5.2平行線及其判定2024年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重點題型方法與技巧（人教版）

第五章相交線與平行線5.2平行線及其判定1平行線（1）定義兩直線a，b永不相交，我們說直線a與b互相平行，記作a//b。（2）平行公理同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.（3）平行公理的推論如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說，如果a//b，a//c，那么b//c。2平行線的判定①同位角相等，兩直線平行；即如果∠1=∠2，則a//b；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；即如果∠2=∠3，則a//b；③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；即如果∠2+∠4=180°，則a//b.【題型1】平面內(nèi)兩直線位置關(guān)系【典題1】如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點個數(shù)是()個．A．3個 B．1或3個 C．1或2或3個 D．0或1或2或3個解析當(dāng)三條直線平行時，交點個數(shù)為0；當(dāng)三條直線相交于1點時，交點個數(shù)為1；當(dāng)三條直線中，有兩條平行，另一條分別與他們相交時，交點個數(shù)為2；當(dāng)三條直線互相不平行時，交點個數(shù)為3；所以，它們的交點個數(shù)有4種情形．故選：D．【鞏固練習(xí)】1.在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對答案C解析在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系，是平行或相交，所以在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是：平行或相交．故選：C．2.下列說法正確的是()A．同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行 B．兩條不相交的直線一定是平行線 C．同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條線段平行 D．同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條射線平行答案A解析A、平行線的定義：同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行，故本選項正確；B、在同一個平面內(nèi)，兩條不相交的直線是平行或重合，故本選項錯誤；C、同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條線段不一定平行，故本選項錯誤；D、同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條射線不一定平行，故本選項錯誤．故選：A．3.如圖，將一張長方形紙對折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定答案A解析觀察圖形可知，將一張長方形紙對折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是平行．故選：A．4.如圖，同一平面內(nèi)經(jīng)過直線l外一點O的四條直線中，與直線l相交的直線至少有()A．1條 B．2條 C．3 D．4條答案C解析∵過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，∴過直線l外一點O的四條直線中，最多只有一條直線與l平行，∴與直線l相交的直線至少有3條，故選：C．5.如圖，在正方體中，與線段AB平行的線段有．答案C解析與AB平行的線段是：DC、EF；與CD平行的線段是：HG，所以與AB線段平行的線段有：EF、HG、DC．故答案為：EF、HG、DC．【題型2】平行公理及其推論的應(yīng)用【典題1】下列說法中，正確的個數(shù)為()(1)過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c(3)如果兩線段不相交，那么它們就平行(4)如果兩直線不相交，那么它們就平行A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤；(2)根據(jù)平行公理的推論，正確；(3)線段的長度是有限的，不相交也不一定平行，故錯誤；(4)應(yīng)該是“在同一平面內(nèi)”，故錯誤．正確的只有一個，故選A．【典題2】作圖題：(只保留作圖痕跡)如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：(1)過點A作BC的平行線；(2)過點C作AB的平行線，與(1)中的平行線交于點D；(3)過點B作AB的垂線．解析如圖，(1)A所在的橫線就是滿足條件的直線，即AE就是所求；(2)在直線AE上，到A距離是5個格長的點就是D，則CD就是所求與AB平行的直線；(3)取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)作直線，就是所求．【鞏固練習(xí)】1.下列推理正確的是()A．因為a∥d，b∥c，所以c∥d B．因為a∥c，b∥d，所以c∥d C．因為a∥b，a∥c，所以b∥c D．因為a∥b，d∥c，所以a∥c答案C解析A、沒有兩條直線都和第三條直線平行，推不出平行，故本選項錯誤；B、沒有兩條直線都和第三條直線平行，推不出平行，故本選項錯誤；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故本選項正確；D、a、c與不同的直線平行，無法推出兩者也平行，故本選項錯誤；故選：C．2.平面內(nèi)有三條直線a、b、c，下列說法：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c，其中正確的是()A．只有① B．只有② C．①②都正確 D．①②都不正確答案A解析①若a∥b，b∥c，則a∥c，說法正確；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c，說法錯誤，應(yīng)為同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c；故選：A．3.下列說法正確的是()A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c答案D解析A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本選項錯誤；B、在同一平面內(nèi)，當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a∥c，故本選項錯誤；C、當(dāng)a∥b，b⊥c時，a⊥c，故本選項錯誤；D、當(dāng)a∥b，b∥c時，a∥c，故選項正確；故選：D．4.如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．(1)過P畫l1∥OA；(2)過P畫l2∥OB；(3)用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？答案(1)(2)略，(3)相等或互補解析(1)(2)如圖所示，(3)l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補．5.如圖，按要求畫圖并回答問題：(1)過點A畫點A到直線BC的垂線段，垂足為D；(2)過點D畫線段DE∥AB，交AC的延長線于點E；(3)∠E的同位角是，內(nèi)錯角是；(4)在線段AB，AC，AD中，最短的是，理由為．答案(1)(2)略，(3)∠ACD，∠CAB．(4)AD，垂線段最短解析(1)如圖所示，AD即為所求，(2)如圖所示，DE∥AB，(3)∠E的同位角是∠ACD，內(nèi)錯角是∠CAB，故答案為：∠ACD，∠CAB．(4)在線段AB，AC，AD中，最短的是AD，理由為垂線段最短，故答案為：AD，垂線段最短．【題型3】平行線的判定【典題1】如圖，已知直線AB、MN、EF交于點O，∠OFD=90°，垂足是F，∠1=40°，∠2=50°，請在括號內(nèi)補全判斷AB∥DN的說理過程或依據(jù)．

解：∵∠1=40°（已知），∠1=∠EOM（），∴∠EOM=40°（），∵∠2=50°（已知）

∴∠EOM+∠2=40°+50°（），∴∠EOB=90°（）

∵∠OFD=90°∴∠EOB=∠OFD（）

∴AB∥ND（）解析∵∠1=40°，

∴∠EOM=∠1（對頂角相等），

∴∠EOM=40°（等量代換），

∵∠2=50°，

∴∠EOM+∠2=40°+50°（等式的性質(zhì)），

∴∠EOB=90°，

∵∠OFD=90°，

∴∠EOB=∠OFD，（等量代換）

∴AB∥ND（同位角相等，兩直線平行），【典題2】四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線．求證：(1)∠1+∠2＝90°；(2)BE∥DF．證明(1)∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴2(∠1+∠2)＝180°，∴∠1+∠2＝90°；(2)在△FCD中，∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠DFC，∴BE∥DF．【鞏固練習(xí)】1.如圖，下列推理不正確的是()A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC D．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD答案B解析∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故A正確，不符合題意；∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故B不正確，符合題意；∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故C正確，不符合題意；∵∠4＝∠5，∴AB∥CD，故D正確，不符合題意；故選：B．2.如圖，下列條件無法判斷AE∥CD的是()A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠BCD C．∠4＝∠5 D．∠AEC+∠DCB＝180°答案C解析A、根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可以判斷AE∥CD，不符合題意；B、根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可以判斷AE∥CD，不符合題意；C、根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可以判斷AD∥BC，符合題意；D、根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，可以判斷AE∥CD，不符合題意．故選：C．3.如圖，O是直線AB上一點，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，添加一個條件，仍不能判定AB∥CD，添加的條件可能是()A．∠BOE＝60° B．∠DOF＝30° C．∠AOF＝30° D．∠BOE+∠AOF＝90°答案D解析A、∵OE平分∠BOD，∠BOE＝60°，∴∠BOD＝2∠BOE＝120°，∵∠D＝120°，∴∠BOD＝∠D＝120°，∴AB∥CD，故A不符合題意；B、∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∵∠DOF＝30°，∴∠DOE＝∠FOE﹣∠DOF＝90°﹣30°＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝120°，∵∠D＝120°，∴∠BOD＝∠D＝120°，∴AB∥CD，故B不符合題意；C、∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∵∠AOF＝30°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOF﹣∠FOE＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝120°，∵∠D＝120°，∴∠BOD＝∠D＝120°，∴AB∥CD，故C不符合題意；D、∵∠BOE+∠AOF＝90°，∴∠FOE＝90°，不能判斷AB∥CD，故D符合題意，故選：D．4.如圖，某工件要求AB∥ED，質(zhì)檢員小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，則此工件．(填“合格”或“不合格”)答案合格解析作CF∥AB，如圖所示：則∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣146°＝34°，∴∠2＝∠BCD﹣∠1＝60°﹣34°＝26°，∵∠2+∠EDC＝26°+154°＝180°，∴CF∥ED，∴AB∥ED；故答案為：合格．5.如圖，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，點D在邊OA上，將圖中的△COD繞點O按每秒20°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第t秒時，邊CD恰好與邊AB平行，則t的值為．答案5.5秒或14.5解析如圖1，△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△C′OD′，C′D′交OB于E，則∠C′OD′＝∠COD＝90°，∠OC′D＝∠C＝60°，當(dāng)∠OEC′＝∠B＝50°時，C′D′∥AB，∴∠C′OC＝∠OEC′+∠OC′E＝50°+60°＝110°，∴△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)110°得到△C′OD′所需時間為11020=5.5(秒如圖2，△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，則∠C″OD″＝∠COD＝90°，∠OC″D＝∠C＝60°，當(dāng)∠OFC″＝∠B＝50°時，C″D″∥AB，∴∠C″OC＝180°﹣∠OFC″+∠OC′F＝180°﹣50°﹣60°＝70°，而360°﹣70°＝290°，∴△COD繞點O順時針旋290°得到△C″OD″所需時間為29020=14.5(秒綜上所述，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第5.5秒或14.5秒時，邊CD恰好與邊AB平行．故答案為：5.5秒或14.5．6.如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點P和點Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，說出圖中哪些直線平行，并說明理由．

答案AB∥CD，PG∥QH解析AB∥CD，PG∥QH，理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，∴∠1=∠GPQ=12∠APQ，∠2＝∵∠1＝∠2，∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，∴AB∥CD，PG∥QH．7.如圖，這是一個由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，其中∠1=62答案AC∥BD解析AB∥CD，AC∥BD．理由：∵∠1=62°，∠2=62°，∴∠1=∠2，

∴AB∥CD；

∵∠1=62°，∠3=118°，

∴∠1+∠3=180°，

∴AC∥BD．8.已知：如圖所示，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2=90°．

（1）求證：AB∥CD；

（2）試探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系．答案（1）略；（2）∠2+∠3=90°解析證明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，

∴∠I=12∠ABD,∠2=12∠BDC；

∵∠1+∠2=90°，

∴∠ABD+∠BDC=180°；

∴AB∥CD；（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

解：（2）∵DE平分∠BDC，

∴∠2=∠FDE；

∵∠1+∠2=90°，

∴∠BED=180（∠1+∠2）=90°=∠DEF=90°；

∴∠3+【A組基礎(chǔ)題】1.下列說法中錯誤的個數(shù)是()(1)過一點有且只有一條直線與已知直線平行；(2)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交，平行兩種；(4)不相交的兩條直線叫做平行線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案C解析(1)經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，原來的說法錯誤；(2)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原來的說法錯誤；(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交，平行兩種，原來的說法正確；(4)在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，原來的說法錯誤．故說法中錯誤的個數(shù)是3個．故選：C．2.下列說法正確的是()A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥c答案A解析先根據(jù)要求畫出圖形，圖形如圖所示：根據(jù)所畫圖形可知：A正確．故選：A．3.如圖，下列條件中，能判斷直線AB∥CD的是()A．∠2＝∠1 B．∠1+∠2＝180° C．∠BAD＝∠BCD D．∠3＝∠4答案D解析∵∠2＝∠1，∴AD∥BC，故A不符合題意；由∠1+∠2＝180°，不能判定AB∥CD，故B不符合題意；由∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD，故C不符合題意；∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故D符合題意，故選：D．4.如圖，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，則下列說法正確的是()A．AB∥CD B．AC⊥CD C．∠D＝60° D．AD∥BC答案D解析A、因為AB⊥AC，只有CD⊥AC時，AB∥CD，但CD和AC不一定垂直，因此AB和CD不一定平行，故A不符合題意；B、由條件得不到∠ACD＝90°，因此AC和CD不一定垂直，故B不符合題意；C、只有AC⊥CD時，由∠1＝30°，得到∠D＝60°，但AC和CD不一定垂直，故C不符合題意；D、由∠B＝60°，AB⊥AC，得到∠ACB＝30°，因此∠1＝∠ACB，判定AD∥BC，故D符合題意．故選：D．5.如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由．答案經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行解析已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．故答案為：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．6.直線a,b垂直，記作a⊥b，現(xiàn)有2019條直線a1，a2，a3，…，a2019，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，則直線a1與a2019的位置關(guān)系是答案垂直解析如圖，a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a2∥a5，依此類推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a2∥a9，∴2019÷4＝504……3，∴a1⊥a2019．故答案為：垂直．7.如圖，∠D＝140°，當(dāng)∠B與∠C滿足時，AB∥DE．答案∠B﹣∠BCD＝40°解析過點C作CF∥AB，如圖所示．∵AB∥CF，∴∠B＝∠BCF．要證AB∥DE，只需CF∥DE即可，∵∠D+∠DCF＝180°?CF∥DE，∴∠DCB＝∠B﹣∠BCD＝40°，即當(dāng)∠B﹣∠BCD＝40°時，AB∥CF∥DE．故答案為：∠B﹣∠BCD＝40°．8.如圖，直線AB，CD交于點O，點E在直線CD上，根據(jù)下列語句畫圖并回答問題：(1)畫圖：①過點E畫直線AB的垂線段EH，垂足為點H；②過點E畫直線AB的平行線MN；③畫∠AOE的角平分線OP，交直線MN于點P；(2)線段EH與EO的大小關(guān)系是，依據(jù)是；(3)若∠OEH＝30°，則∠OPE＝°．答案(1)略；(2)EH＜OE，垂線段最短；(3)60解析(1)①如圖，線段EH即為所求；②如圖，直線MN即為所求；③如圖，射線OP即為所求；(2)∵EH⊥AB，∴EH＜OE(垂線段最短)．故答案為：EH＜OE，垂線段最短；(3)∵EH⊥AB，∴∠EHO＝90°，∴∠EOH＝90°﹣∠OEH＝60°，∴∠AOC＝180°﹣∠EOB＝120°，∵OP平分∠AOE，∴∠AOP＝∠EOP＝60°，∵M(jìn)N∥AB，∴∠OPE＝∠AOP＝60°．故答案為：60．9.如圖，已知E，B，C三點共線，BE平分∠DBF，∠1=∠ACB，試說明：BF∥AC．

因為BE平分∠DBF（

），

所以

∠1=∠2，

又因為∠1=∠ACB（

），

所以∠2=∠ACB（

）．

所以BF∥AC（）．答案已知，已知，等量代換，同位角相等，兩直線平行解析因為BE平分∠DBF（已知），

所以∠1=∠2，

又因為∠1=∠ACB（已知），

所以∠2=∠ACB（等量代換）．

所以BF∥AC（同位角相等，兩直線平行）．10.如圖，直線CD、EF交于點O，OA，OB分別平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2：∠3=2：5．

（1