人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 27.2.2 相似三角形的判定（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

27.2.2相似三角形的判定基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題:1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（

）A． B． C． D．2．如圖，下列條件能使△BPE和△CPD相似的有（

）①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．已知在中，，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與原不相似的是（）A． B．C． D．4．如圖，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．5．如圖，是的邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)交于，則圖中共有相似三角形（

）．A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)6．如圖，是半圓的直徑，，是半圓上任意兩點(diǎn)，連結(jié)，，與相交于點(diǎn)，要使與相似，可以添加一個(gè)條件．下列添加的條件其中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．7．已知，在線段BD上有一點(diǎn)P，使得和相似，則滿足條件的點(diǎn)P的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)二、填空題:8．如圖，已知，則____________，____________．9．如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_________，使△ABC∽△ADE．10．如圖，若，則．11．如圖，在中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，選擇下列條件：①；②；③；④中的一個(gè)，不能得出和相似的是：__________（填序號(hào)）．12．如圖，△ABC的兩條高AD、BE交于點(diǎn)H，則圖中的相似三角形共有___對(duì)．三、解答題:13．如圖，在正方形網(wǎng)格上，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)有兩個(gè)三角形和，求證：．14．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=∠B．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的長(zhǎng).15．如圖，在中，點(diǎn)F，D在邊上，E是邊上一點(diǎn)，，，求證：．16．如圖，將矩形紙片沿著過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在邊上，落點(diǎn)為F，折痕交邊于點(diǎn)E，(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)；提升篇提升篇1．如圖，在中，，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF，則的值為(

)A． B． C． D．2．將矩形OABC如圖放置，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）3．如圖，把菱形向平移至的位置，作，垂足為與相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，則正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC=20°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當(dāng)α=______時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．6．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于點(diǎn)G，AF的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接BG，DH．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正確的結(jié)論有_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）7．如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)B作，垂足為E，連接為上一點(diǎn)，且(1)求證：(2)若，，求的長(zhǎng)8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長(zhǎng)．27.2.2相似三角形的判定基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題:1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：由題意可得得的三邊長(zhǎng)分別是，，，A．圖中三角形的三邊長(zhǎng)分別是：1，，，∴，兩個(gè)三角形相似，故選項(xiàng)符合題意；B．圖中三角形的三邊長(zhǎng)分別是：1，，，三邊不成比例，故選項(xiàng)不符合題意；C．圖中三角形的三邊長(zhǎng)分別是：，，3，三邊不成比例，故選項(xiàng)不符合題意；D．圖中三角形的三邊長(zhǎng)分別是：2，，，三邊不成比例，故選項(xiàng)不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握三邊成比例的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．如圖，下列條件能使△BPE和△CPD相似的有（

）①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷①；根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明，可得，進(jìn)而判斷④，即可說明②；根據(jù)平角定義得，再結(jié)合“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷③即可；最后根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷⑤即可．【詳解】∵，，∴，所以①符合題意；∵，，∴，∴．∵，∴，所以④符合題意，②不符合題意；∵，∴．∵，∴，所以③符合題意；∵，，∴，所以⑤符合題意．則符合題意的有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．3．已知在中，，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與原不相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【詳解】解：A、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)A不符合題意；B、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，而夾角不一定相等，不能證明陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)B符合題意；C、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，再添加一組角相等，或者夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可判斷兩三角形相似，據(jù)此即可求解．【詳解】解：在四邊形中，已知，A．平分，則，可以判斷相似；不符合題意；B．，可以判斷相似；不符合題意；C．，即，不能判斷相似；符合題意；D．，可以判斷相似；不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是的邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)交于，則圖中共有相似三角形（

）．A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到圖中的相似三角形的對(duì)數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴；又，∴；∵，，∴；∴；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，注意相似三角形具有傳遞性．6．如圖，是半圓的直徑，，是半圓上任意兩點(diǎn)，連結(jié)，，與相交于點(diǎn)，要使與相似，可以添加一個(gè)條件．下列添加的條件其中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)A進(jìn)行判定；先利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，然后利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)B進(jìn)行判定；利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)C、D進(jìn)行判定．【詳解】解：，，，故A選項(xiàng)正確；，，，，，故B選項(xiàng)正確；，，，故C選項(xiàng)正確；，，，與不相似，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．7．已知，在線段BD上有一點(diǎn)P，使得和相似，則滿足條件的點(diǎn)P的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【答案】B【分析】分兩種情況討論，當(dāng)或時(shí)，和相似，列出等式求解即可．【詳解】解：∵，設(shè)，則，∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，和相似，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得，∴或6，∴滿足條件的點(diǎn)P的有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題:8．如圖，已知，則____________，____________．【答案】

△ACD

△ABE

△BOD

△COE【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明哪兩個(gè)三角形相似，填空即可．【詳解】解：∵，，∴△ACD∽△ABE，∵，，∴△BOD∽△COE，故答案為：△ACD，△ABE，△BOD，△COE．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷推理．9．如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定問題，由題意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一對(duì)應(yīng)角相等即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一對(duì)應(yīng)角相等即可，∴添加的條件為∠B＝∠D．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，若，則．【答案】DE【分析】結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解【詳解】解：（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）故答案是：DE【點(diǎn)睛】本題主要考察相似三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)理解題，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)和相似三角形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．注意：在相似三角形中，用相似符號(hào)（）連接的兩個(gè)三角形，則相同位置的頂點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．11．如圖，在中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，選擇下列條件：①；②；③；④中的一個(gè)，不能得出和相似的是：__________（填序號(hào)）．【答案】③【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得結(jié)論．【詳解】解：①，時(shí)，，故①不符合題意；②，時(shí)，，故②不符合題意；③，時(shí)，不能推出，故③符合題意；④，時(shí)，，故④不符合題意，故答案為：③【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．12．如圖，△ABC的兩條高AD、BE交于點(diǎn)H，則圖中的相似三角形共有___對(duì)．【答案】6【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴；∵，，∴；∴；∵，，∴；∴；∵，∴；綜上所述：有6對(duì)相似三角形．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相似三角形．提升篇提升篇1．如圖，在中，，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明得到，接著可以判斷得到比例式，再利用含的直角三角形三邊的關(guān)系得到，即，可得到的值．【詳解】∵BE，CF分別是AC，AB邊上的高，∴，∵，∴，，即.又∵，∴，∴.∵在中，，∴，.故選項(xiàng)A正確.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定及含有的直角三角形具有的特殊邊的關(guān)系．2．將矩形OABC如圖放置，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）【答案】B【分析】首先構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出CM＝，MO＝3，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AN⊥BF于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（3，）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).構(gòu)造直角三角形，正確得出CM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.3．如圖，把菱形向平移至的位置，作，垂足為與相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，則正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先證明，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)和菱形性質(zhì)以及相似三角形的判定即可一一判斷．【詳解】解：∵把菱形向右平移至的位置，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，故①正確；∵DE=DH，∴∠DHE=∠DEH，∵四邊形CDFE是菱形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴，故③正確；∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴．故④正確；正確的有：①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC=20°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當(dāng)α=______時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【答案】50、70或160【分析】分三種情況，當(dāng)，，時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形都與△ABC相似，既如圖1，2，3，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE交BC于點(diǎn)F，連接OC，是的直徑，故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE與BC交于點(diǎn)F，連接OC，是的直徑，故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE與AC交于點(diǎn)F，連接OC，是的直徑，故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．故答案為：50、70或160．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的知識(shí)，涉及到圖形的旋轉(zhuǎn)，分三種情況討論，數(shù)形結(jié)合是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．【答案】【分析】通過證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)度是常用的方法．6．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于點(diǎn)G，AF的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接BG，DH．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正確的結(jié)論有_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②【分析】證明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合余角的性質(zhì)得到∠DGF=90°，可判斷①②；如圖所示，連接AE，得到A、B、E、G四點(diǎn)共圓，則∠AEB=∠AGB，當(dāng)∠AED=∠DEC時(shí)，可證明，又E是BC上任意一點(diǎn)，則∠AED不一定等于∠DEC，即可判斷③；△DHF是等腰三角形，而G點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，△ABG不一定是等腰三角形，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，又∵DF=EC=，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正確；∴∠DGA=∠ECD=90°，又∵∠DAG=∠EDC，∴△ADG∽△DEC，故②正確；如圖所示，連接AE，∵∠ABE=∠AGE=90°，∴A、B、E、G四點(diǎn)共圓，∴∠AEB=∠AGB，∵點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，∴AH=HF=DH，∴∠HDF=∠HFD，∴∠DHF+2∠AFD=180°，當(dāng)∠AED=∠DEC時(shí)，則∠AEB+2∠DEC=180°，∴∠AEB=∠