2022-2023學(xué)年陜西省漢中市高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省漢中市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1.已知集合A={0,1,2,3},3={x|2x+3<6},則A3=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

3

【分析】求得集合8={為次<]},結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由集合8={x|2x+3<6}={x|x<'|"-A={0,l,2,3},

所以AB={0,l}.

故選：C.

A.75B.V3C.5/2D.1

【答案】A

【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義直接求解.

【詳解】1-■=|l-i（l+i）|=|2-i|=>/5.

故選：A.

2x-y-1<0,

3.若x,丁滿足約束條件T+220,，則z=x+y的最大值為（）

j—240,

7

A.-7B.0C.-D.7

2

【答案】C

【分析】根據(jù)約束條件，畫出可行域，平移直線2=入+丫求解.

2x-y-1<0,

【詳解】解：由x,y滿足約束條件，X+2N0,畫出可行域如圖所示:

j-240,

平移直線z=f,當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過點(diǎn)A（|,2）時(shí)，z取得最大值

故選：C

4.曲線>=犬+》2在點(diǎn)0,2）處的切線的斜率為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】求導(dǎo)，代入x=l求出答案.

【詳解】y'=5/+2x,當(dāng)x=l時(shí)，9=5+2=7,

故y=f+』在點(diǎn)（1,2）處的切線的斜率為7.

故選：A

01

5.已知a=sin2,b=log,0.2,c=3,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將。與0/比大小，b與0比大小，。與1

比大小，即可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)椋?lt;2<兀，所以0<sin2<l,

0J

Xlog20.2<log,1=0,3>3°=1,所以b<a<c.

故選：B.

6.如圖，圓柱內(nèi)部有兩個(gè)與該圓柱底面重合的圓錐，若從該圓柱內(nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)不在這兩個(gè)

圓錐內(nèi)部的概率為（）

【答案】A

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為力，分別求得圓柱和兩個(gè)圓錐的體積，結(jié)合體積比的幾何概型,

即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為「，高為九，則圓柱的體積為丫=兀/〃，

〃

兩個(gè)圓錐的體積之和為K=2X；1兀/x1“2/2,

323

10

根據(jù)體積比的幾何概型，可得所求的概率

P=]_YL=?7=4

V7ir2h3

故選：A.

7.過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖

在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑已知圓(x+l1+(y-2)2=4的一條通徑與拋物線

V=2px(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則P=()

A.B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的通徑的右端點(diǎn)就是拋物線通徑的上端點(diǎn)，可得拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)(1,2),從而

可得答案.

【詳解】因?yàn)閳A(x+l>+(y-2)2=4的一條通徑與拋物線y2=2px(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方

形的一組鄰邊，

而拋物線=2px(p>0)的通徑與x軸垂直，

所以圓(X+1)2+()，-2)2=4的這條通徑與軸垂直，

且圓的通徑的右端點(diǎn)就是拋物線通徑的上端點(diǎn)，

因?yàn)閳A(x+1)2+(y-2)2=4的圓心為(-1,2),半徑為2,所以該圓與V軸垂直的通徑的右端點(diǎn)為

(L2),

即拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)(1,2),貝I」4=2p,即p=2.

故選：C.

【答案】B

【分析】根據(jù)奇偶性排除C,D；根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,排除A,從而可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?苧丁的定義域?yàn)?-8,0)U(0,M),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以“X)是偶函數(shù)，排除C,D；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,排除A,

故選：B.

9.在等差數(shù)列｛《,｝中，2%]0-恁=4,則｛q｝的前2023項(xiàng)和52023=()

A.2023B.4046C.6069D.8092

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)合條件可得為“2=4,再由&O23=202340)=2023.2求解.

【詳解】解：設(shè)也,｝的公差為d,

貝ij2a510-&=2(q+509d)-(q+7^/)=^+101W=t710I2=4,

所以s秋3=2°2"+%023)=2023a向2=8092.

故選：D

10.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該幾何體的表積為

A.32+8石B.24+8石+8&

C.36+80D.28+8>/5+8A/2

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖可得原兒何體為一個(gè)四棱錐尸-"8,根據(jù)四棱錐結(jié)構(gòu)特征，求得各

個(gè)面積的面積，即可求得幾何體的表面積.

【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可得原幾何體為一個(gè)四棱錐尸-"8,如圖所示，

其中底面A8C3為邊長(zhǎng)為4的正方形，.RW為等腰三角形，且平面平面ABC。，

取A8,CL>的中點(diǎn)E,尸，連接則PE_LA氏尸/_L8,

因?yàn)槠矫媸珹3c平面ABCD=AB,且PEu平面R4B,所以PEJ_平面ABC￡),

又因?yàn)锳Du平面A8CO,所以PE14),

因?yàn)锳B_LAt>,EF43=￡且￡/,48<3平面以6,所以AO_L平面

又因?yàn)镻Au平面皿，所以4)1.24,同理可證8CLPB,

因?yàn)榈酌?BCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，且等腰,B4B的高為4,

=

可得$△/>"=-x4x4=8,SPAD=SPBC=$x4x2-^5=4-^5,^ABCD,

2222

又由PF=VPE+EF=>/4+4=4>/2，可得SPCD=--CD-PF=^x4x4y/2=S\[2,

所以該幾何體的表面積為S=]6+8+2x46+4&=24+84+40.

故選：B.

11.當(dāng)點(diǎn)M（2,—3）到直線（4m—l）x—（m-1）>+2m+1=0的距離取得最大值時(shí)，m=（）

4

A.2B.-C.-2D.-4

7

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)直線為（4x-y+2）m-x+y+l=0,得到直線經(jīng)過定點(diǎn)N（一1,-2）,結(jié)合直線MN與該

直線垂直時(shí)，點(diǎn)M到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.

[詳解】將直線（4〃?一1）》一（"2—1）,+2/”+1=0轉(zhuǎn)化為（4%一〉+2）加一彳+>+1=0,

、f4x-y+2=0fx=-l/、

聯(lián)立方程組，八，解得C，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)N-1,-2,

[-x+y+l=0[y=-2

當(dāng)直線MN與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)M到該直線的距離取得最大值,

4m-1-3—(-2)

此時(shí)m-\*2-(-1)=-1,解得m=—2.

故選：C.

12.已知函數(shù)/（x）=2Gsin3xcosiyx-2sin2ox+l（o>0）在（0,兀）上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

圍為（）

-

29.35L（2935]

66

一

A.c一

29,_35LD-<-29同35-

1212

1

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù),。），求出*?0,兀）時(shí)，相位所在區(qū)間，再利用正

弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】依題意，/（x）=A/3sin2（ox+cos2cox=2sin（2（ax+—）,

由<y>0,0<x<7t,<2a>x+—<2a>n+—,

666

因?yàn)椤▁）在（0㈤上恰有5個(gè)零點(diǎn)，貝I]5兀<231+^46無，解得冷切若,

所以"的取值范圍（為29后35噌'.

故選：D

二、填空題

13.己知向量a=（〃?,〃?+2）,。=（6,3）,若〃〃人貝!]相=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示直接列式求解.

【詳解】因?yàn)閍〃"所以6（加+2）—3加=0,解得力=4

故答案為：-4.

14.甲、乙兩位同學(xué)從3項(xiàng)不同的體育項(xiàng)目中任選1項(xiàng)參加，則這兩人選擇的體育項(xiàng)目相同的概率

為.

【答案】；

【分析】根據(jù)計(jì)數(shù)原理得到這兩人不同的選法，及選擇的體育項(xiàng)目相同的選法，從而求出答案.

【詳解】由題可知，甲乙兩人均有3種不同的選擇，故這兩人不同的選法共有9種，

31

其中選擇的體育項(xiàng)目相同的選法有3種，故所求的概率為§=

故答案為：I

15.已知雙曲線C：=的離心率為G，則雙曲線C的兩條漸近線夾角（銳角）

的正切值為.

【答案】2夜

【分析】由雙曲線的離心率求出漸近線的斜率，根據(jù)直線的夾角公式即可求得答案.

【詳解】因?yàn)殡p曲線C的離心率為6,所以￡=不，即1+4=3,則"④，

aa~a

故雙曲線兩條漸漸近線的斜率為土拉，

設(shè)雙曲線C的兩條漸近線的夾角為6,則tane=￥|=20,

1—Z

故答案為：2夜

16.數(shù)列｛叫滿足4=L%=2,*=則｛叫的前2023項(xiàng)和S,023=.

【答案】1351

【分析1根據(jù)已知遞推式求出G，4,%，4，%，火，則可得｛%｝從第3項(xiàng)起以3為周期的周期數(shù)列，從

而可求得答案

【詳解】因?yàn)?=L%=2,%+2=[a"+l~a"，a""

所以％=1，%=1，〃5=0,4=1，%=1，。8=0,。9==l,?n=0,

則從第3項(xiàng)起以3為周期的周期數(shù)列，

所以$2023=674x2+3=1351.

故答案為：1351

三、解答題

17.已知ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,且聞sinC=3ccosB.

(1)求角3的值；

(2)若b=4,tzc=16,求ABC的周長(zhǎng).

【答案】(嗚

⑵12

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得答案；

(2)由余弦定理結(jié)合已知條件，即可求得答案.

【詳解】(1)因?yàn)?bsinC=3ccosB,所以"sin3sinC=3sinCcos3.

又C為一45c內(nèi)角，sinCwO,所以bsin8=3cos5,

顯然8=5不滿足6川118=38$8,即有tan8=6，

7T

而3￡(0,兀)，所以3=

(2)由余弦定理得從=cr+c2-2rzccosB=(iz+c)2-3ac,

b=4，ac=16f則a+c=Jb?+3ac=8，

所以ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=12.

18.為倡導(dǎo)全校師生共讀好書，某校圖書館新購入一批圖書，需要招募若干名志愿者對(duì)新書進(jìn)行編

號(hào)歸納，并擺放到對(duì)應(yīng)的書架上.已知整理圖書所需時(shí)長(zhǎng)y（單位：分）與招募的志愿者人數(shù)x的數(shù)

據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

志愿者人數(shù)X12345

整理時(shí)長(zhǎng)y/分6045403025

⑴求y關(guān)于x的線性回歸方程*，=區(qū)+機(jī)

（2）由（1）中的線性回歸方程求出每一個(gè)茗對(duì)應(yīng)整理圖書所需時(shí)長(zhǎng)的估計(jì)值%,若滿足,-“<3,

則將數(shù)據(jù)（%,%）稱為一組正常數(shù)據(jù)，求表格中的五組數(shù)據(jù)中為正常數(shù)據(jù)的組數(shù)

〃__

工苦斗一〃孫

附：線性回歸方程￥=%+》中，。=號(hào)-------,a^-bx.

V-,2-2

~nx

i=\

【答案】⑴y=-8.5x+65.5

（2）表格中共有3組數(shù)據(jù)是正常數(shù)據(jù).

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合回歸系數(shù)的公式，分別求得A&，即可得到回歸直線方程;

（2）由（1）可知，分別令%=1,%2=2,占=3,%=4,%=5,驗(yàn)證的值，即可得到結(jié)

論.

1+2+3+4+5-60+45+40+30+25

【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得工==3,y=---------------------------=40

5

55

=1x60+2x45+3x40+4x30+5x25=515,=12+22+32+42+52=55,

/=ix=l

則6=_55_；xi-=一8.5,可得a=y—Ax=40+8.5x3=65.5,

故>關(guān)于x的回歸方程為y=-8,5x4-65.5.

(2)解：由⑴可知，當(dāng)再=1時(shí)，x=57,|^-^|=|57-60|=3,不是正常數(shù)據(jù).

當(dāng)W=2時(shí)，必=48.5,12一%|=|48.5-45|>3,不是正常數(shù)據(jù).

當(dāng)鼻=3時(shí)，％=40,|%-%|=|40-40|<3,是正常數(shù)據(jù).

當(dāng)％=4時(shí)，”=31.5,|j4-y4|=|31.5-30|<3,是正常數(shù)據(jù).

當(dāng)天=5時(shí)，券=23,|%一%|=|23-25|<3,是正常數(shù)據(jù).

故表格中共有3組數(shù)據(jù)是正常數(shù)據(jù).

19.如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，平面43cZ),底面A8CD為直角梯形，^BAD^ZABC=90,

PB=AB=BC=2AD=6,F為孫的中點(diǎn).

⑵求點(diǎn)P到平面CDF的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵亞

7

【分析】(1)由線面垂直性質(zhì)和判定可證得AQJ■平面進(jìn)而得到AD_L3F；由等腰三角形三

線合一性質(zhì)可得PALBF,由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)F為孫中點(diǎn)可知%加=3%皿，由棱錐體積公式可求得匕re，從而得到匕>-.；根據(jù)

長(zhǎng)度和垂直關(guān)系，結(jié)合解三角形的知識(shí)可求得SAC”，結(jié)合棱錐體積公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】(1)P8_L平面ABC￡>,A￡>u平面ABC。，.-.PB±AD；

又NBA￡>=90,..ABJ.AD,

PBAB=B,平面RW,r.4)_L平面,

BFu平面:.AD±BF；

F為RA的中點(diǎn)，PB=AB,.-.PAJ.BFt

PAAD=A,PA,A￡)u平面B43,平面PAD,

「P￡>u平面尸AD,:.BFVPD.

(2)連接AC,取A3的中點(diǎn)G,連接CG,DG/G,

p

F為PA的中點(diǎn)，??=Kl-CDF?又+^A-CDF=^P-ACD?P-CDF=/匕，-AC。*

.AD=3,AB=6,/ABC=90,ADIIBC,：.SACD=-AD-AB=9.

又PB=6,P3_L平面ABC。，.1Vp_Ac0=§S.co，PB=§x9x6=18,，=9.

.尸,6分別為產(chǎn)448中點(diǎn)，；.尸6〃23,又平面ABC。，r./GJ?平面ABC。，又FG=^PB=3,

2

DG=-j32+32=3A/2,CG=&+6=3亞，

/.DF=yjFG2+DG2=3。CF=JpG'+CG?=3限，

y.CD=AAB2+^BC\=3>/5,

CF2+DF2-CD254+27-45夜

??.在“CDF中,cosZCFD=

2CFDF2x3#x3招-3

sinZCFD=—,S=-CF-DFsinZCFD=-x3>76x3>/3x—=.

3rCDDFF2232

設(shè)點(diǎn)尸到平面8F的距離為"'則力加=3獷八半”=9,解得：d:當(dāng),

即點(diǎn)P到平面CDF的距離為亞.

7

20.已知函數(shù)“可=3、-#"

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求/（x）的極值;

（2）若〃x）在（0,+8）上恰有1個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】⑴極小值為/（-2）W44，無極大值

⑵（1，+°°）.

【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)即可得到其極值；

（2）根據(jù)題意，將極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閍=l,所以/(回=九，_$3一一,/(司=卜2+2*卜*—1).

令尸(x)=0,得x=—2或x=0,且當(dāng)時(shí)，r(x)<0,

當(dāng)xe(-2,0)一(O,y)時(shí)，故〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-0,-2),單調(diào)遞增區(qū)間為(一2,物).

從而“X)的極小值為/(-2)=,無極大值.

(2)因?yàn)閒(x)=x2e*-gx3-g2,所以f'(x)=(x2+2x)e'-x2-2or.

因?yàn)?(x)在(0,—)上恰有1個(gè)極值點(diǎn)，所以/(X)在(。,+8)上恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

令g(x)=(x+2)e*-％-勿，貝ijg,(x)=(x+3)e'-l,

顯然g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g'(0)=2>0,所以g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

則g(X)在(0,+e)上單調(diào)遞增.

要使廣(X)在(0,+8)上恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則g(0)=2-2a<0,

即0>1,故。的取值范圍為(1,+°0).

22

21.橢圓C：￡+方=i(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4(-2,0),4(2,0),上頂點(diǎn)為8(0,1),Q

是橢圓C在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線AB相交于點(diǎn)P,直線BQ與x軸相交于點(diǎn)R.

(1)求橢圓C的方程

(2)試判斷直線PR是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.

2

【答案】⑴〉+丁=1

4

⑵直線網(wǎng)經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).

【分析1(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求得〃=2力=1,即可得到橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線4。的方程為y=%(犬-2),聯(lián)立方程組求得q=普?和"=七。，再由直線AB的

方程為y=：X+1,聯(lián)立方程組求得Xp=等3和井=白，結(jié)合B,Q,R三點(diǎn)共線，求得XR=等一,

22k-12K-12k+1

得出深的方程，即可求解.

產(chǎn)y2

4(2,0),

【詳解】(1)解：由橢圓C:靛+"=1的左、右頂點(diǎn)分別為A(—2,o),

上頂點(diǎn)為8(0,1),可得a=2,b=l,

丫2

所以橢圓C的方程為土+y2=i.

4'

（2）解：依題可設(shè)直線&Q的方程為丁=%（》-2）,其中上＜一；.

y=左（工一2）

聯(lián)立方程組x2,,整理得（1+4公）--16%,+16公-4=0,

T+-V

16公一4/耳_Sk2-2-Ak

由2X=則y=

Q1+4/'vXq~l+4k2Q1+4公

直線AB的方程為y=gx+l,

y=k（x-2\

聯(lián)立方程組1,,解得4=等彳，％=券，

y=—x+l2K-12K-1

Tk]

由8,。,R三點(diǎn)共線，得騎一=二1,解得/=萼二

一/XR2k+

4k2+1

4k

直線網(wǎng)的方程為廣。=出|工[-

2k-l2k+l

整理得x-4y+2+2A（x-2）=0,

x-2=0

聯(lián)立方程組解得x=2,y=[,

x-4y+2=0

故直線網(wǎng)經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.

【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略:

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題

目中核心變量（通常為變量%）；②利用條件找到左過定點(diǎn)的曲線F（x,y）=o之間的關(guān)系，得到關(guān)于上

與x,y的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn),

再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

IY—0COS(X

22.在直角坐標(biāo)系X0y中，曲線C的參數(shù)方程為一，c(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X

(y=l+2sina

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為tan6=3.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P(l,3),求|尸知|+|尸兇?

【答案】⑴曲線C的普通方程為x2+(y-l)2=4,直線/的方程為y=3x

⑵當(dāng)

【分析】(1)消去參數(shù)得到曲線C的方程，再根據(jù)2=tan，求出直線/的直角坐標(biāo)方程；

X

(2)求出直線/的參數(shù)方程，將其代入曲線C的普通方程，得到兩根之和，兩根之積，又由于

%=1＞。，所以尸(1,3)在曲線C外部，從而求出答案.

x=2cosa,,一x=2cosa,

【詳解】(1)由,c.（a為參數(shù)），變形得到