14.1.4整式的乘法（二）（解析版）

整式的乘法（二）知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究知識(shí)點(diǎn)一：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.特別說明：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.題型一：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算【例題1】（2022·湖南常德·七年級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)分別乘以另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，從而可得答案．【詳解】解：原式=【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式的乘法，掌握“多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)整式的乘法和乘法公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期中）計(jì)算：（3x﹣2）（2x﹣3）．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法計(jì)算法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·四川樂山·八年級(jí)期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的即可求出答案．【詳解】解：原式＝6x3+9x2﹣12x﹣2x2﹣3x+4＝6x3+7x2﹣15x+4【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則．題型二：(x+a)(x+b)型多項(xiàng)式相乘【例題2】（2021·福建省寧化縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)月考）（Ⅰ）計(jì)算，將結(jié)果直接填在橫線上：______．______．______．______．（Ⅱ）認(rèn)真觀察（Ⅰ）中的算式與計(jì)算結(jié)果的特征，總結(jié)其中運(yùn)算規(guī)律，用公式來表示這種運(yùn)算規(guī)律（用a，b表示常數(shù)，）．【答案】（1）x2＋3x＋2，x2?3x＋2，x2＋x?2，x2?x?2；（2）（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法的法則逐一計(jì)算即可，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（2）根據(jù)（1）計(jì)算的結(jié)果，式子的一般形式是（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．【詳解】解：（1）（x＋1）（x＋2）＝x2＋3x＋2，（x?1）（x?2）＝x2?3x＋2，（x?1）（x＋2）＝x2＋x?2，（x＋1）（x?2）＝x2?x?2．故答案是：x2＋3x＋2，x2?3x＋2，x2＋x?2，x2?x?2；（2）可以發(fā)現(xiàn)題（1）中，左右兩邊式子符合（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab結(jié)構(gòu)．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·全國(guó)七年級(jí)單元測(cè)試）若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，求a＋b的值．【答案】－21.【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則把多項(xiàng)式的左邊展開，合并同類項(xiàng)后再根據(jù)多項(xiàng)式兩邊相同字母的系數(shù)相等，列出方程，求出a，b的值即可．【詳解】解：則解得則【點(diǎn)睛】考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】（2022·福建）閱讀理解：（1）計(jì)算，____________________，_______________，___________________，_____________；（2）應(yīng)用已知a、b、m均為整數(shù)，且，則m的可能取值有_____________個(gè)．【答案】（1），，；，；（2）6【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法的法則逐一計(jì)算即可，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（2）根據(jù)（1）計(jì)算的結(jié)果，式子的一般形式是，，故的取值6個(gè)．【詳解】解：（1），，，；（2）可以發(fā)現(xiàn)題（1）中，左右兩邊式子符合結(jié)構(gòu)，因?yàn)?2可以分解以下6組數(shù)，，，，，，所以應(yīng)有6個(gè)值．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·廈門外國(guó)語學(xué)校海滄附屬學(xué)校八年級(jí)期中）已知(x+a)(x+b)x2+mx+n（1）若a=1，b=2，則m=______，n=_______（2）若a=6，b=-3，求2m+2n的值【答案】（1）m=3，n=2；（2）-28【分析】把已知式子展開，得出m，n和a，b的關(guān)系式，帶入求解即可；【詳解】∵，∴，，（1）∵a1，b2，∴，，故答案是：3，2．（2）∵a6，b-3，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，準(zhǔn)確利用整式乘法展開計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型三：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值【例題3】（2022·廣西梧州·七年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；4【分析】根據(jù)整式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后代入字母的值即可求解．【詳解】解：原式＝；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2021·河南洛陽·八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)再求值：5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5），其中y＝﹣2．【答案】；【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可．【詳解】原式＝5y2﹣（3y2+y﹣6y﹣2）﹣2（y2﹣5y+y﹣5）＝5y2﹣3y2﹣y+6y+2﹣2y2+10y﹣2y+10＝13y+12，當(dāng)y＝﹣2時(shí)，原式＝13×（﹣2）+12＝﹣14．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．【變式3-2】（2022·廣西梧州·七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將字母的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的乘法的化簡(jiǎn)求值，正確的去括號(hào)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·山東菏澤·七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=2．【答案】；15【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求值即可．【詳解】解：原式===；當(dāng)x=2時(shí)，原式==．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的四則混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則準(zhǔn)確計(jì)算是本題的關(guān)鍵．題型四：已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值【例題4】（2022·山東聊城·七年級(jí)期中）已知的乘積中不含和項(xiàng)，求的值．【答案】2【分析】由多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合不含和項(xiàng)，求出，即可求出答案．【詳解】解：原式，∵其結(jié)果中不含和項(xiàng)，∴，解得：，∴．答：的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2022·山東濟(jì)南·期末）若代數(shù)式的計(jì)算結(jié)果中不含有x的一次項(xiàng)，求m的值．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式將代數(shù)式進(jìn)行變形得，再根據(jù)題意進(jìn)行求值即可；【詳解】解：，因?yàn)橛?jì)算結(jié)果中不含一次項(xiàng)，所以，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘除中多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確將代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021·江蘇無錫·七年級(jí)期中）若的計(jì)算結(jié)果中不含x2與x項(xiàng)．(1)求m、n的值；(2)求代數(shù)式（3m－n）2＋m2020·n2021的值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，并按未知數(shù)x合并同類項(xiàng)，再根據(jù)結(jié)果中不含x2與x項(xiàng)，即x2與x項(xiàng)的系數(shù)為0，求出m、n的值即可；（2）把（1）中的m、n值代入，再逆用冪的乘方與積的乘方公式計(jì)算即可．（1）解：，∵不含和x項(xiàng)，∴且，∴，；（2）解：當(dāng)時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，掌握結(jié)果中不含x2與x項(xiàng)，即x2與x項(xiàng)的系數(shù)為0，求出m、n的值是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·湖南張家界·七年級(jí)期中）已知（x2＋px＋1）（x－2）的結(jié)果中不含x的二次項(xiàng)，求的值．【答案】【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則將（x2＋px＋1）（x－2）展開，然后根據(jù)不含二次項(xiàng)求出p的值，即可得到答案．【詳解】解：，∵（x2＋px＋1）（x－2）的結(jié)果中不含x的二次項(xiàng)，∴p－2＝0，∴p＝2．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代數(shù)式求值，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．題型五：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式面積問題【例題5】（2022·山東泰安·期中）分別計(jì)算下圖中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）4a2+2ab+3b2【分析】（1）長(zhǎng)為（3a+2b），寬為（2a+b）的長(zhǎng)方形的面積減去長(zhǎng)為（2b+a），寬為（b+a）的長(zhǎng)方形的面積；（2）兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為2a的長(zhǎng)方形的面積加上長(zhǎng)為（2a+3b），寬為b的長(zhǎng)方形的面積．【詳解】解：（1）．答：圖中陰影部分的面積是；（2）2?a?2a+（2a+3b）b=4a2+2ab+3b2．答：圖中陰影部分的面積是4a2+2ab+3b2．【點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形的面積，掌握長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式與整式混合運(yùn)算的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2022·廣西梧州·七年級(jí)期中）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬比長(zhǎng)少，若將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都擴(kuò)大．(1)求擴(kuò)大后長(zhǎng)方形的面積是多少？(2)若，求長(zhǎng)方形擴(kuò)大了的面積．【答案】(1)(2)增大的面積為【分析】（1）根據(jù)題意得（2x+2）（2x-3+2），利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算即可；（2）把x=3代入（1）中的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．（1）擴(kuò)大后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，則擴(kuò)大后長(zhǎng)方形的面積是答：擴(kuò)大后長(zhǎng)方形的面積是．（2）即面積增大了．當(dāng)時(shí)，．答：增大的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，根據(jù)題意列出等式是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·陜西咸陽·七年級(jí)期中）如圖，某公園計(jì)劃在長(zhǎng)米，寬米的長(zhǎng)方形空地上修建橫、縱各兩條寬為a米的小路（陰影部分）供行人散步，其余部分種植草皮．分別求草地和小路的面積．【答案】草地的面積為平方米，小路的面積為平方米．【分析】草地的部分可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，求出草地的面積，再用總的面積減去草地的面積即可得．【詳解】解：因?yàn)椴莸氐牟糠挚梢云闯梢粋€(gè)長(zhǎng)方形，所以草地的長(zhǎng)為米，寬為（米），所以草地面積為平方米，所以小路面積為平方米．答：草地的面積為平方米，小路的面積為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形列出代數(shù)式，注意加單位．【變式5-3】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，某市有一塊長(zhǎng)方形地塊用來建造住宅、廣場(chǎng)和商廈．住宅用地是長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形，廣場(chǎng)是長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形．(1)這塊用地的總面積是多少平方米？(2)求出當(dāng)時(shí)商廈的用地面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式即可列式求解；（2）根據(jù)商廈的用地面積=（2a-b）(4a-3a)，利用整式的乘法化簡(jiǎn)，代入a，b即可求解．（1）解：用地總面積；（2）解：商廈的用地面積．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列式求解．題型六：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式規(guī)律問題【例題6】（2022·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）觀察：，，，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為____________．【答案】0或-2【分析】根據(jù)規(guī)律求出的值，再將所求的的值代入求解即可．【詳解】解：根據(jù)規(guī)律：∵∴，解得：或?qū)⒋耄傻茫簩⒋?，可得：故答案為?或-2．【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律、代入求值等知識(shí)點(diǎn)，找到規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式6-1】（2021·利辛縣第四中學(xué)七年級(jí)期中）（1）計(jì)算：；；猜想：；（2）請(qǐng)你利用上式的結(jié)論，求的值；（3）請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式可進(jìn)行求解；（2）由2-1=1及（1）中結(jié)論可直接進(jìn)行求解；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）由題意得：，，……猜想：；故答案為；（2）由（1）可得：原式=（3）由（1）的結(jié)論可得：原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)）好學(xué)的小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：，常數(shù)項(xiàng)為：，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：，即一次項(xiàng)為．請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對(duì)多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為______．（2）若計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求的值；（3）若，則______．【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．【分析】根據(jù)題意可得出結(jié)論多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘所得結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)是每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別乘以其他多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)后相加所得．（1）中每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別是1、3、5，常數(shù)項(xiàng)分別是2、1、-3，再根據(jù)結(jié)論即可求出所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．（2）中每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別是1、-3、2，常數(shù)項(xiàng)分別是1、a、-1，再根據(jù)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為0，結(jié)合結(jié)論即可列關(guān)于a的一元一次方程，從而求出a．（3）中每個(gè)多項(xiàng)式一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)也為1，為所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．所以根據(jù)結(jié)論為2121個(gè)相加，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)題意可知的一次項(xiàng)系數(shù)為：．故答案為-11．（2）根據(jù)題意可知的一次項(xiàng)系數(shù)為：∵該多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，∴解得．（3）根據(jù)題意可知即為所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．∴故答案為2021【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及對(duì)多項(xiàng)式中一次項(xiàng)系數(shù)的理解，根據(jù)題意找出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式所得結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)與多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)關(guān)系規(guī)律是解題關(guān)鍵．鏈接中考體驗(yàn)真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】計(jì)算的結(jié)果，與下列哪一個(gè)式子相同？（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則：兩多項(xiàng)式相乘時(shí)，用一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，合并同類項(xiàng)后所得的式子就是它們的積．【詳解】解：由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，牢記法則，