2023-2024學(xué)年山西省朔州市懷仁市高三年級(jí)上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年山西省朔州市懷仁市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指

定位置.

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)

域均無(wú)效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;

字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，平面

向量，復(fù)數(shù).

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

2+4i

I.已知復(fù)數(shù)2=:一，其中i為虛數(shù)單位，貝也在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

1-1

A.（-1,3）B.（1,-3）C.（3,-1）D.（-3,1）

2.已知4/+從=6，則/的最大值為（）

A.33

B.一C.-D.3

422

B=*|(；)Tx<3},則403=

3.已知集合4={x|log3(3x-2)<l},()

A?尋）C.(-吟D.(1,令

B.(-oo,l)

4.函數(shù)/（x）二=2>/7-3x的最大值為（)

A.3D.1

B.C.1

423

5.已知Q=sin3,b=cos-,c=tanl,則仇c的大小關(guān)系為（）

2

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a

TTY

6.已知函數(shù)/(x)滿足/(x+3)=-/(x),當(dāng)xeJ3,0)時(shí)，/(x)=2x+siny,則“2023)=()

A，也1D.」+近

B.—C

424-i42

TT>>,"?1

7.如圖'在“8C中，"T而3而，尸為。。上一點(diǎn)，且滿足"=〃，"+/'若

I\—AC\I=3,|U\LAU|B\=4,則N.3的值為()

A.—3B.3C--1D-1

ev-ax,x>0,

8.已知函數(shù)/（x）=,有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

——(Q+2)X+1,X<0

2

A.一,+8B.(1,+8)C.(e,+oo)D.(e,+a>)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.F列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在（-%。）上是減函數(shù)的是（）

4

B.y=3W

A.y=x5

C.y=lg(x2+l)D.y-x——

x

2x+“J的圖象，可以將函數(shù)g（x）=cos(t+2x)的圖象()

10.要得到函數(shù)/（x）=sin

A.向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度

44

3兀37c

C.向左平移乎個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移邛個(gè)單位長(zhǎng)度

44

11.下列命題中正確的是（）

A.“加<4"是<3”的必要不充分條件

B.“x<2且"3"是“x+”5”的充分不必要條件

C.“>2”是的充要條件

D.“a<b”是“必<6c2”的充要條件

12.已知函數(shù)〃x）=eX-gx2-x,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增

B.x=0是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)

C.過(guò)原點(diǎn)o僅有一條直線與曲線y=〃x)相切

D.若a+b>0,則〃a)+/?>2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)2,3為單位向量，且|,+月|=1,則|1一'=.

14.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x)+/(4-x)=0J(-x)=-/(x),當(dāng)xe[0,2]時(shí),/(*)的

定義域?yàn)镽/(x)=—f+2x+〃，貝IJ/(2023)=.

15.已知sin(a+￡)=-*,sin(a-4)=；,則黑:=.

16.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),若〃1)=4,且/'(x)-2x<3對(duì)

任意的xeR恒成立，則不等式〃2x-3)<2x(2x-3)的解集為.

四、解答題；本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.求下列函數(shù)的解析式：

⑴已知/(x)是一次函數(shù)，且滿足：/(x+l)+2/(x-l)=3x+5;

⑵已知函數(shù)〃x)滿足：/卜+3=—+5.

18.在中，角力，8,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,/?2ccosC+c2bcosB=ah24-ac2-ay

⑴求出

⑵若6+c=2,求。的最小值.

19.已知/(x)=sinGx-VJCOSGX,co>0,

(1)若函數(shù)/(X)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為求募)的值；

(2)若函數(shù)“X)的圖象關(guān)于1,0)對(duì)稱，且函數(shù)〃x)在0日上單調(diào)，求/的值.

20.Basina=2-4sin2—.

2

⑴求sin2a-cos2a的值；

(2)已知ae(0,7t),夕e(]7t),3tan/-5tan4-2=0,求a+4的值.

21.如圖，在半徑為4m的四分之一圓(。為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料。18C,其中點(diǎn)8

在圓弧上，點(diǎn)力,C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮0Z8C卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)

面(不計(jì)剪裁和拼接損耗)，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)/8=xm,圓柱的體積為產(chǎn)??.

(1)求出體積-關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積產(chǎn)最大？最大體積是多少？

22.已知函數(shù)/(x)-x-?ln(x+1).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃>0時(shí)，若加為函數(shù)/(》)的正零點(diǎn)，證明：m>?Ja+i-

答案和解析

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=T+3i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得z='/,?=(l+2i)(l+i)=T+3i,

UFU+ij

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,3).

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.

【詳解】由題意得，6=4a2+h2=(2a)2+h2>2-2a-h,即仍4|,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=6,即°=@,6=6或4=-且*=-^時(shí)等號(hào)成立，

22

所以曲的最大值為：3.

2

故選：B

3.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式求出集合43,利用交集的運(yùn)算求出結(jié)果.

【詳解】V^={x|log3(3x-2)<1}={A|log3(3x-^<log3^=[j0<3x-2<)fgj)，

r<{X|1-2X>T}=(-//),

力田仔』).

故選：A.

4.D

【分析】換元再配方可得答案.

【詳解】令t=&(t±O),則g⑴=2-3『=-3"-；)+1(/>0),

故選：D.

5.C

【分析】利用誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的單調(diào)性可比較6的大小，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)判斷c

的范圍，即可得答案.

【詳解】因?yàn)閍=sin3=sin(n-3),=,^-；>兀一3,

而歹=$加在(0段)上單調(diào)遞增，所以sin(兀-3)<sinQ-g)<l，即"6.

TI

又由tanl〉tan—=1,所以c>b>a,

4

故選：C.

6.D

【分析】由題意可得了")是以6為周期的函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】因?yàn)?(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(x)是以6為周期的函數(shù),

所以〃2023)=〃337x6+l)=〃l)=〃-2+3)=-〃-2)=_2以+sin(—弓)]=一；+乎,

故選：D.

7.C

【分析】由己知可得萬(wàn)=加工+了萬(wàn)，由三點(diǎn)共線有〃?=g,再用就，刀分別表示出萬(wàn)、CD,

最后應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求萬(wàn)?函即可.

―?4——

【詳解】因?yàn)?0=3麗，所以=

所以AP-mAC+—AB=mAC+—AD,

43

12

因?yàn)镃,P,。三點(diǎn)共線，所以加+彳=1,即〃?=；,

33

所以萬(wàn)=2就+1?血，又麗=而一就=3湘一元，

344

所以N?麗=(|就+：下)(抨-%)

3--22--21----------321133

=—AB——AC+-ABAC=—xi6——x9+-x3x4x-=3-6+-=——.

16341634222

故選：C

8.C

【分析】先分析x<0時(shí)二次函數(shù)零點(diǎn)的情況，而xNO時(shí)可將零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交

點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，A=[-(?+2)]2-4x(-l)xl=(a+2)2+4>0,且/(0)=1>0,

則二次函數(shù)開(kāi)口向下且在x<0內(nèi)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以/(X)在(-%0)上有唯一零點(diǎn)，

因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以〃x)=e'-ax在［0,+8)上有2個(gè)零點(diǎn),

即7=爐與，=如的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

由圖可知，a>e時(shí)，？=^與^=狽的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(e,+8).

故選：C.

9.ABC

【分析】利用常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.

4444

【詳解】A選項(xiàng)中：設(shè)〃x)=/，其定義域?yàn)镽，/(-x)=(-x)s==/(x)>故'=必為偶函

數(shù)，

4

且幕函數(shù)y=/在(-8,0)上是減函數(shù)，故A正確；

B選項(xiàng)中，設(shè)刈》)=3兇，其定義域?yàn)镽,〃(—)=3問(wèn)=3忖=力(力，則y=3忖為偶函數(shù),

且^=3卜=<：_1-1,則其在(-8,0)上單調(diào)遞減，故B正確：

3,x<0

C選項(xiàng)中，設(shè)夕(x)=ln(W+1),其定義域?yàn)镽,則9(-x)=ln((-力2+。=也任+1)=夕(力,

故夕=111卜2+1)是偶函數(shù)，且函數(shù)y=x2+l在(-8,0)上單調(diào)遞減，

函數(shù)y=lnx在定義域上為增函數(shù)，

所以y=In卜2+|)在(-8,0)上單調(diào)遞減，故C正確;

D選項(xiàng)中，設(shè)g(x)='-x,是g(-x)=-!--(-x)=x--=-g(x)^g(x),

X-XX

且其定義域?yàn)?-s，O)U(O,4w),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故其為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.BC

【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及圖象平移規(guī)則易知右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度可得/(x)的圖象，再根

據(jù)周期為兀即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】由g(x)=cos(e+2x)=sin]+2x)=sin^2x-t^,

可知將函數(shù)g(x)的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得sin2卜+：-：)+：=sin12x+/(x),即可得函數(shù)/(x)的圖象，

又由函數(shù)g(x)的最小正周期為7=1=",可知向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移與個(gè)單位長(zhǎng)度

效果相同；所以選項(xiàng)BC正確.

若向左平移/單位長(zhǎng)度，可得sin21+：+]卜.卜-sin(2.嗚>/(x),故A錯(cuò)誤；

若向右平移充個(gè)單位長(zhǎng)度，可得sin21+：-引+聿=-sin(2x+.//(x),故D錯(cuò)誤;

故選：BC.

11.AB

【分析】根據(jù)充要條件的性質(zhì)即可判斷求解也可以利用集合之間的關(guān)系更方便理解求解.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)闄C(jī)<3可以推出機(jī)<4,但是機(jī)<4不可以推出機(jī)<3,

所以“加<4”是“加<3”的必要不充分條件，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)閤<2且y<3可以推出x+y<5,

但是x+y<5不可以推出x<2且y<3,

所以“x<2且y<3”是“x+y<5”的充分不必要條件，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)榻獾胊<0或。>2,

a2

所以“a>2”可以推出/<L，，

a2

但是“[<4'’不可以推出“a>2”

a2

所以“a>2”是」<!”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于D：當(dāng)c=0時(shí)，ac2=be2>

所以“a<b”不可以推出“aic,

但是“小〈加2”可以推出

所以“a<b”是“ac?<兒2"的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.ACD

【分析】求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性以及極值，進(jìn)而判斷A、B項(xiàng)；設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，

根據(jù)已知列出關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷C項(xiàng):

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出/(。)+/。)>/e)+/(-6),整理即可構(gòu)造Mx)=e、+eT-/,利用導(dǎo)

函數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得/'(x)=e*-x-l,

令g(x)=e*-x-l,則g'(x)=e，-l.

解g，(x)>0可得，x>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

解g'(x)<0可得,x<0,所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

所以,g(x)在x=0處取得唯一極小值,也是最小值g(O)=O,

所以,g(x)20恒成立，即以(x)20恒成立,

所以函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，/(x)在R上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)切點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(加以-3二加)，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率左=,

所以過(guò)P的切線方程為尸卜-；療-4⑹-切-心-3.

又切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有一上"'病--機(jī)-1)(-m),

整理為=

令〃(x)=(x7)e*—gx),有I(x)=x(e*_]),

當(dāng)xNO時(shí)，e>\,有、(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，&'<1,有〃'(x)>0.

所以〃'(x"0恒成立，函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增.

又由〃(0)=-1<0,A(2)=e2-2>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)”x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

故過(guò)原點(diǎn)O僅有一條直線與曲線N=/(x)相切，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，若。+6>0,有a>-b,

由函數(shù)/(、)單調(diào)遞增，

有f(a)>/(-A),/(a)+〃6)>f(b)+f(-b)=eh-^b2-b+e-h-^b2+b=eb+e-b-b2.

令〃(x)=e'+e-'-x2,有人(x)=ev-e-x-2x.

令9(x)=ex-e-x-2x,有“(x)=e*+ex-2>如e*9*-2=0

(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，

可得e'(x)ZO恒成立，所以函數(shù)9(x)單調(diào)遞增.

又由3(0)=0,

所以x<0時(shí)，s(x)<o,〃(x)<0,所以〃(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；

x>0時(shí)，夕(力>0,"(x)>0,所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以，"x)在x=0處取得唯一極小值，也是最小值刈0)=2,

所以“工)2〃(0)=2,故/⑷+/優(yōu))>2成立，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

13.耶

【分析】整理已知可得：B+q=J,+盯,再利用￡萬(wàn)為單位向量即可求得27g=-1，對(duì)I：-々變

形可得：卜-/J=JR-齒石+pj>問(wèn)題得解.

【詳解】因?yàn)閦范為單位向量，所以自=閃=1

所以卜+可=J(a+1)~+2f'=>/2+2a-b=1

解得：2a-b^-\

所以B4后不同工17希=道

故6

本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

14.-1

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及周期性即可代入求解.

【詳解】???/(-x)=-/(x),故/(x)為R上的奇函數(shù)，

，/(0)="=°，則/&)=*+2工，

V/(X)=-/(4-X)=/(X-4),.-.7=4,/(x)為周期為4的周期函數(shù),

/(2023)=/(-I)=-/(D=-l.

故-1

【分析】直接利用兩角和與差的正弦函數(shù)，展開(kāi)已知表達(dá)式，求出sinacos。，cosasin/?；然后得

到結(jié)果.

44

【詳解】Vsin(a+/?)=~y,/.sinacos/?+cosasinp=--.①

Vsin(a-/?)=sinacosp-cosasin夕=；.②

7

①+②，得2sinacosy?=-西.③

17_

①一②，得2cosasin夕=一百.(4)

__tana7

麗參,得二^=高.

tanp17

故答案為七7

16.(2,+8)

【分析】由已知/'(x)-2x<3構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x2-3x,并得出函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,

再求解不等式g(2x-3)<g⑴即可.

【詳解】令g(x)=/(x)-f-3x,則g'(x)=/'(x)-2x-3<0在R上恒成立，

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

又/(2x-3)<2x(2x-3),Bp/(2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0,

X/(l)-l2-3xl=0,即g(2x-3)<g⑴,

所以2x-3>l,解得x>2,

所以不等式/(2》-3)<2》(2》-3)的解集為(2,+8).

故答案為.(2,+8)

方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是解決抽象不等式的基本方法，根據(jù)題設(shè)的條件，并借助初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公

式和導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，相應(yīng)地構(gòu)造出輔助函數(shù).通過(guò)進(jìn)一步研究輔助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，給予巧

妙的解答.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)時(shí)，不僅要牢記兩個(gè)函數(shù)"(x)和v(x)的積、商的導(dǎo)數(shù)公式的特點(diǎn)，還

需要牢記常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的特征.

17.(l),/'(x)=x+2

⑵/(x)=Y-2(xN2或x4-2)

【分析】(1)設(shè)出一次函數(shù)解析式〃力=依+6e/0)，化簡(jiǎn)后得到方程組，求出％,b的值，確定

解析式；

(2)換元法求解函數(shù)解析式，注意定義域.

【詳解】(1)令/(x)=H+b(%wO),依題意I(x+l)+2/(x-l)=3x+5,

即上(工+1)+6+2[%(》一1)+/>]=3》+5,

[34：=3[k=\

3kx-k+3b=3x+5,故,、，「解得：《、，

所以/(x)=x+2；

(2)令t=x+,，由對(duì)勾函數(shù)可知f22或f4-2,

X

依題意/1+』）=/+!=1+工）-2

故/⑴=/一2,

所以f（x）=x2-2（xN2或xW-2）.

18.（1）-

3

（2）1

【分析】（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求角即可;

（2）應(yīng)用余弦定理結(jié)合基本不等式求值即可.

【詳解】（1）b2ccosC+c26cos8-a^b2+c2--a-2bccosA

=bcosC+ccosB=2acosA,BPsin8cosc+sinCcosB=2sinJcos/,

即sin/=2siivicoS/4=>cosA=；,彳￡（0,兀）n力=g；

（2）由余弦定理有/=62+c2-6c=S+c）2-3bcN（b+c）2-3（等）=1,

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=l時(shí)取等號(hào)，故〃的最小值為1.

19.（1）73

（2）1

【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，依題意;7=5,即可求出。，從而得到函數(shù)解析式,

再代入計(jì)算可得；

（2）由對(duì)稱性得到。=3左+1,keZ,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出。的范圍，即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)?（x）=sin（yx-V5cos<yx=｛；sinox—costyx=2si（。丫弓），

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為］,

所以!7=g，則7=兀，所以7=2=加，解得0=2,

22co

所以/（x）=2sin（2x-：）,所以/f^L2sin|^2x^-^=2sin^=2x^=73.

(2)*/(x)=2sin^x-yk函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(刊對(duì)稱,

所以二^一4二4兀，kEZ,所以G=3左+1,k$Z,

33

.c71,兀兀71(071

由xe0,-,a)>0,貝Ijox-'W---,

4J3L343_

「1TtCO7171

又函數(shù)〃X)在0,；上單調(diào)，所以才一3’5,解得0<。4號(hào),

L4」[0>o3

所以當(dāng)人=0時(shí)0=1.

7

20.(l)y

_5元

(2)a+j3=—

【分析】(1)利用余弦的二倍角公式，結(jié)合三角函數(shù)商式關(guān)系式，求得正切值，根據(jù)正弦與余弦

的二倍角公式以及平方關(guān)系式，可得答案;

(2)根據(jù)二次方程以及正切的和角公式，結(jié)合角的取值范圍，可得答案.

【詳解】⑴因?yàn)?布《=2-45后(,5由。=彳1-25而外=28$°,所以tana=2,

2sinacosa-cos2a+sin2a2tana-1+tan2a

又因?yàn)閟in2a-cos2a=

si-n~2a+cos2a1+tan2a

所以sin2a-cos2a=------3------=—.

1+225

(2)因?yàn)橄Α?5,兀)，所以tan〃<0,

因?yàn)?tan2/7-5tan夕-2=(3tan/7+l)(tan夕-2)=0,所以tan￡=-；,

又因?yàn)椤?(0,兀),tana=2,所以O(shè)vav],

tana+tan夕得卜+￡得,

所以tan(a+〃)=lil-

1-tanertan(J八兀

0<a<—

2

所以a+r

21.(1).,定義域?yàn)椋鹸[0<x<4｝；

⑵當(dāng)x=時(shí)’圓柱形罐子的體積"最大’最大體積是誓巾

【分析】(1)利用勾股定理及圓的周長(zhǎng)公式，結(jié)合圓柱的體積公式即可求解;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解

【詳解】(1)在RtAOZS中，

因?yàn)?所以0/=，16-包，

設(shè)圓柱的底面半徑為r,則J16-x?=2兀，，即16-x2=4兀2r2,

所以>定義域?yàn)閧x[0<x<4}

(2)由(1)得>=兀小=?-*,o<x<4,

4萬(wàn)

r(x)=16-3x2,

I'47r

令片(x)=0,則里至=0,解得欠=生叵，

4兀3

當(dāng)0<x<半時(shí)，r(x)>0,當(dāng)手<x<4時(shí),

r(x)<o,

所以外X)在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.