2021-2022高中數(shù)學(xué)人教版必修2作業(yè)2.3.2平面與平面垂直的判定（系列一）Word版含解析

第二章2.3基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系，其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②[答案]B[解析]對①，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯誤的；對②，由于a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補(bǔ)，是正確的；對③，因為不垂直于棱，所以是錯誤的；④是正確的，故選B．[點(diǎn)評]根據(jù)二面角的相關(guān)概念進(jìn)行分析判定．2．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面()A．有1個 B．有2個C．有無數(shù)個 D．不存在[答案]C[解析]經(jīng)過l的平面都與α垂直，而經(jīng)過l的平面有無數(shù)個，故選C．3．以下三個命題中，正確的命題有()①一個二面角的平面角只有一個；②二面角的棱垂直于這個二面角的平面角所在的平面；③分別在二面角的兩個半平面內(nèi)，且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大小A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]B[解析]僅②正確．4．已知α，β是平面，m、n是直線，給出下列表述：①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β.其中表述正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①是平面與平面垂直的判定定理，所以①正確；②中，m，n不一定是相交直線，不符合兩個平面平行的判定定理，所以②不正確；③中，還可能n∥α，所以③不正確；④中，由于n∥m，n?α，m?α，則n∥α，同理n∥β，所以④正確．5．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[答案]D[解析]如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC，設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α－l－β的平面角或補(bǔ)角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小為60°或120°.6．(2015·福建泉州質(zhì)量檢測)在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]可畫出對應(yīng)圖形，如圖所示，則BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF?平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．二、填空題7．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右圖所示，則在三棱錐P－ABC的四個面中，互相垂直的面有________對．[答案]3[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可證：平面PAB⊥平面PAC．8．如下圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1[答案]1[解析]∵AB⊥平面BC1，C1F?平面BC1，CF?平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∴C1F⊥EF，CF⊥∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.三、解答題9．(2013·山東)如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：平面EFG⊥平面EMN.[分析]本題可以根據(jù)已知條件證明AB⊥平EFG，然后利用MN∥AB得到平面EFG⊥平面EMN.[證明]因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD．又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.10．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．同時，AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．(3)設(shè)AC∩BD＝O，連接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC．又由DO⊥AC，故∠POD為二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PDO中，tan∠POD＝eq\f(PD,OD)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).能力提升一、選擇題1．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中，正確的是()A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直[答案]B[解析]由題意，m與α斜交，令其在α內(nèi)的射影為m′，則在α內(nèi)可作無數(shù)條與m′垂直的直線，它們都與m垂直，A錯；如圖示(1)，在α外，可作與α內(nèi)直線l平行的直線，C錯；如圖(2)，m?β，α⊥β.可作β的平行平面γ，則m∥γ且γ⊥α，D錯．2．把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則△ABC是()A．正三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形[答案]A[解析]設(shè)正方形邊長為1，AC與BD相交于O，則折成直二面角后，AB＝BC＝1，AC＝eq\r(CO2＋AO2)＝eq\r(\f(\r(2),2)2＋\f(\r(2),2)2)＝1，則△ABC是正三角形．3．自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個面引垂線，則兩垂線的夾角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．互余 D．無法確定[答案]B[解析]如圖，BD、CD為AB、AC所在平面與α、β的交線，則∠BDC為二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.4．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[答案]A[解析]由平面圖得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴選A．二、填空題5．在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq\r(3)，則二面角P－AB－C的大小為________.[答案]60°[解析]取AB中點(diǎn)M，連接PM，MC，則PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，同理MC＝1，則△PMC是等邊三角形，∴∠PMC＝60°.6．(1)若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的關(guān)系是________.(2)若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角大小關(guān)系為________.[答案](1)相等或互補(bǔ)(2)不定[解析](2)易誤答相等或互補(bǔ)，想象門的開關(guān)，構(gòu)造符合題意的模型即可．三、解答題7．(2015·湖南卷)(本小題滿分12分)如下圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1(Ⅰ)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(Ⅱ)若直線A1C與平面A1ABB1[答案](Ⅰ)略；(Ⅱ)eq\f(\r(6),12)[分析](Ⅰ)首先證明AE⊥BB1，AE⊥BC，得到AE⊥平面B1BCC1，利用面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面AEF⊥平面B1BCC1；(Ⅱ)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，證明角∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設(shè)知∠CA1[解析](Ⅰ)如圖，因為三棱柱ABC－A1B1C1所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(Ⅱ)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接A1D，CD，因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設(shè)知∠CA所以A1D＝CD＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)，在Rt△AA1D中，AA1＝eq\r(A1D2－AD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以FC＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(\r(2),2)，故三棱錐F－AEC的體積V＝eq\f(1,3)SAEC×FC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),12).8．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大?。甗解析](1)證明：如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD