14.1.4整式的乘法（二）（解析版）

整式的乘法（二）知識點管理知識點管理歸類探究夯實雙基，穩(wěn)中求進歸類探究知識點一：多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.題型一：多項式乘以多項式計算【例題1】（2022·湖南常德·七年級期中）計算：．【答案】【分析】把一個多項式中的每一項分別乘以另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加，從而可得答案．【詳解】解：原式=【點睛】本題考查的是多項式的乘法，掌握“多項式的乘法法則進行運算”是解本題的關(guān)鍵．變式訓練【變式1-1】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實驗中學八年級期末）計算：．【答案】【分析】先根據(jù)整式的乘法和乘法公式進行計算，再合并同類項即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查了整式的混合運算知識點，能正確根據(jù)知識點進行計算是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·山東濟南·七年級期中）計算：（3x﹣2）（2x﹣3）．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則進行計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了多項式乘法計算法則，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·四川樂山·八年級期末）計算：．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的即可求出答案．【詳解】解：原式＝6x3+9x2﹣12x﹣2x2﹣3x+4＝6x3+7x2﹣15x+4【點睛】本題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法則．題型二：(x+a)(x+b)型多項式相乘【例題2】（2021·福建省寧化縣教師進修學校七年級月考）（Ⅰ）計算，將結(jié)果直接填在橫線上：______．______．______．______．（Ⅱ）認真觀察（Ⅰ）中的算式與計算結(jié)果的特征，總結(jié)其中運算規(guī)律，用公式來表示這種運算規(guī)律（用a，b表示常數(shù)，）．【答案】（1）x2＋3x＋2，x2?3x＋2，x2＋x?2，x2?x?2；（2）（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab【分析】（1）根據(jù)多項式乘法的法則逐一計算即可，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）根據(jù)（1）計算的結(jié)果，式子的一般形式是（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．【詳解】解：（1）（x＋1）（x＋2）＝x2＋3x＋2，（x?1）（x?2）＝x2?3x＋2，（x?1）（x＋2）＝x2＋x?2，（x＋1）（x?2）＝x2?x?2．故答案是：x2＋3x＋2，x2?3x＋2，x2＋x?2，x2?x?2；（2）可以發(fā)現(xiàn)題（1）中，左右兩邊式子符合（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab結(jié)構(gòu)．【點睛】本題考查了多項式乘多項式法則，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．變式訓練【變式2-1】（2022·全國七年級單元測試）若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，求a＋b的值．【答案】－21.【分析】先根據(jù)多項式乘多項式法則把多項式的左邊展開，合并同類項后再根據(jù)多項式兩邊相同字母的系數(shù)相等，列出方程，求出a，b的值即可．【詳解】解：則解得則【點睛】考查多項式乘以多項式，掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】（2022·福建）閱讀理解：（1）計算，____________________，_______________，___________________，_____________；（2）應(yīng)用已知a、b、m均為整數(shù)，且，則m的可能取值有_____________個．【答案】（1），，；，；（2）6【分析】（1）根據(jù)多項式乘法的法則逐一計算即可，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）根據(jù)（1）計算的結(jié)果，式子的一般形式是，，故的取值6個．【詳解】解：（1），，，；（2）可以發(fā)現(xiàn)題（1）中，左右兩邊式子符合結(jié)構(gòu)，因為12可以分解以下6組數(shù)，，，，，，所以應(yīng)有6個值．【點睛】本題考查了多項式乘多項式法則，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·廈門外國語學校海滄附屬學校八年級期中）已知(x+a)(x+b)x2+mx+n（1）若a=1，b=2，則m=______，n=_______（2）若a=6，b=-3，求2m+2n的值【答案】（1）m=3，n=2；（2）-28【分析】把已知式子展開，得出m，n和a，b的關(guān)系式，帶入求解即可；【詳解】∵，∴，，（1）∵a1，b2，∴，，故答案是：3，2．（2）∵a6，b-3，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，準確利用整式乘法展開計算是解題的關(guān)鍵．題型三：多項式乘以多項式化簡求值【例題3】（2022·廣西梧州·七年級期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】；4【分析】根據(jù)整式的乘法運算化簡，然后代入字母的值即可求解．【詳解】解：原式＝；當時，原式．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵．變式訓練【變式3-1】（2021·河南洛陽·八年級期中）先化簡再求值：5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5），其中y＝﹣2．【答案】；【分析】先根據(jù)多項式乘多項式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．【詳解】原式＝5y2﹣（3y2+y﹣6y﹣2）﹣2（y2﹣5y+y﹣5）＝5y2﹣3y2﹣y+6y+2﹣2y2+10y﹣2y+10＝13y+12，當y＝﹣2時，原式＝13×（﹣2）+12＝﹣14．【點睛】本題考查了整式的化簡與求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．【變式3-2】（2022·廣西梧州·七年級期中）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】根據(jù)多項式的乘法進行化簡，然后將字母的值代入進行計算即可求解．【詳解】解：原式；當時，原式．【點睛】本題考查了多項式的乘法的化簡求值，正確的去括號是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·山東菏澤·七年級期中）先化簡，再求值：，其中x=2．【答案】；15【分析】根據(jù)單項式乘多項式，多項式乘多項式法則運算，再合并同類項，最后代入求值即可．【詳解】解：原式===；當x=2時，原式==．【點睛】本題考查了整式的四則混合運算，掌握運算法則準確計算是本題的關(guān)鍵．題型四：已知多項式乘積不含某項求字母的值【例題4】（2022·山東聊城·七年級期中）已知的乘積中不含和項，求的值．【答案】2【分析】由多項式乘以多項式進行化簡，然后結(jié)合不含和項，求出，即可求出答案．【詳解】解：原式，∵其結(jié)果中不含和項，∴，解得：，∴．答：的值為2．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則，正確的進行化簡．變式訓練【變式4-1】（2022·山東濟南·期末）若代數(shù)式的計算結(jié)果中不含有x的一次項，求m的值．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘多項式將代數(shù)式進行變形得，再根據(jù)題意進行求值即可；【詳解】解：，因為計算結(jié)果中不含一次項，所以，則．【點睛】本題主要考查整式的乘除中多項式乘多項式，正確將代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021·江蘇無錫·七年級期中）若的計算結(jié)果中不含x2與x項．(1)求m、n的值；(2)求代數(shù)式（3m－n）2＋m2020·n2021的值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）先根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，并按未知數(shù)x合并同類項，再根據(jù)結(jié)果中不含x2與x項，即x2與x項的系數(shù)為0，求出m、n的值即可；（2）把（1）中的m、n值代入，再逆用冪的乘方與積的乘方公式計算即可．（1）解：，∵不含和x項，∴且，∴，；（2）解：當時【點睛】本題考查整式混合運算，代數(shù)式求值，掌握結(jié)果中不含x2與x項，即x2與x項的系數(shù)為0，求出m、n的值是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·湖南張家界·七年級期中）已知（x2＋px＋1）（x－2）的結(jié)果中不含x的二次項，求的值．【答案】【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則將（x2＋px＋1）（x－2）展開，然后根據(jù)不含二次項求出p的值，即可得到答案．【詳解】解：，∵（x2＋px＋1）（x－2）的結(jié)果中不含x的二次項，∴p－2＝0，∴p＝2．∴．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，代數(shù)式求值，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．題型五：多項式乘以多項式面積問題【例題5】（2022·山東泰安·期中）分別計算下圖中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）4a2+2ab+3b2【分析】（1）長為（3a+2b），寬為（2a+b）的長方形的面積減去長為（2b+a），寬為（b+a）的長方形的面積；（2）兩個長為a，寬為2a的長方形的面積加上長為（2a+3b），寬為b的長方形的面積．【詳解】解：（1）．答：圖中陰影部分的面積是；（2）2?a?2a+（2a+3b）b=4a2+2ab+3b2．答：圖中陰影部分的面積是4a2+2ab+3b2．【點睛】此題考查多項式乘多項式與圖形的面積，掌握長方形的面積計算公式與整式混合運算的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．變式訓練【變式5-1】（2022·廣西梧州·七年級期中）一個長方形的長為，寬比長少，若將長方形的長和寬都擴大．(1)求擴大后長方形的面積是多少？(2)若，求長方形擴大了的面積．【答案】(1)(2)增大的面積為【分析】（1）根據(jù)題意得（2x+2）（2x-3+2），利用多項式與多項式相乘的法則計算即可；（2）把x=3代入（1）中的結(jié)果進行計算即可．（1）擴大后長方形的長為，寬為，則擴大后長方形的面積是答：擴大后長方形的面積是．（2）即面積增大了．當時，．答：增大的面積為．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式與多項式相乘的法則，根據(jù)題意列出等式是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·陜西咸陽·七年級期中）如圖，某公園計劃在長米，寬米的長方形空地上修建橫、縱各兩條寬為a米的小路（陰影部分）供行人散步，其余部分種植草皮．分別求草地和小路的面積．【答案】草地的面積為平方米，小路的面積為平方米．【分析】草地的部分可以拼成一個長方形，求出草地的面積，再用總的面積減去草地的面積即可得．【詳解】解：因為草地的部分可以拼成一個長方形，所以草地的長為米，寬為（米），所以草地面積為平方米，所以小路面積為平方米．答：草地的面積為平方米，小路的面積為平方米．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形列出代數(shù)式，注意加單位．【變式5-3】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學研究室七年級期末）如圖，某市有一塊長方形地塊用來建造住宅、廣場和商廈．住宅用地是長為米，寬為米的長方形，廣場是長為米，寬為米的長方形．(1)這塊用地的總面積是多少平方米？(2)求出當時商廈的用地面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式即可列式求解；（2）根據(jù)商廈的用地面積=（2a-b）(4a-3a)，利用整式的乘法化簡，代入a，b即可求解．（1）解：用地總面積；（2）解：商廈的用地面積．當時，原式．【點睛】此題主要考查整式的乘法運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列式求解．題型六：多項式乘以多項式規(guī)律問題【例題6】（2022·甘肅定西·模擬預(yù)測）觀察：，，，據(jù)此規(guī)律，當時，代數(shù)式的值為____________．【答案】0或-2【分析】根據(jù)規(guī)律求出的值，再將所求的的值代入求解即可．【詳解】解：根據(jù)規(guī)律：∵∴，解得：或?qū)⒋?，可得：將代入，可得：故答案為?或-2．【點睛】本題考查了探索規(guī)律、代入求值等知識點，找到規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．變式訓練【變式6-1】（2021·利辛縣第四中學七年級期中）（1）計算：；；猜想：；（2）請你利用上式的結(jié)論，求的值；（3）請直接寫出的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式可進行求解；（2）由2-1=1及（1）中結(jié)論可直接進行求解；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論可進行求解．【詳解】解：（1）由題意得：，，……猜想：；故答案為；（2）由（1）可得：原式=（3）由（1）的結(jié)論可得：原式=．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式的應(yīng)用，熟練掌握多項式乘多項式是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2021·河南省淮濱縣第一中學）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發(fā)現(xiàn)：的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：，常數(shù)項為：，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項系數(shù)就是：，即一次項為．請你認真領(lǐng)會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算所得多項式的一次項系數(shù)為______．（2）若計算所得多項式不含一次項，求的值；（3）若，則______．【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．【分析】根據(jù)題意可得出結(jié)論多項式和多項式相乘所得結(jié)果的一次項系數(shù)是每個多項式的一次項系數(shù)分別乘以其他多項式的常數(shù)項后相加所得．（1）中每個多項式的一次項系數(shù)分別是1、3、5，常數(shù)項分別是2、1、-3，再根據(jù)結(jié)論即可求出所得多項式的一次項系數(shù)．（2）中每個多項式的一次項系數(shù)分別是1、-3、2，常數(shù)項分別是1、a、-1，再根據(jù)所得多項式的一次項系數(shù)為0，結(jié)合結(jié)論即可列關(guān)于a的一元一次方程，從而求出a．（3）中每個多項式一次項系數(shù)為1，常數(shù)項系數(shù)也為1，為所得多項式的一次項系數(shù)．所以根據(jù)結(jié)論為2121個相加，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)題意可知的一次項系數(shù)為：．故答案為-11．（2）根據(jù)題意可知的一次項系數(shù)為：∵該多項式不含一次項，即一次項系數(shù)為0，∴解得．（3）根據(jù)題意可知即為所得多項式的一次項系數(shù)．∴故答案為2021【點睛】本題考查多項式乘多項式以及對多項式中一次項系數(shù)的理解，根據(jù)題意找出多項式乘多項式所得結(jié)果的一次項系數(shù)與多項式乘多項式中每個多項式的一次項系數(shù)和常數(shù)項關(guān)系規(guī)律是解題關(guān)鍵．鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】計算的結(jié)果，與下列哪一個式子相同？（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由多項式乘法運算法則：兩多項式相乘時，用一個多項式的各項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，合并同類項后所得的式子就是它們的積．【詳解】解：由多項式乘法運算法則得．故選D．【點睛】本題考查多項式乘法運算法則，牢記法則，