組合與組合數(shù)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.2.3組合6.2.3組合一、復(fù)習(xí)引入1.排列的定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement).我們把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.2.排列數(shù)的定義：3.排列數(shù)的計算：（1）排列數(shù)公式(1)：（2）全排列數(shù):（3）排列數(shù)公式(2)：(4)常見題型：1、特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮2、捆綁法3、插空法4、定序法5、圓環(huán)問題二、探究新知例1

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲乙、甲丙、乙丙，共有3種.追問1:如果把上面問題中被選出的對象叫做元素,那么你會表述例1嗎?從已知的3個不同元素中每次取出2個元素合成一組例2

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有幾種不同的選法？從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.追問2：這兩個問題有何不同？這里每一組與順序無關(guān)，我們把這種問題稱為組合問題.組合問題組合與元素順序無關(guān)排列問題排列與元素順序有關(guān)甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙，共有=6種.二、探究新知1.組合定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素做成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．注意：(1)組合的特點：組合要求n個元素是不同的，取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.(2)組合的特性：元素的無序性.取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求.問題2：你能說一說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n

個不同元素中取出m

個元素的一個排列.二、探究新知組合定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列定義:排列、組合的聯(lián)系與區(qū)別：排列組合相同點不同點完成這件事情共分幾步從n個不同元素中取出m個元素元素的順序有關(guān)元素的順序無關(guān)第一步、取第二步、排僅一步、取組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

問題1和問題2中“排列”和“組合”的對應(yīng)關(guān)系：三、微體驗例1

判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個,組成一個集合，這樣的集合有多少個？(3)10支球隊進行單循環(huán)賽(每兩隊比賽一次),共需進行多少場次的比賽？(4)10支球隊進行單循環(huán)賽，冠、亞軍獲得情況共有多少種？變式1

判斷下列事件是排列問題還是組合問題．(1)從10個人里選3個代表去開會，有多少種選法？(2)從10個人里選出3個做不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？(3)有10個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?(4)有10個車站，共需要多少種不同的票價？(5)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？(6)3人去干5種不同的工作，每人干1種，有多少種分工方法？(7)把3本相同的書分給5個學(xué)生，每人最多得1本，有幾種分配方法？(8)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?(1)組合(2)排列(3)排列(4)組合(5)組合(6)排列(7)組合(8)組合變式2從5個不同的元素a，b，c，d，e中取出2個，寫出所有不同的組合．例2

平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點.(1)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?(2)以其中2個點為端點的線段共有多少條?進一步地，能否從這種對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)?結(jié)論：取出2個元素的組合的個數(shù)是排列數(shù)的一半.追問3：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例2(1)中排列和(2)中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？問題3：校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題?(1)從中選3輛，有多少種不同的方法?(2)從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法?1.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環(huán)賽.(1)列出所有各場比賽的雙方；(2)列出所有冠、亞軍的可能情況.課堂練習(xí)2.已知平面內(nèi)A,B,C,D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形.3.現(xiàn)有1,3,7,13這4個數(shù).

(1)從這4個數(shù)中任取2個相加，可以得到多少個不相等的和?

(2)從這4個數(shù)中任取2個相減，可以得到多少個不相等的差?課堂小結(jié)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．1.組合定義:2.判斷一個計數(shù)問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān).6.2.4組合數(shù)6.2.3組合一、復(fù)習(xí)引入我們把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.1.排列數(shù)的定義：2.排列數(shù)的計算：（1）排列數(shù)公式(1)：（2）全排列數(shù):（3）排列數(shù)公式(2)：問題3：校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題?(1)從中選3輛，有多少種不同的方法?(2)從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法?上節(jié)課問題2問題3中，我們通過學(xué)習(xí)會發(fā)現(xiàn)排列數(shù)可以算出組合的個數(shù)，那是否能像排列數(shù)公式一樣，也找到計算組合個數(shù)的公式，從而可以便捷地求出所有組合的個數(shù)？二、探究新知1.組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.符號

中的C是英文combination(組合)的第一個字母.組合數(shù)還可以用符號

表示.組合的第一個字母元素總數(shù)取出元素數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.例如，從3個不同元素中任取2個元素的組合數(shù)為從4個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)為“一個組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個非零自然數(shù).組合與組合數(shù)的區(qū)別：問題1

前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)

來求組合數(shù)

呢?二、探究新知思考：

組合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得組合和排列的關(guān)系n個不同元素m個元素m個元素的全排列第一步組合第二步排列因此組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.問題2

通過以上例子，你能歸納排列和組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：

二、探究新知這里的n,m∈N*，并且m≤n，這個公式叫做組合數(shù)公式.另外，我們規(guī)定所以上面的公式還可以寫成2.組合數(shù)公式：二、探究新知三、微體驗解：例6

計算：性質(zhì)1問題3

分別觀察例中(1)與(2),(3)與(4)的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想？二、探究新知3.組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1證明：直觀解釋：該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性.其組合意義是從n個不同的元素中任取m個元素的組合與任取(n-m)個元素的組合是一一對應(yīng)(一種取法對應(yīng)一種剩法).

因為從n個不同元素中取出m個元素后，就剩下(n-m)個元素，因此從n個不同元素中取出m個元素的方法，與從n個不同元素中取出(n-m)個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此取法是一樣多的，就是說從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，都對應(yīng)著從n個不同元素中取出(n-m)個元素的唯一的一個組合，反過來也一樣.即從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)等于從n個不同元素中取出(n-m)個元素的組合數(shù)，也就是.性質(zhì)23.組合數(shù)的性質(zhì)：該性質(zhì)也可以根據(jù)組合數(shù)的定義與分類加法計數(shù)原理直接得出，在確定從(n+1)個不同元素中取m個元素的方法時，對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能.如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取出(m-1)個元素，所以共有種取法；如果不取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取出m個元素，所以共有種取法.由分類加法計數(shù)原理，得.直觀解釋：二、探究新知三、微體驗1.計算：4.求證：例3例3課堂小結(jié)2.組合數(shù)公式：規(guī)定性質(zhì)1性質(zhì)23.組合數(shù)的性質(zhì)：1.組合數(shù)的概念：6.2.4組合數(shù)（2）6.2.3組合一、復(fù)習(xí)引入2.組合數(shù)公式：規(guī)定性質(zhì)1性質(zhì)23.組合數(shù)的性質(zhì)：1.組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.探究新知1.“至少”“至多”的問題例1在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種?說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解.【思路點撥】本題屬于組合問題中的最基本的問題，可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析．注意“至少”、“至多”問題，運用間接法解會簡化思維過程．課堂練習(xí)練習(xí)1、某校有男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名;(2)恰有1名女運動員;(3)至少有1名女運動員;(4)隊長中至少有1人參加;(5)既要有隊長,又要有女運動員課后作業(yè)習(xí)題6.213、14課后作業(yè)（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選.2.在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？探究新知2.多面手問題：合理分類與分步策略例2

有翻譯人員11名，其中5名僅通英語、4名僅通法語，還有2名英、法語皆通.現(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少張不同的名單？5243.元素相同（指標(biāo)分配）問題：隔板策略探究新知例3

有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排.相鄰名額之間形成9個空隙.在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有____種分法.一班二班三班四班五班六班七班元素相同（指標(biāo)分配）問題隔板策略變式1：有10個運動員名額，分給班號分別為1，2，3的3個班。(1)每班至少1個名額，有多少種分配方案?(2)每班至少2個名額，有多少種分配方案?(3)可以允許某些班級沒有名額，有多少種分配方案?3.元素相同（指標(biāo)分配）問題：隔板策略4.等分組與不等分組的分組問題探究新知例4六本不同的書（1）平均分成三堆，問有多少種分法？分析：每堆兩本，分三步完成，第一步從六本中任取兩本作為第一堆，有種取法，第二步從剩下的四本中任取兩本作為第二堆，有種取法，第三步剩下的兩本作為第三堆，有種取法.據(jù)分步乘法原理，分堆方法數(shù)是種.問題1：這樣分堆會有重復(fù)嗎？答：會造成重復(fù)分堆，例如假設(shè)這六本書編號為1，2，3，4，5，6號，先取兩本，取到3，4作為第一堆，再取5，6兩本作為第二堆，剩下1，2作為第三堆，這是一種分堆的方法.然后第二次分堆時，先取到1，2作為第一堆，再取到5，6作為第二堆，剩下3，4作為第三堆，顯然這種分堆方法跟第一種分堆方法是一樣的.而且繼續(xù)下去，這種分堆方法會重復(fù)3次，即次.問題2：怎么樣才能去掉重復(fù)的分堆呢？答：6次只算1次，可以除以得到，所以六本不同的書，平均分成三堆，最后的分堆方法數(shù)是種.例5六本不同的書（2）如果按照4，1，1分成三堆，問有多少種分法？問題3：這樣分堆會有重復(fù)嗎？怎么樣才能去掉重復(fù)的分堆呢？分析：例如，可以假設(shè)這六本書編號為1，2，3，4，5，6號，先取四本，取到1，2，3，4作為第一堆，再取到5作為第二堆，剩下6作為第三堆，這是一種分堆的方法.然后第二次分堆時，先取到1，2，3，4作為第一堆，再取到6作為第二堆，剩下5作為第三堆，這兩種分堆方法是一樣的，所以有重復(fù).會重復(fù)幾次呢？分析：同樣分三步，先取4本，再取1本，剩1本，所以有種分法.我們觀察發(fā)現(xiàn)會重復(fù)兩次，原因是5與6那兩堆.按照先5作為一堆后6作為一堆與先6一堆后5作為一堆是一樣的分堆方法.1，2，3，4因為個數(shù)跟他們個數(shù)不一樣，所以不會產(chǎn)生重復(fù)，所以按照4，1，1分堆，有種分法.例5六本不同的書（1）平均分成三堆，問有多少種分法？（2）如果按照4，1，1分成三堆，問有多少種分法？解：有種分法.（3）如果按照3，2，1分成三堆，問有多少種分法？元素個數(shù)相同的堆之間一