押題07 第15-17題 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考）含解析

押題07第15-17題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專用）押題07第15-17題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（九大題型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．押題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1單調(diào)性、極值問題1-6題型2求參數(shù)范圍7-12題型3最值問題13-16題型4證明不等式17-19題型5零點(diǎn)問題20-21題型6有解恒成立問題22-23題型7導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)24題型8導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線25題型9導(dǎo)數(shù)與統(tǒng)計(jì)概率26題型1：?jiǎn)握{(diào)性、極值問題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在時(shí)取得極值.(1)求實(shí)數(shù)；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值.2．（20-21高二下·安徽滁州·開學(xué)考試）已知函數(shù)在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調(diào)區(qū)間，并求極值.3．（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.5．（2020高二下·河南鄭州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.6．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．（2）時(shí)，若，求的定義域，并分析其單調(diào)性．題型2：求參數(shù)范圍7．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.8．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取到極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．9．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在其定義域上單調(diào)遞增，求k的取值范圍．11．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)當(dāng)時(shí)，|求a的取值范圍.12．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在處的切線與直線平行．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒有成立，求k的取值范圍．題型3：最值問題13．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．14．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.15．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．16．（2024·安徽黃山·一模）已知函數(shù)在處取得極大值．(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值．題型4：證明不等式17．（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間和極小值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．19．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.題型5：零點(diǎn)問題20．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．21．（23-24高三上·河南·期末）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．題型6：有解恒成立問題22．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)任意有解，求的取值范圍.23．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.題型7：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)24．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且.(1)若在區(qū)間上有最大值無(wú)最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).題型8：導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線25．（2024·四川南充·二模）已知點(diǎn)是拋物線上的定點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，且，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)的外接圓為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型9：導(dǎo)數(shù)與統(tǒng)計(jì)概率26．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元1651年，一個(gè)問題引發(fā)了數(shù)學(xué)家德梅赫、帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯等人的討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．(1)甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應(yīng)分得的賭注；(2)記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率；當(dāng)時(shí)，求事件發(fā)生的概率的最大值．押題07第15-17題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（九大題型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.押題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1單調(diào)性、極值問題1-6題型2求參數(shù)范圍7-12題型3最值問題13-16題型4證明不等式17-19題型5零點(diǎn)問題20-21題型6有解恒成立問題22-23題型7導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)24題型8導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線25題型9導(dǎo)數(shù)與統(tǒng)計(jì)概率26題型1：?jiǎn)握{(diào)性、極值問題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在時(shí)取得極值.(1)求實(shí)數(shù)；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再檢驗(yàn)即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【解析】（1）因?yàn)椋?，由題意得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1）得，，則，由得或，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，極小值為2．（20-21高二下·安徽滁州·開學(xué)考試）已知函數(shù)在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調(diào)區(qū)間，并求極值.【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）由題意可得出，即可解得實(shí)數(shù)、的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，由此可得出函數(shù)的極值.【解析】（1）解：因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)?，，則，解得，此時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，，合乎題意.因此，，.（2）解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.3．（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值，（2）求導(dǎo)，分類討論即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.（2），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則,若，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.4．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義和平行關(guān)系得到方程，求出，從而得到，求出切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，和三種情況，討論得到函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1），由已知，∴得又∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為化簡(jiǎn)得：（2）定義域?yàn)镽，，令得或①當(dāng)即時(shí)，令得或，令得，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)即時(shí)，令得或，令得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；5．（2020高二下·河南鄭州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）利用，解得，再檢驗(yàn)可得答案；（2）求導(dǎo)后，對(duì)分和討論，根據(jù)可得增區(qū)間，可得遞減區(qū)間.【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得（舍）或經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以.（2）若，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；若，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.綜上所述：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，考查了分類討論思想，考查了由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.6．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．（2）時(shí)，若，求的定義域，并分析其單調(diào)性．【答案】（1）；（2）定義域?yàn)?，單調(diào)性見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線斜率為，再由根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解；（2）由可得，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以

又，所以曲線在處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，∴，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.題型2：求參數(shù)范圍7．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.【解析】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為8．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取到極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）求導(dǎo)，分類討論的取值，即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解極值.【解析】（1）由題意，，則，又，故所求的切線方程為．（2）由題意，，故．若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值；若，則令，解得或，要使函數(shù)在處取到極小值，則需，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足條件．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．9．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；（2）通過代入不等式整理成在上存在實(shí)數(shù)解問題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問題，計(jì)算即得.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．10．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在其定義域上單調(diào)遞增，求k的取值范圍．【答案】(1)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把代入并求出的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）的信息，結(jié)合單調(diào)性建立恒成立的不等式，再分離參數(shù)求解即得.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，，由在其定義域上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，解得，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，所以k的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：①在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；②不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；③利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.11．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)當(dāng)時(shí)，|求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)的取值范圍為【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的大致圖象，結(jié)合分類討論思想求解可得答案；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)的方法解不等式即可.【解析】（1）令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，作出的大致圖象如下圖所示：

當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，得，由上圖知：當(dāng)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或，即或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞增，由（1）知，在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，由得，即，設(shè)函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，由得，即，設(shè)，則，由得，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上，由得，綜上：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的步驟：（1）確定函數(shù)定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出導(dǎo)數(shù)等于0的根；（4）用導(dǎo)數(shù)為0的根將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（5）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù).12．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在處的切線與直線平行．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒有成立，求k的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得，借助導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）通過變形，可將原問題轉(zhuǎn)化為在上，恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求取在上的最小值即可得.【解析】（1）由已知可得的定義域?yàn)?，，所以，即，所以，，令，得，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）將不等式整理得：，可化為，問題轉(zhuǎn)化為在上，恒成立，即，令，，則，令，則，，所以在單調(diào)遞減，，即，所以在單調(diào)遞減，，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于將原問題通過變形參變分離，轉(zhuǎn)化為在上，恒成立，從而構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求取在上的最小值即可得.題型3：最值問題13．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求的值，再根據(jù)切線過切點(diǎn)求的值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值.【解析】（1）因?yàn)樗?，由題意可得，，解得:，.（2）由(1)可得，所以，且，易得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，且，即最大值為：.14．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求導(dǎo)得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）易判斷在時(shí)單增，在時(shí)單減，進(jìn)而求出.【解析】（1），令，得，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.15．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【解析】（1），因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，得，此時(shí)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時(shí)取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時(shí)，．16．（2024·安徽黃山·一模）已知函數(shù)在處取得極大值．(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后令求出，代入驗(yàn)證是否符合題意即可；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.【解析】（1）由已知令得或，當(dāng)時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，與函數(shù)在處取得極大值不符；當(dāng)，即時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.題型4：證明不等式17．（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間和極小值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極小值為1；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.（2）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式推理即得.【解析】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為，的極小值為.（2）當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，在上單調(diào)遞增，因此，所以.18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得出結(jié)論.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，無(wú)極大值；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數(shù)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.19．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件列出方程組，解出驗(yàn)證即可；（2）變形不等式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)闀r(shí)，有極大值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)有極大值，所以；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證：.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，故當(dāng)時(shí)，.題型5：零點(diǎn)問題20．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．（2）．令，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，則恰有一個(gè)零點(diǎn)．21．（23-24高三上·河南·期末）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增；1【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，，從而可求出切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出在上單調(diào)遞增．又，從而可求解.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．題型6：有解恒成立問題22．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無(wú)極大值；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求極值；（2）由題意可得任意有解，設(shè)，分、及討論即可求解.【解析】（1），得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值；（2）對(duì)任意即，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)時(shí)，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.綜上，.23．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；（2）將不等式變形為，令，對(duì)求導(dǎo)，再令，由的單調(diào)性判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性，求出的最大值即可求出的取值范圍.【解析】（1）由題意知的定義域?yàn)椋?/p>

，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，，故方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別為，，且，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由可得，即，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，即的取值范圍為.題型7：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)24．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且.(1)若在區(qū)間上有最大值無(wú)最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)周期以及可求解，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，（2）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【解析】（1）由題意可得周期，故，，由于，故，故，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上有最大值無(wú)最小值，故，解得，故（2），，，故直線方程為，令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，因此有唯一的的零點(diǎn)，故l與曲線有唯一的交點(diǎn)，得證.題型8：導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線25