①小聰思路：如圖2，過E作EF//BC，交AC于點(diǎn)F，請你完成剩下解答過程；②小明思路：如圖3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，請你完成剩下解答過程．4．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）閱讀下面的問題及解決途徑．結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問題．(1)填寫下面的表格．(2)將函數(shù)y＝－2x2＋3x＋1的圖像沿y軸翻折，所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．(3)將函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的圖像先向左平移1個(gè)單位長度，再沿y軸翻折，最后繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，求所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．5．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在數(shù)學(xué)活動(dòng)《折紙與證明》中，有這樣的一段活動(dòng)材料：①如圖①，把正方形ABCD對折后再展開，折痕為EF；②如圖②，將點(diǎn)A翻折到EF上點(diǎn)處，且使折痕過點(diǎn)B；③如圖③，沿折疊，得（如圖④）．回答下列問題：(1)判斷：的形狀為______________；并說明你的理由；(2)若正方形紙片的邊長為2，則線段的平方的值為______________．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點(diǎn)A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系__________________；【類比運(yùn)用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點(diǎn)C落在邊上的E處，展開后連接，這樣可以將問題解決（如圖4）；請幫小明寫出解答過程：【實(shí)踐拓展】（4）如圖5，在一塊形狀為四邊形ABCD的空地上，養(yǎng)殖場丁師傅想把這塊地用柵欄圍成兩個(gè)小型的養(yǎng)殖場，即圖5中的和，若平分．請你幫丁師傅算一下需要買多長的柵欄．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有一個(gè)，按要求回答下列問題：(1)的面積為；(2)畫出將向右平移6格，再向上平移3格后的；(3)畫出繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形；(4)畫出沿直線翻折后的圖形．8．（2020·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）閱讀材料：等腰三角形具有性質(zhì)“等邊對等角”．事實(shí)上，不等邊三角形也具有類似性質(zhì)“大邊對大角”：如圖1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．證明如下：將AB沿△ABC的角平分線AD翻折（如圖2），因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)B落在AC的延長線上的點(diǎn)B'處．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．（1）靈活運(yùn)用：從上面的證法可以看出，折紙常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．由此小明想到可用類似方法證明“大角對大邊”：如圖3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分線翻折……請你幫助小明完成后面的證明過程．（2）拓展延伸：請運(yùn)用上述方法或結(jié)論解決如下問題：如圖4，已知M為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AM并延長，交BC的延長線于點(diǎn)N．求證：AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江蘇·九年級期末）折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分線AD翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C′處（如圖2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解決下列問題：（1）如圖2，上述閱讀材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，則∠C′DB＝_______°．（2）如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面積．（3）如圖4，△ABC中，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度數(shù)．10．（2021春·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）問題背景如圖1，矩形中，，，、分別是、的中點(diǎn)，折疊矩形，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為．（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的邊上作出點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，判斷的形狀；（3）如圖2，若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，在左側(cè)作等邊三角形；連接，則的最小值是______；（4）如圖3，若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)將沿翻折，得，所在直線交直線于點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為多少？請直接寫出答案．11．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期中）問題情境：如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易證：CE＝DF．（不需要寫出證明過程）問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上請研究．(1)如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．判斷線段AE與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，CQ（圖中未連），判斷線段EQ與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)在（2）的條件下延長EQ交邊AD于點(diǎn)F．則∠AEF=°；(4)拓展提高：如圖3，若該正方形ABCD邊長為8，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B′C′恰好經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AG⊥MN，垂足分別為G，若AG＝5，請直接寫出AC′的長．12．（2022·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）（1）背景問題：如圖①，已知矩形ABCD，E是邊CD上一點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折，使得C落在AD上的點(diǎn)F處，求證：△ABF∽△DFE．

（1）嘗試應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD中，∠A=∠D=90°，點(diǎn)E在AD上，∠BEC=90°，2∠BCE+∠ECD=180°，過點(diǎn)E作EF⊥BC垂足為F，若EF=2，BC=5，求AE的長．（2）拓展創(chuàng)新：如圖③，已知矩形ABCD，AB=9，BC=12，E是邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折至△BPE，連接AP在上取點(diǎn)T，使得PT=2AT，連接DT，求出DT長度的最小值．13．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AB＝6cm，BC＝8cm點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s；點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，MN是過點(diǎn)F的直線，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，且在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持MN⊥BD．連接EM、EN、EF，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0<t<3.6），請回答下列問題：(1)求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFD∽△ABD?(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFD為等腰三角形；(3)將△EMN沿直線MN進(jìn)行翻折，形成的四邊形能否是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（2022秋·江蘇·九年級期中）(1)【原題呈現(xiàn)】在課本中，安排有這樣一個(gè)思考問題：“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論”老師在課堂中提出這樣的問題，并展示了小明的部分解答小明：AB=2BC．證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：點(diǎn)B、C、D在一條直線上．（請?jiān)谙旅嫜a(bǔ)全小華后面的證明過程）(2)【變式拓展】如圖2，在△ABC中，把（1）中條件“∠ACB=90°”改為“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不變，則．(3)【能力遷移】我們發(fā)現(xiàn)，翻折可以探索圖形性質(zhì)，請利用翻折解決下面問題．如圖3，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，探求AD、DB、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題情境：如圖1，P是外的一點(diǎn)，直線PO分別交于點(diǎn)A，B．(1)探究證明：如圖2，在上任取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)A，B重合)，連接，求證：；(2)直接應(yīng)用：如圖3，在中，，，以為直徑的半圓O交于D，P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．(3)構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長為2的菱形中，，M是的中點(diǎn)，N是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值為．(4)綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)，點(diǎn)，分別以1，2為半徑作、，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出的最小值為．16．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具，類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究．下表是探究過程中的部分信息：x…012……4a14…請按要求完成下列各小題：(1)a的值為______；(2)在圖中畫出該函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合函數(shù)的圖象，解決下列問題：①下列說法正確的是：______．（填所有正確選項(xiàng)）A．函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大②直接寫出不等式的解集為______．(4)將該函數(shù)圖像在直線上方的部分保持不變，下方的部分圖像沿直線進(jìn)行翻折，得到新函數(shù)圖像，若經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)圖像與新函數(shù)圖像W只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請直接寫出k滿足的條件______．17．（2017江蘇省宿遷市，第25題，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點(diǎn)P為曲線M或曲線N上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．18．（2020秋·江蘇淮安·九年級?？计谀┢揭啤⑿D(zhuǎn)與翻折是幾何變換中的三種基本變換，也是初中課程中十分重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，平移、旋轉(zhuǎn)與翻折只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，因此我們又稱這三種變換為全等變換．小明發(fā)現(xiàn)，在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以利用這三種變換使得問題簡單化．(1)如圖1，已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E、H在對角線AC上，點(diǎn)F、I在BC邊上，點(diǎn)G、J在CD邊上，且EGHJAD，EFHIAB，求陰影部分的面積；小明將正方形沿AC翻折，得到如圖2所示的ABC，他發(fā)現(xiàn)圖1中陰影部分的面積就等于圖2中ABC的面積，所以圖1中陰影部分的面積為；(2)如圖3，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點(diǎn)E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD上，且FHBC，EGAB，EG與FH交于點(diǎn)I，求陰影部分的周長；小明將FI平移到BG，IG平移到FB……，快速地求出了陰影部分的周長為；(3)如圖4，四邊形ABCD中，AB=AD，∠A=120°，∠C=105°，BC=，CD=2，求四邊形ABCD的面積．(4)如圖5，，且B、C、D在一條直線上，BA=BC=2，設(shè)∠ACB=，直線BC上方有一點(diǎn)E滿足CA=CE且∠ACE=，連接AE，當(dāng)=°時(shí)，AE取得最大值，AE的最大值為．（注：點(diǎn)A、E、F均在直線BC上方）19．（2021春·江蘇無錫·九年級校考期中）折紙不僅是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，也是一項(xiàng)益智的數(shù)學(xué)活動(dòng)．今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看著折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論．實(shí)踐操作，解決問題(1)如圖1，將矩形紙片沿對角線翻折，使點(diǎn)落在矩形所在平面內(nèi)，邊和相交于點(diǎn)．在