2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：19 立體幾何中的軌跡問題(解析版)

19立體幾何中軌跡問題

目錄

一、熱點題型歸納...............................................................................1

【題型一】由動點保持平行求軌跡............................................................1

【題型二】由動點保持垂直求軌跡............................................................4

【題型三】由動點保持等距（或定長）求軌跡.................................................9

【題型四】由動點保持等角（或定角）求軌跡.................................................12

【題型五】投影求軌跡......................................................................16

【題型七】翻折與動點求軌跡...............................................................19

二、最新?？碱}組練............................................................................22

【題型一】由動點保持平行性求軌跡

【典例分析】

如圖，在邊長為a的正方體A8CD-A1B1GO1中，E、尸、G、H.N分別是CG、GDi,DDi.

CD、3c的中點，”在四邊形E尸G”邊上及其內(nèi)部運(yùn)動，若MN〃面則點M軌跡

的長度是（）

【答案】D

【分析】

連接G”、HN,有GH〃BAi,HN//BD,證得面4山?！鍳HV,由己知得點M須在線段

G”上運(yùn)動，即滿足條件，由此可得選項.

【詳解】

解：連接GH、HN、GN,..?在邊長為a的正方體ABCZK4bBicid中，E、F、G、”分別是

CG、GA、DDi.C。的中點，N是2C的中點，

則GH〃B4,HN//BD,又GH.面AB。，BAiu面A/。，所以GH〃面4BD,同理可證

得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H,...面〃面G//M

又：點M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動，〃面A\BD,

則點M須在線段GH上運(yùn)動，即滿足條件，GH—a,則點M軌跡的長度是巫

22

故選:

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡

2.平行時可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡

【變式演練】

1.在三棱臺中，點。在A聲上，且叫//8。，點M是三角形ABC內(nèi)（含邊

界）的一個動點，且有平面瓦亞//平面AACG，則動點M的軌跡是（）

A.三角形A與G邊界的一部分B.一個點

C.線段的一部分D.圓的一部分

【答案】C

【分析】

過。作DE//AG交于E,連接班，證明平面加見//平面A41GC,得MeDE,即得

結(jié)論.

【詳解】

如圖，過。作。口/4G交片G于E，連接班，

BD//AA,,800平面441GC,44,u平面A41clC,所以8。//平面A41GC,

同理DEV/平面A41clC,又BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面3DE〃平面A41c0,所以MeDE,（M不與。重合，否則沒有平面BDM）,

2.已知正方體ABCD-A旦G2的棱長為2,E、/分別是棱AA、AR的中點，點P為底面

ABC。內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線2P與平面3歷無公共點，則點尸的軌跡長度為

（）

A.V2+1B.非C.V2+—D.76

2

【答案】B

【分析】

以點。為坐標(biāo)原點，DA.DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

點P（a,80）,計算出平面3所的一個法向量質(zhì)的坐標(biāo)，由已知條件得出機(jī)=0,可得

出。、b所滿足的等式，求出點P的軌跡與線段AD、的交點坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

以點。為坐標(biāo)原點，DA.DC、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則5(2,2,0)、￡(2,0,1),尸(1,0,2)、2(0,0,2),設(shè)點P(a,瓦0),

UUL

BE=(0,-2,1),跖=(-1,0,1),設(shè)平面BEF的法向量為m=(x,y,z),

m-BE=-2y+z=0”

由*八，取z=2可得加=（2,1,2）,

m-EF=—x+z=0

RP=（a,b,-2）,由題意可知，RP〃平面BEF,則。尸〃2=24+6-4=0,

令6=0,可得。=2；令6=2,可得。=1.

所以，點戶的軌跡交線段AD于點A（2,0,0）,交線段的中點M（l,2,0）,

所以，點P的軌跡長度為|AM|=J（2-:+（0-2）2=6

故選：B.

3.在棱長為2的正方體ABCD-ABGR中，點E,F分別是棱￡，，的中點，尸是上

底面AMG2內(nèi)一點（含邊界），若AP//平面BOEF,則尸點的軌跡長為（）

A.1B.V2C.2D.272

【答案】B

【分析】

由分別取棱4用、42的中點M、M連接朋N,由線面平行得面面平行，得動點軌跡，從而

可計算其長度.

【詳解】

如圖所示，分別取棱4月、4自的中點M、N,連接"N,連接與已，

「MME、/為所在棱的中點，，MN//42，EF//B.D,,J.MNUEF,

又平面BOEREFC=￥?BDEF,MZV//平面BDEF,

連接NF,由N尸〃A4,NF=g,AtBt//AB,=AB,可得NF//AB,NF=AB,

則四邊形ANEB為平行四邊形，則4V//FB,

而4Vz平面8DEEFBu平面瓦汨/，則AN〃平面BDEF

又ANNM=N,：.平面AMN〃平面BDEF.

又P是上底面內(nèi)一點，且AP〃平面BOE區(qū)

:.P點在線段MN上.又MN=；BR,：.P點的軌跡長為行.

【題型二】動點保持垂直性求軌跡

【典例分析】

在正方體ABCO-ABC。中，。是正方形與BCG內(nèi)的動點，A21BC,,則。點的軌跡是

()

A.點4B.線段30C.線段4GD.平面48Cq

【答案】B

【分析】

如圖，連接4C,證明BCjgQ,又即得解.

【詳解】

6______________fl

A1

口,1------產(chǎn)

如圖，連接AC,

因為3CJAQ，3CJA4，A。44=4,4。，4耳匚平面44。,所以5￡，平面4耳。，又

與。匚平面4百。，

所以Bq，與Q,又3G，.所以點。在線段B.C上.故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡

2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡

【變式演練】

1.在正方體48皿-4月￡2中，點尸在側(cè)面BCG耳及其邊界上運(yùn)動，且保持APL8A,則

動點尸的軌跡為（）

A.線段*B.線段g

C.8用的中點與CG的中點連成的線段D.3C的中點與耳G的中點連成的線段

【答案】A

【分析】

利用直線與平面垂直的判定可得面AC4,又點尸在側(cè)面8CG4及其邊界上運(yùn)動，并且

總是保持AP與B/垂直，得到點p的軌跡為面ACBt與面8CG用的交線.

【詳解】

如圖，連接AC,ABX,B]C,在正方體A8C￡>-A4CQ中，有瓦”平面ACB-

又點尸在側(cè)面BCgB,及其邊界上運(yùn)動，

???故點P的軌跡為平面ACBi與平面BCG用的交線段C4.故選：A.

2.在棱長為1的正方體A8C。-ABG2中，M,N分別為班九4G的中點，點尸在正方

體的表面上運(yùn)動，且滿足給出下列說法：

①點尸可以是棱B耳的中點；

②線段拉尸的最大值為

4

③點P的軌跡是正方形；

④點尸軌跡的長度為2+石.

其中所有正確說法的序號是.

【答案】②④

【分析】

以。為坐標(biāo)原點，分別以ZM,DC,OR為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出MP

的坐標(biāo)，從而得到“尸的最大值，即可判斷選項②，通過分析判斷可得點P不可能是棱3月

的中點，從而判斷選項①，又EF=GH=1,EH=FG=—,可判斷選項③和選項④.

2

【詳解】

解：在正方體ABCO-ABCA中，以D為坐標(biāo)原點，0G為x軸，y軸，

???該正方體的棱長為1,M,N分別為BQ,gG的中點，

.?.D(0,0,0),MI),C(O,I,O)

/.C2V=Q,0,lj,

設(shè)P(x,y,z),則〃尸=卜一：,〉一；,2-31,

VMPA.CN,=即2x+4z—3=0

13

當(dāng)％=1時，z=—,當(dāng)x=0時，z=—,

44

取《1,0,1）小臼，G（0*）,《0,0京，

連結(jié)EF,FG,GH,HE,

則EF=GH=（0,1,0）,EH=FG=1-1,0.；；

，四邊形EFG/f為矩形，則EF.CN=0，EHCN=0,

即EF_LCV,EHLCN,

又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線,

CNJ_平面EFGH,

又叫4，另，MG=一

為EG的中點，則Mw平面跖GH,

為使MP^aV,必有點Pe平面EFG”，

又點尸在正方體表面上運(yùn)動，，點P的軌跡為四邊形EFGH,

因此點P不可能是棱B片的中點，故選項①錯誤；

又EF=GH=\,EH=FG=—,

2

EF^EH,則點尸的軌跡不是正方形且矩形￡FGH周長為2+2x@=2+右,

2

故選項③錯誤，選項④正確；

...CN=g,0,1),MP=^x-^y-^z-^,

又MP1CN,則;[x—；)+z—；=0,即2x+4z—3=0,

3一

???X=7-2Z,點尸在正方體表面運(yùn)動,

2

313

則7—2z?l,

244

133

故當(dāng)z=:或z==,y=0或1,MP取得最大值為1,故②正確.

444

故答案為：②④.

3.如圖，在正方體ABC。-A4G2中，E是棱CG的中點，尸是側(cè)面8CC向內(nèi)的動點，且A/

與平面RAE的垂線垂直，則下列說法不正確的是()

A.A/與不可能平行

B.4尸與BE是異面直線

C.點廠的軌跡是一條線段

D.三棱錐尸-48口的體積為定值

【答案】A

【分析】

設(shè)平面RAE與直線交于G,連接AG,EG,則G為BC的中點，分別取用8,與Q的

中點M,N,連接4加，MN,AN,證明平面〃平面RAE,即可分析選項ABC

的正誤；再由MN//EG,得點F到平面RAE的距離為定值，可得三棱錐尸-ABR的體積

為定值判斷D.

【詳解】

解：設(shè)平面DAE與直線3c交于G,連接AG,EG,

則G為3C的中點，分別取用8,的中點M,N,

連接AM,MN,AN,

如圖，,:&MIRE,4〃巨平面D/E,￡＞或匚平面。仙￡,

AM〃平面RAE,同理可得MN〃平面RAE,

又AM、MN是平面AMN內(nèi)的兩條相交直線，

平面AMN〃平面RAE,而AF〃平面〃AE,A/u平面AMN,

得點廠的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當(dāng)尸與“重合時，吊尸與2E平行，故A錯誤；

?.?平面AMN〃平面RAE,BE和平面相交，.??&/與BE是異面直線，故B正確；

?：MNIIEG,則點/到平面QAE的距離為定值，，三棱錐尸-ABQ的體積為定值，故D

正確.

【題型三】由動點保持等距（或者定距）求軌跡

【典例分析】

已知正方體ABC0-A181C101的棱長為1,尸為底面A3CD內(nèi)一點，若產(chǎn)到棱C。，41距

離相等的點，則點P的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

【分析】

以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系。一個z,求出點P的軌跡方程即可判斷.

【詳解】

如圖示，過尸作PELAB與E,過尸作PA。于R過尸作尸G〃AA交4。于G,連結(jié)

PG,由題意可知PE=PG

以。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系。一個z,設(shè)尸（x,y,O）,由PE=PG得:

"尤|W+F,平方得：（k-爐-9句即點尸的軌跡是雙曲線故選：口.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識

求解軌跡

2.利用空間坐標(biāo)計算求軌跡

【變式演練】

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAO為正三角形，底面A3CD為正方形，側(cè)面

底面ABCD,M為正方形A3CD內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足MP=MC.則點M在

正方形A5CD內(nèi)的軌跡為（）

【答案】A

【分析】

如圖，以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x,y,O）,正方形A3Q）的邊長為。，

求出MC,MP的坐標(biāo)，利用|MP|=|MC|可得x與>的關(guān)系，即可求解.

【詳解】

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，DA,0c所在的直線分別為X,y軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為。，M（x,y,o）,則OWxVa,0<y<a,P:0,^~,

C（O,a,O）,則pWC卜62+5_才,W=+-由得

x=2y,

所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段y=^x（O<x<a）,

故選：A.

2.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A'3'C'D中，E、/分別是A￡>、A77的中點，長為2

的線段MN的一個端點M在線段E尸上運(yùn)動，另一個端點N在底面A'3'CQ'上運(yùn)動，則線

段MN的中點尸的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為（）

【答案】D

【分析】

連接PF、NF,分析得出FP=1,可知點尸的軌跡是以點尸為球心，半徑長為1的球面，作

出圖形，結(jié)合球體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

連接尸尸、NF,因為AD=AD,且E、尸分別為AD、HD的中點,

故AE//AP且AE=AN,

所以，四邊形為平行四邊形，故良〃44'且所=44'=4,

A4'_L平面AB'C'D',則EF_L平面AB'C'D',

因為TWu平面A3'CZ>',所以，EFYFN,

.尸為MV的中點，HFP=^MN=1,

所以，點尸的軌跡是以點尸為球心，半徑長為1的球面，如下圖所示：

所以，線段的中點P的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體為球尸的。，

4

1Ajr

故所求幾何體的體積為丫=：X彳/xF=

故選：D.

3.四棱錐P-0A3C中，底面043c是正方形，0P_L0A,OA=OP=a.。是棱0P上的一

動點，E是正方形。43c內(nèi)一動點，OE的中點為。，當(dāng)OE=a時，。的軌跡是球面的一

部分，其表面積為3%，則a的值是（）

A.273B.2A/6C.376D.6

【答案】B

【分析】

由題意結(jié)合選項可特殊化處理，即取0P與底面垂直，求得。的軌跡，結(jié)合球的表面積求

解.

【詳解】

解：不妨令OPLOC,則。底面。4BC,

如圖,

p

?.?。是OP上的動點，???OD_L底面。4BC,可得OD_LOE,

又。為DE的中點，..?。。=:。5=：。，即。的軌跡是以。為球心，以:。為半徑的:球

222o

面，

其表面積為S=』x4;rX'^—=3"，得。=2A/^.故選：B.

84

【題型四】由動點保持等角（或定角）求軌跡

【典例分析】

正方體ABCD-A旦GR中，M,N分別為AB,4月的中點，尸是邊GR上的一個點（包

括端點），。是平面PMg上一動點，滿足直線與直線4V夾角與直線MN與直線N。

的夾角相等，則點。所在軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.拋物線或雙曲線

【答案】D

【分析】

根據(jù)題設(shè)分析可知：。點軌跡為以4V為母線，為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其

關(guān)于A與反向?qū)ΨQ的錐體與平面PM瓦的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成

曲線的性質(zhì)判斷。所在軌跡的形狀.

【詳解】

由題設(shè)，。點軌跡為以⑷V為母線，為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于A片反

向?qū)ΨQ的錐體與平面PM瓦的交線，如下圖示：

當(dāng)P是邊C|2上移動過程中，只與下方錐體有相交，。點軌跡為拋物線；

當(dāng)尸是邊GR上移動過程中，與上方錐體也有相交，。點軌跡為雙曲線；

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面。

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面

3.利用空間坐標(biāo)系計算求軌跡

【變式演練】

1.如圖，斜線段AB與平面a所成的角為60。，B為斜足,平面?上的動點尸滿足ZPAB=30°,

B.拋物線

C.橢圓D.雙曲線的一支

【答案】C

【分析】

由題可知點P在以A3為軸的圓錐的側(cè)面上，再結(jié)合條件可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓

定義，即得.

【詳解】

用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐

的一條母線平行時，得到拋物線.

此題中平面a上的動點P滿足ZPAB=30°,可理解為尸在以為軸的圓錐的側(cè)面上，

再由斜線段與平面a所成的角為60。，可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義.

故可知動點尸的軌跡是橢圓.

故選：C.

2.如圖所示，A2CD-ABIGR為長方體，且A8=3C=2,M=4,點尸為平面AgCQ上一

動點，若NPBQ=ZBQC,則P點的軌跡為（）

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.圓

【答案】B

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和軌跡方程思想求得P的軌跡方程，進(jìn)而根

據(jù)方程判定軌跡類型.

【詳解】

如圖，建立直角坐標(biāo)系，則5（0,。,4）6（0,2,0）,忸￡卜而不至=亞中=26.

設(shè)P（x,y,O）,則向量3尸=（x,y,T）,向量=（0,2,T）,

BP*BG2y+16CQ42

cos/PBC[=------：———=..)---=----=-T==—

|-+9+16次+(_4)2g2小5

；.(y+8)=4(x?+y2+16),即4f+3y?—16y=0,4x?+3(y—,

=i,這方程表示的軌跡是平面A4G2上的橢圓,故選：B.

39

3.在長方體ABCO-ABCD中，AB=AD=6,例=2,M為棱8c的中點，動點尸滿足

ZAPD=ZCPM,則點尸的軌跡與長方體的側(cè)面DCCR的交線長等于.

【答案】y

【分析】

由題意畫出圖形，由角的關(guān)系得到邊的關(guān)系，然后再在平面。CCQ1內(nèi)建系，求出尸的軌跡

方程，確定點尸的軌跡與長方體的面DCG2的交線，進(jìn)而求得交線長.

【詳解】

如下圖所示：

當(dāng)P在面。CCQ］內(nèi)時，AD_L面。CCQ,CMl^DCQD^

又ZAPD=NMPC,在RtPDA與RtPCM中，VAD=6,則MC=3,

ADMC,63

tanZAPD=——=tanZMPC=——,則n——二——,即PD=2PC.

PDPCPDPC

在平面OCG2中，以O(shè)C所在直線為x軸，以O(shè)C的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)

系，則。(-3,0),C(3,o),

設(shè)尸（x,y）,由PD=2PC,得J（x+3y+V=2?一3『+/,

整理得：X2-10X+/+9=0,即（無一5『+_/=16.

點尸的軌跡是以網(wǎng)5,0）為圓心，半徑為4的圓.

設(shè)圓廠與面DCQ2的交點為E、M,作EK垂直x軸于點K,如圖,

則sinNEFK=^=2=L：/.AEFK=-：

EF426

萬x4—2萬

故點P的軌跡與長方體的面的交線為劣弧ME,所以劣弧ME的長為一々".故

答案為：

【題型五】投影求軌跡

【典例分析】

1822年，比利時數(shù)學(xué)家O即曲歷z利用圓錐曲線的兩個內(nèi)切球，證明了用一個平面去截圓錐,

可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義

的統(tǒng)一性.在生活中，有一個常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形

成橢圓.這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個占A

正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得AA與小球相切.若AA=5,小球半徑為2,

則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）

A

2

D.-

5

【答案】A

【分析】

設(shè)44=工，從而可得4^=5A4=%+2,44=%+3,利用勾股定理可得x=10,再由

離心率的定義即可求解.

【詳解】

在MAA]4中，設(shè)46=兀，/.DA^=x

AAj=5,A4=%+2,AA^=x+3,52+(x+2)2=(%+3)2,

c2

."=10,，長軸長44=2。=12,a=6,c=6—2=4則離心率e=—=一.故選：A

a3

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.球的非正投影，可能是橢圓面

2.多面體的投影，多為多邊形。

【變式演練】

1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為。'，在平行光線的照射下，其投影的

邊緣軌跡為橢圓C.如圖，橢圓中心為。，球與地面的接觸點為E,OE=4.若光線與地面

所成角為0,橢圓的離心率e=.

4

【答案】I

【分析】

根據(jù)平行投影計算出橢圓C的短半軸長6,再求出光線與水平面所成銳角的正弦，進(jìn)而求得

橢圓C的長軸長2a而得解.

【詳解】

連接OO',則NO'OE=e,因為O'E=3,OE=4,如圖:

,_________,_____o'p3

所以00=」0石2+0石2=132+42=5,所以sine=9=y

在照射過程中，橢圓的短半軸長b是球的半徑R,即6=3,

過球心與橢圓長軸所在直線確定的平面截球面所得大圓及對應(yīng)光線，如圖:

橢圓的長軸長2a是AC,過A向BC做垂線，垂足是B,則，O'O,，AC,

3AR

由題意得：AB=2R=6sinZACB=sin3=-,又sin/AC3=—,

f5AC

AB3

貝ij——=一AC—109即2a=10,Q=5,

AC5

所以橢圓的離心率為￡=￡=至五=叵三9=3.故答案為：I

aa555

【題型六】翻折與動點求軌跡（難點）

【典例分析】

如圖，將四邊形ABCO中，ADC沿著AC翻折到則翻折過程中線段中點M的

軌跡是（）

A.橢圓的一段B.拋物線的一段

C.雙曲線的一段D.一段圓弧

【答案】D

【分析】

過點。作AC的垂線，垂足為歹，過點點3作AC的垂線，垂足為E,連接。28尸，再分

別分析翻折前、后的變化量與不變量，在翻折后的圖形中取BE中點。，進(jìn)而可得答案.

【詳解】

解：在四邊形A3C。中，過點。作AC的垂線，垂足為尸，過點點8作AC的垂線，垂足為

E,連接￡＞耳8尸，如圖1,

所以當(dāng)四邊形ABCD確定時，DEF和班尸三邊長度均為定值，

當(dāng)&ADC沿著AC翻折到ADC,形成如圖2的幾何體，并取8E中點0,連接Q0,

由于在翻折過程中，DE=RE,所以由中位線定理可得為定值，

所以線段DB中點M的軌跡是以防中點。為圓心的圓弧上的部分.故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L翻折過程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡

2.翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

【變式演練】

1.已知△ABC的邊長都為2,在邊48上任取一點D,沿CD將ABCD折起，使平面BCD±

平面ACD.在平面內(nèi)過點3作5尸，平面AC。，垂足為P,那么隨著點。的變化，

點P的軌跡長度為（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，先確定點P軌跡的形狀，進(jìn)而求出軌跡的長度即可.

【詳解】

由題意，在平面BCD內(nèi)作8。_LCO,交CD于Q,因為平面BCDJ_平面AC。，平面BCD

與平面AC￡）交于C￡）,所以8。_1_平面AC￡）,又平面ACZ）,所以尸，。兩點重合，于是

隨著點。的變化，3尸，8始終成立，可得在平面ABC中，2PLCP始終成立，即得點P

7T

的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分，由題意知隨著點。的變化，/BCD的范圍為0,-,

117

可得點尸的軌跡是以BC為直徑（半徑為1）的圓的即得點P的軌跡長度為2^x12=：%.

故選：C.

2.如圖，等腰梯形A3CD中，AB//CD,AB=2,AD=BC=1,AB>CD,沿著AC把叢。。

折起至△AC。，使R在平面ABC上的射影恰好落在A3上.當(dāng)邊長。變化時，點2的軌

跡長度為（）

D,C

【答案】B

【分析】

根據(jù)2的射影