考點(diǎn)08一元一次不等式（組）

考點(diǎn)八一元一次不等式（組）知識(shí)點(diǎn)整合一、不等式的概念、性質(zhì)及解集表示1．不等式一般地，用符號(hào)“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性質(zhì)理論依據(jù)式子表示性質(zhì)1不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變?nèi)?，則性質(zhì)2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變?nèi)?，，則或性質(zhì)3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變?nèi)?，，則或不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時(shí)，應(yīng)注意：在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變．3．不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式有無(wú)限個(gè)解．二、一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的一般步驟解一元一次不等式的一般步驟為：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）．三、一元一次不等式組及其解法1．一元一次不等式組一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一元一次不等式組．2．一元一次不等式組的解集一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組．3．一元一次不等式組的解法先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒(méi)有公共部分，則該不等式組無(wú)解．4．幾種常見(jiàn)的不等式組的解集設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：不等式組（其中）數(shù)軸表示解集口訣同大取大同小取小大小、小大中間找無(wú)解大大、小小取不了考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和．考向一不等式的定義及性質(zhì)（1）含有不等號(hào)的式子叫做不等式．（2）不等式兩邊同乘以或除以一個(gè)相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向，在運(yùn)用中，往往會(huì)因?yàn)橥浉淖儾坏忍?hào)方向而導(dǎo)致錯(cuò)誤．典例引領(lǐng)1．整數(shù)滿足，則的最小可能值是（

）．A．465 B．473 C．480 D．484【答案】A【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)確定最大值和最小值即可解答；由可知最小是19，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)逐步求得m的最小值即可．【詳解】解：∵，∴最小是19，∵，∴，即p最小是77，∵，∴，即n的最小是，∵，∴，即m的最小值是465．故選：A．2．若，，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A選項(xiàng)：已知，，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)的不等式不一定成立；B選項(xiàng)：若，，此時(shí)，但，故B選項(xiàng)的不等式不一定成立；C選項(xiàng)：∵，，∴，，∴．故C選項(xiàng)的不等式一定成立；D選項(xiàng)：若，，，則，故D選項(xiàng)的不等式不一定成立．故選：C3．下列判斷不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：若，則，故選項(xiàng)A正確；若，則，故選項(xiàng)B正確；若，則，故選項(xiàng)C不正確；若，則，故選項(xiàng)D正確．故選C．4．對(duì)不等式進(jìn)行變形，結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式左右兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式，不等號(hào)方向不變；不等式左右兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式左右兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，即可做出判斷，解題關(guān)鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【詳解】、∵，不等式的性質(zhì)，∴，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、∵，不等式的性質(zhì)，∴，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵，不等式的性質(zhì)，∴，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵，不等式的性質(zhì)∴，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：．5．如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)所表示的數(shù)分別為，則下列不等式不成立是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸，不等式的性質(zhì)，由數(shù)軸可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由數(shù)軸可得，A．，故原選項(xiàng)不成立，符合題意；B．，故原選項(xiàng)成立，不符合題意；C.，故原選項(xiàng)成立，不符合題意；D．，故原選項(xiàng)成立，不符合題意；故選：A．6．若有理數(shù)a，，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列運(yùn)算、、、結(jié)果是負(fù)數(shù)的有（）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)a，，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)列出不等式求解即可．【詳解】∵，∴，∴，∵∴∵∴∴a到原點(diǎn)的距離大于b到原點(diǎn)的距離，∴如圖所示，，∴，整理得，，根據(jù)題意無(wú)法判斷的正負(fù)，∴結(jié)果是負(fù)數(shù)的有1個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．二、填空題7．若，則，，，從小到大的順序?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)的大小比較．熟練掌握不等式的性質(zhì)，有理數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵．由，可得，，，然后作答即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴，故答案為：．8．已知角為銳角，角為鈍角，其數(shù)值已給出，在計(jì)算的值時(shí)，全班得到和這樣三個(gè)不同的結(jié)果，其中確定有正確的結(jié)果，則正確的結(jié)果是．【答案】/115度【分析】本題考查了角的分類，不等式的傳遞性，根據(jù)題意得出，則，進(jìn)而得出，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，只有滿足．故答案為：．9．在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子：①；②；③；④．其中正確的有（填上序號(hào)）【答案】①②【分析】本題主要考查了數(shù)軸及不等式的性質(zhì)，先確定的關(guān)系，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)判定大小，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用不等式的性質(zhì)判定大?。驹斀狻坑蓴?shù)軸上數(shù)的位置可得，①∵，∴，故①正確，符合題意；②∵，∴，故②正確，符合題意；③∵，∴，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④∵，∴∴，故④錯(cuò)誤，不符合題意．故選答案為：①②10．已知有理數(shù)a，b的和即與差即在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查的是利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，先判斷，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可．【詳解】解：由題意可得：，，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．11．已知，下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則．其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）．【答案】④【解析】略三、解答題12．由于無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以對(duì)于其小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，但是我們可以用這個(gè)無(wú)理數(shù)減去其整數(shù)部分來(lái)表示．比如的整數(shù)部分是1，所以其小數(shù)部分就可以表示為．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題(1)a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則的值是；(2)已知，其中x是整數(shù)，求的值．【答案】(1)3(2)【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分，不等式的性質(zhì)，代數(shù)式求值．熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算，正確表示無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，，則，，然后代值求解即可；（2）由，可得，進(jìn)而可求，，然后代值求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，，∴，故答案為：3；（2）∵，∴，∴，∵，x是整數(shù)，∴，，∴，∴的值為．變式拓展1．已知，下列式子不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：．，，，故該選項(xiàng)不符合題意；．當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)符合題意；．不等式兩邊都加上3，不等號(hào)的方向不變，故該選項(xiàng)不符合題意；．不等式兩邊都乘，不等號(hào)的方向改變，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解題的關(guān)鍵．2．已知，下列結(jié)論中正確的有（）個(gè)，①，②，③若，那么，④若，那么．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合特值法逐一判斷即可.【詳解】解：∵，則①當(dāng)，時(shí)，，故①不符合題意；②當(dāng)，時(shí)，，故②不符合題意；③若，則，即，故③不符合題意；④若，則，則，故④符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，倒數(shù)的含義，能熟練掌握不等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，①不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變，②不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，③不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．3．根據(jù)下圖，下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，，然后結(jié)合有理數(shù)的加減運(yùn)算法則，不等式的性質(zhì)，相反數(shù)的意義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸得：，①錯(cuò)誤；∵，，∴，，∴，②正確；∵，，∴，③正確；∵，，∴，④正確；綜上，正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加減，不等式的性質(zhì)，相反數(shù)，根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．若，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：∵，∴，A錯(cuò)誤，故不符合要求；當(dāng)且時(shí)，，B錯(cuò)誤，故不符合要求；當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤，故不符合要求；，D正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．5．如果，那么下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變．【詳解】解：A、∵，在不等式兩邊同時(shí)乘一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵，∴，∴，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵，∴，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵，∴，∴，故該選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，熟記概念是關(guān)鍵．6．已知，那么最小值為（

）A． B． C． D．12【答案】D【分析】先利用基本不等式求得的取值范圍，代入原式，再次利用基本不等式求其最小值．【詳解】解：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，最小值為12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值，基本不等式公式：當(dāng)，則（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．7．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【詳解】解：A、若，則，即，故該選項(xiàng)正確；B、∵，當(dāng)時(shí)，則，故該選項(xiàng)正確；C、若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、若，則，故該選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．三個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，滿足，則下列不等式一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，故A符合題意；B、∵，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，故C不符合題意；D、∵，∴不一定大于b，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．二、填空題9．已知關(guān)于、的二元一次方程組，若，設(shè)，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用得，，即：，再根據(jù)，可得，問(wèn)題隨之得解．【詳解】，得，，即：，∵，∴，即，∴S的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題考查了采用加減消元法求解二元一次方程組的解，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，掌握加減消元法是解答本題的關(guān)鍵．10．若的解集為，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：的解集為，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．三、解答題11．（1）如果，那么______；如果，那么______；如果，那么______．（填“”、“”或“”）（2）試用（1）提供的方法比較與的大?。敬鸢浮浚?），，（2）【分析】（1）分別將移項(xiàng)，即可求解；（2）作差：，判斷結(jié)果，即可求解．【詳解】解：（1），，，，，，故答案：，，；（2）由題意得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，整式加減，掌握比較方法是解題的關(guān)鍵．12．已知，求的取值范圍？【答案】【分析】由，可得，再根據(jù)，可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，，又，，由，得，，，；由，得，，，，綜上所述，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)題意得出是解答本題的關(guān)鍵．考向二一元一次不等式（組）的解集及數(shù)軸表示（1）一元一次不等式的求解步驟：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1．（2）進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論．典例引領(lǐng)1．方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，解一元一次不等式，將兩方程相加得出，然后根據(jù)即可求解，正確理解題意、掌握題中特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，得，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．2．無(wú)論取何值，都成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】分類討論求出不同情況下的取值即可求出的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，，則當(dāng)時(shí)，恒成立．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求一元一次不等式的解集、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、含絕對(duì)值的一元一次不等式，解題關(guān)鍵是對(duì)含絕對(duì)值的不等式分類討論求解．3．不等式的解集為．【答案】【分析】本題主要考查解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，進(jìn)行求解即可．【詳解】，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．故答案為：二、解答題4．（1）解方程組：．（2）求不等式的解集．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）本題考查了解二元一次方程組，掌握加減消元法或代入消元法，即可解題．（2）本題考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法，即可解題．【詳解】（1）解：，由，得③，由，得，把代入①得，解得，∴原方程組的解是．（2）解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，化系數(shù)為1得：，原不等式的解集為．5．解不等式，并把解在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸上表示見(jiàn)詳解【分析】此題主要考查了一元一次不等式的解法，正確解不等式是解題關(guān)鍵．直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．【詳解】解：去分母得：，則，解得：．解集在數(shù)軸上表示為：6．解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：(1)；(2)．【答案】(1)，數(shù)軸表示見(jiàn)解析(2)，數(shù)軸表示見(jiàn)解析【詳解】（1）去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得．這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．（2）去分母，得．去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．7．定義關(guān)于@的一種運(yùn)算：，如．(1)若，且x為正整數(shù)，求x的值．(2)若關(guān)于x的不等式的解和的解相同，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了新定義，解一元一次不等式；（1）利用題中的新定義得出不等式，解不等式求出x的取值范圍，再根據(jù)x為正整數(shù)得出答案；（2）求出不等式的解集，利用題中的新定義得出關(guān)于a的不等式，解不等式求出，再根據(jù)兩個(gè)不等式的解集相同求出a的值即可．【詳解】（1）解：由得：，解得，∵x為正整數(shù)，∴；（2）解不等式得：，由得：，解得：，∵關(guān)于x的不等式的解和的解相同，∴，解得．8．解方程組、解不等式組．(1)解方程組：(2)解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】(1)(2)解集為，數(shù)軸表示見(jiàn)解析．【分析】本題考查了代入消元法解二元一次方程組及解不等式組，表示不等式的解集，熟練求解二元一次方程組及不等式組是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)代入消元法求解即可；（2）先求解不等式組，再表示出解集即可．【詳解】（1）解：解法一：把②變形得．③把③代入①得，解得．把代入③得．該方程組的解為解法二：把①變形得．③把③代入②得，解得．把代入③得．該方程組的解為（2）解：解不等式①得，解不等式②得．在數(shù)軸上表示出不等式①②的解集如圖所示，該不等式組的解集為．變式拓展一、單選題1．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸是表示不等式的解集，先解不等式，然后將解集表示在數(shù)軸上即可，正確解答一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，在數(shù)軸是表示不等式的解集為：故選：．二、填空題2．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例如：，．若，那么x的所有可能的值是．【答案】20或12或28【分析】本題考查解一元一次方程和不等式，根據(jù)新運(yùn)算的法則，列出方程，進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握新運(yùn)算的法則，正確的列出方程．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)，所以，即時(shí)，，解得；當(dāng)，即時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即時(shí)，，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，，解得；綜上，的值為：20或12或28，故答案為：20或12或28．3．若關(guān)于x、y的方程組有整數(shù)解，且關(guān)于z的一元一次不等式有負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．【答案】【分析】本題考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，先解二元一次方程組，根據(jù)方程組的解的情況求得a的值，再根據(jù)一元一次不等式的解的情況得到a的取值范圍，然后取公共a值即可．解答關(guān)鍵是正確求得a的取值范圍進(jìn)而求得a值．【詳解】解：解方程組，得：，則，將代入②中，得，則，∴方程組的解為，∵該方程組有整數(shù)解，∴為或，當(dāng)即，符合題意；當(dāng)即，符合題意；當(dāng)即，符合題意；當(dāng)即，符合題意；∵關(guān)于z的一元一次不等式即有負(fù)整數(shù)解，∴，則，綜上，或，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為，故答案為：．4．若不等式的解是，則不等式的解是．【答案】【分析】先解第一個(gè)不等式，根據(jù)不等式的解得到，，再代入第二個(gè)不等式中求解即可．【詳解】解：解不等式得，∵該不等式的解是，∴該不等式的解為，且，∴，則，∵，∴，則，∴不等式可化為，即，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式和一元一次不等式的解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法，利用不等式的性質(zhì)解答．三、解答題5．已知不等式．(1)若它的解集與不等式的解集相同，求的值并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；(2)若它的解都是不等式的解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】略6．解下列不等式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的步驟解不等式即可；（2）根據(jù)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解不等式即可；此題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，（2）去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，．7．解下列不等式，并把解表示在下列數(shù)軸上．．【答案】，數(shù)軸上表示見(jiàn)解析【分析】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集；先解不等式，根據(jù)不等式的解集表示在數(shù)軸上，即可求解．【詳解】解：原不等式可變形為：，解得：；此解集在數(shù)軸上表示為：8．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于@的一種運(yùn)算如下：，例如：，．(1)若，求x的取值范圍；(2)已知關(guān)于x的方程的解滿足，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式，正確的解一元一次不等式、一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式，求解即可；（2）先解關(guān)于x的方程得出，再將代入由列出的關(guān)于a的不等式中，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，解得，；（2）解：，去括號(hào)得，，移項(xiàng)合并得，，系數(shù)化為1得，，∵，關(guān)于x的方程的解滿足，∴，解得，．考向三一元一次不等式（組）的整數(shù)解問(wèn)題此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解不等式（組），通過(guò)不等式（組）的解集，然后寫(xiě)出符合題意的整數(shù)解即可．典例引領(lǐng)一、單選題1．已知關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)題意得到必定有整數(shù)解0，再根據(jù)恰有3個(gè)整數(shù)解分類討論，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解：由于不等式組有解，則，必定有整數(shù)解0，∵，∴三個(gè)整數(shù)解不可能是．若三個(gè)整數(shù)解為，則不等式組無(wú)解；若三個(gè)整數(shù)解為0，1，2，則；解得．故選：B．二、填空題2．寫(xiě)出一個(gè)滿足不等式組的整數(shù)解．【答案】（答案不唯一，寫(xiě)出、0、1中的一個(gè)即可）【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集，再結(jié)合題干條件，即可解題．【詳解】解：由得：，由得：，則不等式組的解集為，所以不等式組的整數(shù)解為、0、1，故答案為：（答案不唯一，寫(xiě)出、0、1，中的一個(gè)即可）．3．對(duì)于任何數(shù)a，符號(hào)表示不大于a的最大整數(shù)，例如：，，，如果，則滿足條件的所有整數(shù)x的和為．【答案】【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，正確理解定義，轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，關(guān)于x的所有整數(shù)為，∴．故答案為．三、解答題4．解不等式組將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解．【答案】不等式組的解集：，解集在數(shù)軸上表示見(jiàn)解析，整數(shù)解有：，，0，1，2，3【分析】本題考查解不等式組，用數(shù)軸表示出不等式組的解集，求不等式組的整理數(shù)解．先分別求出不等式組中每一個(gè)不等式解集，再確定出不等式組的解集，然后用數(shù)軸表示出不等式組的解集，并寫(xiě)不等式組的整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集：，解集數(shù)軸表示：整數(shù)解有：，，0，1，2，3．5．解不等式組，并求出所有整數(shù)解的和．【答案】【分析】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分求出不等式組的解集，進(jìn)而求出整數(shù)解即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，不等式組的解集為，不等式組的整數(shù)解為，，，，0，1，其和為：故答案為：6．解不等式組：，并求它的整數(shù)解的和．【答案】不等式組的解集為，，整數(shù)解的和為．【分析】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）．先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解，然后寫(xiě)出整數(shù)解，再相加即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，則不等式組的解集為，故不等式組的整數(shù)解的和為．7．解不等式組，把解集表示在數(shù)軸上，并直接寫(xiě)出這個(gè)不等式組的所有整數(shù)解．【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析，【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，則不等式組的解集為．不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．這個(gè)不等式組的所有整數(shù)解為．8．解不等式組，并把所有的整數(shù)解寫(xiě)出來(lái)．【答案】原不等式組的解集為，不等式組的所有整數(shù)解為、0、1【分析】此題主要考查不等式組的解法，根據(jù)不等式的性質(zhì)，分別解出不等式，再求出其公共解集，再寫(xiě)出整數(shù)解即可．【詳解】解：，解①得：，解②得：，把它們的解集在數(shù)軸上表示如下：∴原不等式組的解集為，∴不等式組的所有整數(shù)解為、0、1.變式拓展一、單選題1．若關(guān)于x的不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式組可得解集為，再根據(jù)不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，即可求解．【詳解】解：，由①得，，由②得，，∴不等式組的解集為，∵不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，∴這三個(gè)整數(shù)是0、1、2，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解不等式組和不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．關(guān)于的方程的解為非負(fù)整數(shù)，若，則符合條件的所有整數(shù)的和為.【答案】【分析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式，準(zhǔn)確找出所有符合條件的結(jié)果，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，得到，根據(jù)為非負(fù)整數(shù)，且為整數(shù)，得到或，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：關(guān)于的方程的解為非負(fù)整數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，即，解得，又，，為非負(fù)整數(shù)，且為整數(shù)，或，故符合條件的所有整數(shù)的和為．故答案為：．三、解答題3．解不等式組：．（注：必須通過(guò)畫(huà)數(shù)軸求解集）并寫(xiě)出該不等式組的最小整數(shù)解．【答案】原不等式組的解集是：；該不等式組的最小整數(shù)解是：【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握確定解集的規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小找不到是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)解一元一次不等式組的方法，分別解不等式，得到，，在數(shù)軸上將，表示出來(lái)，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解①得：，解②得：，原不等式組的解集是：．該不等式組的最小整數(shù)解是：．4．解不等式組，并寫(xiě)出它的所有非負(fù)整數(shù)解．【答案】，【分析】分別解兩個(gè)一元一次不等式，得到一元一次不等式組的解集，再根據(jù)解集得到它的非負(fù)整數(shù)解即可解答．【詳解】解：，解①得：，解②得：，故原不等式組的解集為，它的所有非負(fù)整數(shù)解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟知非負(fù)整數(shù)的意義即為正整數(shù)和0，是解題的關(guān)鍵．5．解不等式組：，并寫(xiě)出該不等式組的負(fù)整數(shù)解．【答案】【分析】先求出各不等式的解集，然后再確定不等式組的解集，最后確定不等式的負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，故不等式組的解集為：．所以該不等式組的負(fù)整數(shù)解為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元一次方程的整數(shù)解，求出一元一次不等式的解集是解答本題的關(guān)鍵．6．解不等式組，并求出它的整數(shù)解．【答案】解集為，整數(shù)解為：2、3、4、5【分析】先根據(jù)解不等式的步驟分別解出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小是無(wú)解，求出該不等式組的解集，進(jìn)而找出其解集范圍內(nèi)的整數(shù)即可．【詳解】解：由①得：，由②得：原不等式組的解集為，不等式組的整數(shù)解為：2、3、4、5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組及整數(shù)解問(wèn)題，掌握解法是解題的關(guān)鍵．7．解不等式（組）：(1)解不等式；(2)解不等式組，把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．并寫(xiě)出其整數(shù)解．【答案】(1)(2)，數(shù)軸表示見(jiàn)解析，整數(shù)解為【分析】（1）按照解不等式的步驟“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”求出不等式的解集；（2）分別解出兩個(gè)不等式，根據(jù)口訣“同大取大、同小取小、大小小大取中間、大大小小無(wú)解”求出不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出來(lái)，最后找出整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，解得：；（2）解：，解不等式，得，解不等式，得，原不等式的解集是．在數(shù)軸上表示則整數(shù)解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解不等式和解不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，一元一次不等式組的整數(shù)解，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握解不等式．考向四求參數(shù)的值或取值范圍求解此類題目的難點(diǎn)是根據(jù)不等式（組）的解的情況得到關(guān)于參數(shù)的等式或不等式，然后求解即可．典例引領(lǐng)一、單選題1．若不等式組的解集為，那么（）A． B．C．， D．【答案】D【分析】本題考查的是解一元一次不等式組．先把a(bǔ)、b當(dāng)作已知條件表示出不等式組的解集，再與已知解集相比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，∴原不等式組的解集為，∵不等式組的解集為，∴，解得：．故選：D2．已知關(guān)于x的不等式組有兩個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．解出一元一次不等式組的解集，根據(jù)有兩個(gè)整數(shù)解得出a的取值范圍．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，故不等式組的解集為，不等式組有兩個(gè)整數(shù)解，，，故選B．3．若關(guān)于x的不等式的解集為，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】略二、填空題4．若關(guān)于的不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)關(guān)于的不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，即可得到的取值范圍．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，關(guān)于的不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，，故答案為：．5．已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式．先根據(jù)題意判斷出、的符號(hào)及大小，再代入不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：關(guān)于的不等式的解集為，，，，，，，，即，，即．故答案為：．6．已知不等式組，有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解．關(guān)鍵是先解每一個(gè)不等式，再根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，確定含a的不等式的取值范圍．先解每一個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組有3個(gè)整數(shù)解，確定含a的不等式的取值范圍．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∵不等式組有3個(gè)整數(shù)解，即：，0，1，，，故答案為：．7．關(guān)于x的不等式組無(wú)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了不等式組的解集問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組的一般方法．先求出的解集為，然后分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)不等式有解時(shí)，當(dāng)不等式無(wú)解時(shí)，分別求出結(jié)果即可．【詳解】解：由不等式，得，（1）當(dāng)不等式有解時(shí)，解不等式得：，∴，解得：；（2）當(dāng)不等式無(wú)解時(shí)，，解得：；綜合（1），（2）可得：．8．若不等式的正整數(shù)解是1，2，3，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了不等式的解法和一元一次不等式整數(shù)解的應(yīng)用．先解不等式得到，再根據(jù)正整數(shù)解的情況得到，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：解不等式得，∵正整數(shù)解是1，2，3，∴m的取值范圍是，即．故答案為：三、解答題9．不等式的正整數(shù)解為1，2，3，4，求a的取值范圍．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)不等式的解求參數(shù)，根據(jù)題意得，根據(jù)此不等式正整數(shù)解為1，2，3，4得，則，可得，即可得，進(jìn)行計(jì)算即可得，根據(jù)不等式的解確定a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵此不等式正整數(shù)解為1，2，3，4，∴，∴，∴，∴，∴．10．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是多少？【答案】【詳解】由條件可得由，得，將代入中，得．則可變形為．又，．11．關(guān)于x，y的方程組的解滿足，且關(guān)于x的不等式組有解，求符合條件的整數(shù)k的值．【答案】k的值為，0，1，2，3．【詳解】解：①＋②，得，∴．∵，∴，解得．解不等式③，得．解不等式④，得．∵關(guān)于x的不等式組有解，∴．綜上所述，．故符合條件的整數(shù)k的值為，0，1，2，3．變式拓展一、單選題1．若關(guān)于x的一元一次不等式的解為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，兩邊同時(shí)除以，不等式的符號(hào)發(fā)生改變，可知，求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元一次不等式的解為，，．故選：A．2．已知關(guān)于的不等式組的整數(shù)解只有1、2、3，其中都為整數(shù)，則的值共有（

）A．16個(gè) B．17個(gè) C．18個(gè) D．72個(gè)【答案】D【分析】本題考查