2023-2024學年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學九年級（上）開學數學試卷（含解析）

2023.2024學年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學九年級（上）開學

數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.如果關于％的方程a/+匕％+?=0（aM0）中a—b+c=0,那么方程必有一個根是（）

A.1B.-1C.0D.2

2.若x=-2是一元二次方程/+ax+2=0的一個根，則此方程的另一個根是（）

A.x=1B.%=-1C.x=3D.x=-3

3.某商品原每件售價400元,經過連續(xù)兩次降價后每件仍能獲利56元,若每件商品進價為200

元，則平均每次降價的百分率為（）

A.10%B.20%C.25%D.60%

4.某商品經過連續(xù)兩次降價，價格由100元降為64元.已知兩次降價的百分率都是X,則x滿

足的方程是（）

A.64（1-2%）=100B.100（1-%）2=64

C.64（1-X）2=100D.100（1-2x）=64

5.若關于x的方程（x—a/—4=b有實數根，則b的取值范圍是（）

A.b>4B.b>—4C.b24D.b>—4

6.用配方法解一元二次方程——4x=5時，此方程可變形為（x+a）2=b的形式，貝必+b的

值為（）

A.3B.-1C.11D.7

7.如圖，在四邊形力BCD中，E,F,G,H分別是邊AB,BC,

CD,的中點.要使四邊形EFG”為矩形，可以添加的一個條件

是（）

A.四邊形4BCD是矩形

B.AC.BD互相平分

C.AC=BD

D.AC1BD

8.已知一元二次方程/+kx-3=0有一個根為一1,則化的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

9.如圖是一張矩形紙片ABC。,48=4cm,點E為邊BC上一點，且EC=2,

連接4E,若將其沿4E對折，使得點B落在邊上的點名處，則4D的長

為（）

A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm

10.如圖，將邊長為，3的正方形4BCD繞點B逆時針旋轉30。得到正方形ABC'。',AD與CD'交

于點M,那么圖中點M的坐標為（）

A.（V3,l）B.（1,C）C.（）,？）D.（三,「）

11.如圖，菱形4BCC的頂點4,B分別在y軸正半軸，x軸正半軸

上，點C的橫坐標為10，點。的縱坐標為8,若直線AC平行x軸，

則菱形4BCD的邊長值為（）

A.9B.V-41C.6D.3

12.如圖，菱形ABCD,點4、B、C、。均在坐標軸上.4ABe=120。，點4（-3,0）,點E是CD的

中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（）

A.3B.5c.2/7D.|C

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.關于x的一元二次方程（m-I,M+（2m+1）久+m2-1=0的一個根為0,則zn的值為

14.如果是方程2/—3%—6=。的兩個根,那么+X2=；Xj-x2=

15.如圖，一次函數y=-2x+3的圖象交工軸于點4,交y軸于

點8,點P在射線84上（不與4、B重合），過點P分別作x軸和y軸

的垂線，垂足為C、。.當矩形OCPD的面積為1時，點P的坐標為

16.如圖，在RtA/lBC紙片中，44cB=90。，CD是4B邊上的中A'

線，將AACD沿CD折疊，當點4落在點4處時,時好CA14B,若

BC=2,貝UC4'=.

17.如圖，在矩形4BC0中，48=4,AD=6,點E為邊BC上的動點，

連接4E,過點E作EF14E,且EF=4E,連接CF,則線段CF長度

的最小值為.

18.如圖，^BOD=45°,BO=。。，點4在OB上，四邊形ABCD是矩DC

形，連接4C,BD交于點E,連接OE交4。于點F.下列4個判斷：①OE1/'W

BD；@AADB=30°;@DF=>/~2AF;④若點G是線段OF的中點，

則A4EG為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是.(填序號)0乂B

三、解答題(本大題共6小題，共46.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題6.0分)

選取最恰當的方法解方程：

(l)(x-3)2=5(3-x)；

(2)3/-6x=48.

20.(本小題8.0分)

已知：如圖，邊長為a的正方形4BCD的對角線4C、BD交于點。，E、F分別為DC、"上的點，

且DE=CF.

(1)求證：EOJ.FO；

(2)M、N分別在OE、OF延長線上，OM=ON=a,求證：四邊形MONG與正方形2BCD重合

部分的面積等于;。2.

21.(本小題8.0分)

今年超市以每件25元的進價購進一批商品，當商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、

五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，五月份的銷售量達到400件.

Q)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率.

(2)經市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，

經調查發(fā)現，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利

4250元？

22.(本小題8.0分)

已知關于x的方程7n/+(2m—l)x+m—1-0(m*0).

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；

(2)若方程的兩個實數根都是整數，求整數m的值.

23.(本小題8.0分)

如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別是邊BC、DC上的點，BM=癡,DN=^DC

44

接2M、AN,延長4V交線段8c的延長線于點E.

(1)求證：XABM任ADN；

(2)若4。=4,求MC的長.

24.(本小題8.0分)

如圖，在菱形4BC0中，AB=6,44=60。，點。是CD邊的中點，點E是邊BC上一動點(不與

點C重合)，延長E。交射線4。于點F,連接DF,CF.

(1)求證：四邊形DECF是平行四邊形；

(2)當BE=時，四邊形DECF是矩形.

O

BEC

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?；a-b+c=0,且當x=-l時，a-b+c=0,

???*=-1是原方程的一個根.

故選：B.

根據題意知，當x=—1時，a-b+c=0,由此可以判定％=-1是原方程的一個根.

本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，

就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值.即用這個數代替未知數所得式子仍然成立.

2.【答案】B

【解析】解：設方程的另一個根為3

根據根與系數的關系得-2t=2,

解得t=-1,

即方程的另一個根是-1.

故選:B.

設方程的另一個根為t,利用根與系數的關系得-2t=2,然后解t的方程即可.

本題考查了根與系數的關系：若乙,乃是一元二次方程a/+bx+c=0(ar0)的兩根時，xx+

b_c

X2=X1X2---

3.【答案】B

【解析】解：設平均每次降價的百分率為工,

根據題意得：400(1-x)2=200+56,

解得：%!=0.2=20%,x2=1.8(不符合題意，舍去)，

二平均每次降價的百分率為20%.

故選：B.

設平均每次降價的百分率為X,利用經過兩次降價后的價格=原價X(1-平均每次降價的百分率產,

可列出關于X的一元二次方程，解之取其符合題意，即可得出結論.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：根據題意，得100(1—￡)2=64,

故選:B.

根據某商品經過連續(xù)兩次降價，價格由100元降為64元，列一元二次方程即可.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，理解題意并根據題意建立等量關系是解題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】解：???(x-a)2-4=b,

???(x-a)2=b+4,

???方程(x-ay=b+4有實數根，

，/7+4N0,

bN-4,

故選：D.

利用解一元二次方程-直接開平方法，進行計算即可解答.

本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程-直接開平方法是解題的關

鍵.

6.【答案】D

2

【解析】解：Tx-4x=5,

???x2—4x4-4=5+4,BP(x—2)2=9,

則a=-2,b=9,

a+b=—2+9=7,

故選：D.

兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，繼而可得答案.

本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解

法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇合適、簡便的方法求解.

7.【答案】D

【解析】解：添加的條件為理由如下：

?：E、尸分別為AB,BC的中點，

???EF是的中位線，

EF="C,EF//AC,

同理可得EH=；BD=FG,HG=^AC=EF.EH//BD,

.??四邊形EFGH為平行四邊形，

又；AC1BD,

???EH1EF,

???四邊形EFGH為矩形，

故選：D.

根據E、F、G、H分別為AB、BC、CD、D4的中點，利用三角形中位線定理先證明EF=HG=

\AC.EH=FG=^BD,EF//AC,EH//BD,進而得到四邊形EFGH為平行四邊形，再由AC1BD可

得EHJ.EF,即可證明四邊形EFGH為矩形.

本題主要考查三角形中位線定理、矩形的判定，解題的關鍵是熟知三角形的中位線定理：三角形

的中位線平行于第三邊且等于第三邊長的一半.

8.【答案】B

【解析】解：把x=-1代入方程得1一k-3=0,

解得k=-2.

故選:B.

根據一元二次方程的解的定義，把％=-1代入方程得關于k的一次方程1-3-k=0,然后解一

次方程即可.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的

解.

9.【答案】B

【解析】解：由題意可知：乙4BiE=NB=90。，ABT=AB,

又：4BAD=90°,

.??四邊形ABEBi是正方形，

??.BE=AB=4cmf

:.BC=BE+EC=6(cm).

故選：B.

根據翻折的性質可得NB=乙4815=90。，AB=AB19所以四邊形是正方形，再根據正方

形的性質可得5E=AB=4cmf然后根據BC=BE+EC即可得解.

本題考查了矩形的性質，正方形的判定與性質，翻折變換的性質，判斷出四邊形ABE/是正方形

是解題的關鍵.

10.【答案】B

【解析】解：???四邊形ABCD是邊長為，？的正方形，正方形4BCD繞點8逆時針旋轉30。得到正方

形4‘BC'D',

AB=BC=V-3,/.BAM=乙BC'M=90°,

在Rt△ABM和Rt△C'BM中,

(BM=AM

lAB=C'B'

RtAABM^RtACBM(HL),

??zl=z2,

???將邊長為C的正方形4BCD繞點B逆時針旋轉30。，

/.CBC=30°,

z.1=z.2=30°,

在中，AB==30°，

AB—y/~3AM—y/~3t

.-.AM=1,

???點M的坐標為(1,，？),

故選：B.

由正方形和旋轉的性質得出AB=BC'=q,^BAM=/.BCM=90°,證出RtAABM三RtA

C'BM(HL),得出41=42,求出Z,1=42=30。，在中，求出AM=1即可.

本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、坐標與圖形性質、全等三角形的判定與性質、直角三角

形的性質等知識；熟練掌握旋轉的性質和正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

11.【答案】B

【解析】解：連接4C,8。交于M,

???四邊形4BCD是菱形，

AC1.BD,AM=^AC,BM=^BD,

???AC平行x軸，AO1OB,

???BD1OB,

???點C的橫坐標為10,點。的縱坐標為8,

AC=10,BD=8,

：.AM=^x10=5,BM=gx8=4,

???AB=VAM2+BM2>J52+42=V^T.

.?.菱形ABC。的邊長值為d.

故選：B.

由菱形的性質得到4C1BD,AM=^AC,BM=：BD,由點C的橫坐標為10,點。的縱坐標為8,

得到AM=5,BM=4,由勾股定理即可求出4B的長.

本題考查菱形的性質，勾股定理，坐標與圖形的性質，關鍵是掌握菱形的性質，勾股定理.

12.【答案】A

【解析】解：根據題意得，E點關于x軸的對稱點是BC的中點E',連接DE'交4c與點P,此時P。+PE

有最小值為

???四邊形4BCD是菱形，^ABC=120°,點4(-3,0),

OA=OC=3,Z.DBC=60°,

BCD是等邊三角形，

DE'=。。=3,

即PD+PE的最小值是3,

故選：A.

根據題意得，E點關于x軸的對稱點是BC的中點E',連接DE'交4c與點P,此時PD+PE有最小值,

求出此時的最小值即可.

本題主要考查菱形的性質，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.

13.【答案】-1

【解析】解：把x=0代入方程得：m2-l=0,m-1^0,

解得：m=-1.

故答案為：-1.

把x=0代入方程得到僧2-1=0,m-1*0,求出即可.

本題主要考查對一元二次方程的解，一元二次方程的定義的理解和掌握,能根據已知得出血2一1=

0和加一1是解此題的關鍵.

14.【答案】|；-3

【解析】解：根據題意得X]+g=-三=會xi,x2="y=-3-

故答案為3.

直接根據根與系數的關系求解.

本題考查了一元二次方程a-+故+c=0(aM0)的根與系數的關系：xr,x?是一元二次方程

ax2+bx+c=0(a*0)的兩根時，/=?-

15.【答案】(1,1)或G,2)或占F，咨馬

【解析】解：設點P橫坐標為a,點P在一次函數y=—2%+3的圖象上，

???當P在》軸上方時，

???點P的縱坐標為—2Q+3,

?.?矩形OCPD的面積為1,

a(-2.0,+3)—1,

解得：%=1,a2=p

當Q=1時，—2a+3=L

當a=g時，一2。+3=2,

???點P的坐標為(1,1)或臺,2),p\p

??,當P在%軸下方時，

???點P的縱坐標為一2a+3,oC—~\>x

?,?矩形。CPD的面積為1,'

???a(2a-3)=1,

解得：的=上了(不合題意舍去)，。2=再衛(wèi)，

當a=時，—2a+3=^^,

；?點P的坐標為(組工，匕?馬.

4L

故答案為：(1,1)或4,2)或(三/,土尹).

乙4L

設點P橫坐標為a,則點P的縱坐標為-2a+3,然后再利用矩形OCPD的面積為1列出方程，計算

出a的值，進而可得答案.

此題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，關鍵是利用函數解析式正確表示出P點坐標.

16.［答案］2V-3

【解析】解：設C4交4B于。，如圖：

v/.ACB=90°,CD是4B邊上的中線，

???CD=AD=DB,

Z.A=Z.ACD,

由翻折的性質可知乙4CD=N4'CD,AC=CA',

■?Z.A=Z.ACD=/.A'CD,

A'CLAB,

^AOC=90°,

乙A'CD+AACD+NA=90°,

???乙4=^ACD="'CD=30°,

在RMABC中，tanA=

/Ic

2

???tan300=—,

ZiC

AC=2V-3,

/.CA'=

故答案為：2，？.

由乙4cB=90°,CD是ZB邊上的中線，可得NA=^ACD,由翻折的性質可知乙4CD=乙4'CD,AC=

CA',故NA=4ACZ)=4&CD,而ACJ.AB,即得NA=NACD=々ACC=30。，在中，

tan30°=可解得AC,從而可得答案.

本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，熟練掌握含30。角的直角三角

形三邊的關系.

17.【答案】y/~2

【解析】解：如圖：在BA取一點T使得BT=BE,連接E7,在EC上取一點K,使得

Z.FKC=45°,連接FK

v/-B=90°,BT=BE

???Z-BTE=乙BET=45°,

???Z.ATE=乙EKF=135°,

???Z.BAE+Z.AEB=90°,乙AEB+乙FEK=90°,

???Z.TAE=(EFK,

vAE=EF,

?^ATE^^EKF^AAS^

???AT=EK,

???矩形4BCD中，4B=4,AD=6

CD=AB=4,BC=AD=6

???BT=BE,

??.AB=BK=4,

:?CK=BC-BK=2,

點F在射線KF上運動，當CFJ.KF時，C尸的值最小，最小值為sin45。?CK=?x2=

故答案為：＞/~2.

如圖：在B4取一點7使得87=BE,連接E7,在EC上取一點K,使得NFKC=45。，連接FK,利

用全等三角形的性質證明BK=4B=4,由矩形的性可得CD=AB=4,BC=AD=6,進而推出

點?在射線KF上運動，當CF1KF時CF值最小.

本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形等知識點，正確作出輔助

線、構造全等三角形并確定是解答本題的關鍵.

18.【答案】①③④

【解析】解：①?.?四邊形力BCD是矩形，

???EB=ED,

vBO=DO,

???OELBD,故①正確；

②???乙BOD=45°,BO=DO,

：./.ABD=1(1800-45°)=67.5°,

???/.ADB=90°-27.50=22.5°,故②錯誤;

③■■■OE1BD,

乙BOE+乙OBE=90°,

???乙BOE=乙BDA,

???Z.BOD=45°,WAD=Z.DAB=90°,

AZ.ADO=45°,

???AO—ADf

???△/OF三△ADBG4s4),

???AF=AB,

：.BF=—AF,

vBE=DE,OE1BD,

OE是BE的垂直平分線，DF=BF,

DF=CAF,故③正確；

④根據題意作出圖形，如圖2,

D

圖2

???G是OF的中點，^OAF=90°,

:.AG=OG,

:.Z.AOG=Z.OAG,

vZ.AOD=45°,OE平分N400,

???^AOG=Z.OAG=22.5°,

???/.FAG=67.5°,

???四邊形4BCD是矩形，

AEA=ED,

???Z.EAD=￡,EDA=22.5°,

???Z.EAG=90°,

???Z.AGE=Z-AOG+Z-OAG=45°,

???Z,AEG=45°,

???AE-AG,

.?.△4EG為等腰直角三角形，故④正確；

???判斷正確的是①③④.

故答案為：①③④.

由矩形得EB=ED,再由等腰三角形的三線合一性質可判斷①的正誤；根據矩形的性質可得

/LADB=22.5°,便可判斷②的正誤；證明AZOF三△ADB,得=連接BF,由線段的垂直

平分線得BF=OF,進而便可判斷③的正誤；由直角三角形斜邊上的中線定理得4G=OG,進而

求得N4GE=45°,由矩形性質得ED=EA,進而得NEAO=22.5°,再得ZE4G=90°,便可判斷④

的正誤.

本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形，全等

三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，關鍵是熟記這些圖形的性質.

19.【答案】解：(1)-3)2=5(3-乃，

(%—3)2+5(x-3)=0,

則(％-3)(x+2)=0,

A%—3=0或久+2=0,

解得無i=3,x2--2；

(2)v3x2-6%=48,

:.x2—2x—24=0,

???(x+4)(%-6)=0,

則％4-4=0或％—6=0,

解得%i=-4,x2=6.

【解析】(1)先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于工的一元一次

方程，再進一步求解即可；

(2)先整理成一般式，再利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次

方程，再進一步求解即可.

本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法.

20.【答案】⑴證明：???四邊形48CD為正方形，

DO=OC,Z-ODE=Z.OCF=45°,Z.COD=90°,

???DE=CF,

：?ADOEWACOF(SAS),

???乙DOE=Z.COF,

???Z.DOE+ZEOC=90°,

??.Z,COF+Z.EOC=90°,

即EOJ.FO；

(2)???△DOE^LCOF,

S^DOE=S^COF?

???四邊形MONG與正方形A8CD重合部分的面積等于

119

S〉OEC+S^ocF=S^OEC+S^OOE=^AODC=四邊形人口。。=?

【解析】(1)由四邊形4BC0為正方形得到。。=OC,Z,ODE=LOCF=45°,LCOD=90。,又由

DE=CF,即可證明^DOE=ACOF(SAS),則4DOE=乙COF,由4DOE+乙EOC=90。得至lj4cOF+

^EOC=90°,即可得到結論；

(2)由4DOE=L。。尸得至IJS^DOE=S〉COF，根據S^OEC+S^OCF=四邊形ABCD即可得到四邊形

MONG與正方形4BC，重合部分的面積.

此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握正方形的性質是解題的關

鍵.

21.【答案】(1)解：設平均增長率為x,由題意得：256X(1+X)2=400,

解得：兀=0.25或％=-2.25(舍)；

???四、五這兩個月的月平均增長百分率為25%；

(2)解：設降價y元，由題意得：(40-y-25)(400+5y)=4250,

整理得：y2+65y-350=0,

解得：丁=5或丫=一70(舍)；

???當商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元.

【解析】(1)利用平均增長率的等量關系：a(l+x)2=b,列式計算即可；

(2)利用總利潤=單件利潤x銷售數量，列方程求解即可.

本題考查一元二次方程的實際應用.根據題意正確的列出一元二次方程是解題的關鍵.

22.【答案】(1)證明：???m*0,

.??方程為一元二次方程，

(2m—I)2-4m(m-1)=1>0,

此方程總有兩個不相等的實數根；

⑵..丫_一所1)±1

.1"

**?%!=-1,X2=——1,

?.?方程的兩個實數根都是整數，且m是整數,

:,m=1或m=-1.

【解析】(1)由于m*0,則計算判別式的值得到^=1,從而可判斷方程總有兩個不相等的實數根;

(2)先利用求根公式得到Xi=-1,x2=^-l,然后利用有理數的整除性確定整數m的值.

2

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0(a^0)的根與A=b-4ac有如下關系:

當A>0時，方程有兩個不相等的實數根；