第09講動(dòng)態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問(wèn)題（講義）

第09講動(dòng)態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問(wèn)題目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)一動(dòng)態(tài)平衡【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1動(dòng)態(tài)平衡及基本思路知識(shí)點(diǎn)2處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的四種方法【提升·必考題型歸納】考向1解析法考向2圖解法考向3相似三角形法考向4拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）考點(diǎn)二平衡中的臨界與極值問(wèn)題【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)平衡中的臨界、極值問(wèn)題的處理方法【提升·必考題型歸納】考向1圖解法考向2數(shù)學(xué)解析法真題感悟掌握處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的方法。會(huì)利用數(shù)學(xué)的方法處理臨界極值問(wèn)題。考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡（2）平衡中的臨界極值問(wèn)題2022年河北卷第7題2022年湖南卷第3題2022年1月浙江卷第5題高考對(duì)共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡考查相對(duì)較為頻繁，解決此類問(wèn)題的主要方法有解析法、圖解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特點(diǎn)相對(duì)明顯。對(duì)于平衡中的臨界極值問(wèn)題考查的頻度不是太高，如果考查，解決的方法主要是圖解法和數(shù)學(xué)解析法。兩個(gè)考點(diǎn)所考查題目的主要出現(xiàn)在選擇題部分，難度不是太大?？键c(diǎn)一動(dòng)態(tài)平衡知識(shí)點(diǎn)1動(dòng)態(tài)平衡及基本思路1.所謂動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題，是指通過(guò)控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢變化，而在這個(gè)過(guò)程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)，常利用圖解法解決此類問(wèn)題。2.基本思路：化“動(dòng)”為“靜”，“靜”中求“動(dòng)”。知識(shí)點(diǎn)2處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的四種方法1.解析法：對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據(jù)物體的平衡條件，得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式(通常要用到三角函數(shù))，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。2.圖解法：(1)特點(diǎn)：物體受三個(gè)共點(diǎn)力，有一個(gè)力是恒力、另有一個(gè)力方向不變的問(wèn)題。(2)方法：eq\x(\a\al(受力,分析))eq\o(→,\s\up7(化“動(dòng)”為“靜”))eq\x(\a\al(畫不同狀態(tài),下的平衡圖))eq\o(→,\s\up7(“靜”中求“動(dòng)”))eq\x(\a\al(確定力,的變化))3.三角形相似法：(1)特點(diǎn)：在三力平衡問(wèn)題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系。(2)方法：①對(duì)物體在某個(gè)位置作受力分析；②以兩個(gè)變力為鄰邊，利用平行四邊形定則，作平行四邊形；③找出相似的力的矢量三角形和空間幾何三角形；④利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系確定力的變化。4.拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）：(1)特點(diǎn)：物體受三個(gè)共點(diǎn)力，這三個(gè)力其中一個(gè)力為恒力，另外兩個(gè)力都變化，且變化兩個(gè)力的夾角不變。(2)拉密定理：（3）輔助圓法：畫出三個(gè)力的矢量三角形的外接圓，不便力為一固定弦，因?yàn)楣潭ㄏ宜鶎?duì)的圓周角大小始終不變，改變一力的方向，另一大小方向變化情況可得?？枷?解析法1．如圖所示，P為光滑定滑輪，O為光滑輕質(zhì)動(dòng)滑輪，輕繩跨過(guò)滑輪，左端與物體A相連，右端固定在桿Q上，重物B懸掛在動(dòng)滑輪上。將A置于靜止在粗糙水平面的斜面體上，輕繩段與斜面平行，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。若將桿Q向右移動(dòng)一小段距離，斜面體與物體A仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，待動(dòng)滑輪靜止后，下列說(shuō)法正確的是（）

A．輕繩中拉力減小B．物體A與斜面體之間的摩擦力一定增大C．斜面體與地面之間的彈力增大D．斜面體與地面之間的摩擦力增大【答案】D【詳解】A．若將桿Q移動(dòng)一段距離，斜面體與物體A仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，待動(dòng)滑輪靜止后，變大，兩繩拉力大小相等，合力與B的重力等大反向，設(shè)繩OP與豎直方向夾角為，則有角度變大，則繩中拉力變大，A錯(cuò)誤；B．根據(jù)上述，繩中拉力變大，如果開始A受到的摩擦力沿斜面向上，則摩擦力可能減小，也有可能反向，如果開始A受到摩擦力沿斜面向下，則摩擦力增大，B錯(cuò)誤；C．對(duì)A和斜面整體分析，斜面傾角為，水平方向有豎直方向有繩的拉力變大，斜面體與地面之間的摩擦力變大，斜面體與地面之間的彈力變小，C錯(cuò)誤，D正確。故選D。2．如圖所示，A是圓柱體的橫截面，其弧形表面光滑，與地面接觸的下表面粗糙，在光滑豎直墻壁與柱體之間放置一質(zhì)量為m的球體，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若使柱體向左移動(dòng)少許，球體m仍未與地面接觸，系統(tǒng)仍處于平衡狀態(tài)，則（）A．球?qū)Φ膲毫ψ兇?B．柱體與球之間的作用力變小C．柱體對(duì)地面的壓力大小不變 D．柱體對(duì)地面的摩擦力大小變小【答案】AC【詳解】AB．對(duì)小球進(jìn)行受力分析可得，如圖所示根據(jù)平衡條件可得；柱體向左移動(dòng)，增大，、都增大，又因?yàn)榍驅(qū)Φ膲毫Υ笮〉扔趬?duì)球的支持力，故A正確，B錯(cuò)誤；C．把柱體和球看做一個(gè)整體進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡條件可得；，增大，增大，柱體所受地面的摩擦力增大，而柱體對(duì)地面的壓力大小等于地面對(duì)柱體的支持力，由于整體的重力不變，柱體對(duì)地面的壓力也不變，故C正確，D錯(cuò)誤。故選AC?？枷?圖解法3．在沒(méi)有起重機(jī)的情況下，工人要將油桶搬運(yùn)上汽車，常常用如圖所示的方法。已知油桶重力大小為G，斜面的傾角為。當(dāng)工人對(duì)油桶施加方向不同的推力F時(shí)，油桶始終處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。假設(shè)斜面與油桶的接觸面光滑。在推力F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過(guò)程中，以下關(guān)于油桶受力的說(shuō)法正確的是（）A．若力F沿水平方向，F(xiàn)的大小為B．若力F沿水平方向，斜面對(duì)油桶的支持力大小為C．F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過(guò)程中，斜面對(duì)油桶的支持力逐漸變大D．F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過(guò)程中，推力F的最小值為【答案】D【詳解】AB．當(dāng)力F沿水平方向時(shí)，由于油箱為勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此受力平衡，則水平和豎直方向上有解得故AB錯(cuò)誤；CD．當(dāng)力F由水平方向逐漸變?yōu)樨Q直方向的過(guò)程中，油桶的受力分析圖如下所示故支持力在逐漸變小，且推力最小為力F和支持力N垂直，也即沿斜面方向，此時(shí)最小值為故C錯(cuò)誤，D正確。故選D。4．質(zhì)量均勻分布的直導(dǎo)體棒放置于四分之一的光滑圓弧軌道上，其截面如圖所示。導(dǎo)體棒中通有電流強(qiáng)度大小為I的電流，空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向豎直向上。導(dǎo)體棒平衡時(shí)，導(dǎo)體棒與圓心的連線跟豎直方向的夾角為），軌道對(duì)導(dǎo)體棒的彈力為。下列說(shuō)法正確的是（）

A．若僅將電流強(qiáng)度I緩慢增大，則θ逐漸減小B．若僅將電流強(qiáng)度I緩慢增大，則逐漸減小C．若僅將磁場(chǎng)方向沿逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)，則逐漸增大再減小D．若僅將磁場(chǎng)方向沿逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)，則θ逐漸增大再減小【答案】D【詳解】AB．對(duì)導(dǎo)體棒受力分析，受重力、支持力和電場(chǎng)力，受力如圖

若僅將電流強(qiáng)度Ⅰ緩慢增大，安培力的逐漸增大，根據(jù)受力平衡和平行四邊形法則可知θ逐漸增大，F(xiàn)N逐漸增大，故AB錯(cuò)誤；CD．導(dǎo)體棒受到重力、安培力和彈力，安培力和彈力的合力始終與重力等大反向，的大小不變，作出矢量圖如下圖所示

的方向始終與磁場(chǎng)方向垂直，根據(jù)矢量圖可知若僅將磁場(chǎng)方向沿逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°，先增大再減小，逐漸減小，故C錯(cuò)誤，D正確。故選D。考向3相似三角形法5．如圖，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓環(huán)，圓心為O、半徑為R，OA為半圓環(huán)的豎直半徑，AB為與OA在同一直線上的光滑固定桿，半圓環(huán)上套有一小球a，桿AB上套有另一小球b。兩小球之間連接一輕彈簧，初始時(shí)小球a在距圓環(huán)A點(diǎn)右側(cè)不遠(yuǎn)處的P點(diǎn)，小球b固定于桿AB上的Q點(diǎn)，兩小球間距離為R?，F(xiàn)用外力使小球b沿桿AB緩慢向上移動(dòng)一段距離，但未到達(dá)A點(diǎn)。在移動(dòng)過(guò)程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)且在一條直線上，兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．初始時(shí)彈簧彈力大于半圓環(huán)對(duì)小球a的彈力B．初始時(shí)彈簧彈力大于小球a的重力C．小球b沿桿緩慢向上移動(dòng)過(guò)程中，環(huán)對(duì)小球a的支持力先增大后減小D．小球b沿桿緩慢向上移動(dòng)過(guò)程中，彈簧彈力增大【答案】D【詳解】AB．對(duì)小球a進(jìn)行受力分析，小球a受重力G，半圓環(huán)對(duì)小球a的支持力和彈簧彈力F，三力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，如圖所示，力的三角形與三角形OPQ相似，根據(jù)三角形相似有初始時(shí)，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；C．小球b緩慢上移過(guò)程，小球a處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，隨著小球b上移，OQ減小，OP不變，重力G不變，半圓環(huán)對(duì)小球的支持力增大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D．設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，彈簧的形變量為x，根據(jù)胡克定律有則，OQ減小，重力G不變，L不變，則彈簧形變量x增大，彈簧彈力F增大，選項(xiàng)D正確。故選D。6．如圖所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈。輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接一質(zhì)量為m的小球A?，F(xiàn)將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過(guò)光滑的定滑輪由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)改變力F的大小使小球A和輕桿從圖示位置緩慢運(yùn)動(dòng)到正下方，木板始終保持靜止，則在整個(gè)過(guò)程中（）A．外力F大小不變 B．輕桿對(duì)小球的作用力大小變小C．地面對(duì)木板的支持力逐漸變小 D．地面對(duì)木板的摩擦力逐漸減小【答案】D【詳解】A．對(duì)小球A進(jìn)行受力分析，三力構(gòu)成矢量三角形，如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可知兩三角形相似，因此緩慢運(yùn)動(dòng)過(guò)程越來(lái)越小，則F逐漸減小，故A錯(cuò)誤；B．由于OA長(zhǎng)度不變，桿對(duì)小球的作用力大小不變，故B錯(cuò)誤；CD．對(duì)木板，由于桿對(duì)木板的作用力大小不變，方向向右下，但桿的作用力與豎直方向的夾角越來(lái)越小，所以地面對(duì)木板的支持力逐漸增大，地面對(duì)木板的摩擦力逐漸減小，故C錯(cuò)誤，D正確。故選D?？枷?拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）7．如圖所示，V型光滑擋板AOB之間放置有一質(zhì)量均勻的球體，初始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將整個(gè)裝置以O(shè)點(diǎn)為軸順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)（∠AOB保持不變），在AO由水平轉(zhuǎn)動(dòng)90°到豎直的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．擋板AO的彈力逐漸增大 B．擋板AO的彈力先增大后減小C．擋板BO的彈力逐漸減小 D．擋板BO的彈力先增大后減小【答案】B【詳解】AB．V型光滑擋板轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)小球受力分析，各個(gè)力的夾角如圖所示由拉密定理可得因?yàn)檎麄€(gè)裝置以O(shè)點(diǎn)為軸順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，∠AOB保持不變，故不變，不變，保持不變，在AO由水平轉(zhuǎn)動(dòng)90°到豎直的過(guò)程中，從銳角增大到鈍角，先增大后減小，故擋板AO的彈力先增大后減小，A錯(cuò)誤，B正確；CD．從180°減小到90°，一直增大，故擋板BO的彈力一直增大，CD錯(cuò)誤。故選B。8．如圖所示為某獨(dú)輪車搬運(yùn)光滑圓柱體的截面圖，兩擋板OA、OB可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，且保持不變，初始時(shí)OB與水平方向夾角為60°。保持O點(diǎn)的位置不變，使兩擋板沿逆時(shí)針?lè)较蚓徛D(zhuǎn)動(dòng)至OA水平。在此過(guò)程中關(guān)于圓柱體的受力情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．擋板OA對(duì)圓柱的作用力一直增大B．擋板OA對(duì)圓柱的作用力先增大后減小C．擋板OB對(duì)圓柱的作用力一直增大D．小車對(duì)圓柱的作用力先減小后增大【答案】B【詳解】由題意可知，初始狀態(tài)兩擋板對(duì)圓柱彈力均等于mg，重力個(gè)兩彈力組成閉合三角形，如圖兩擋板沿逆時(shí)針?lè)较蚓徛D(zhuǎn)動(dòng)至OA水平過(guò)程中，兩擋板彈力夾角不變，則擋板OA對(duì)圓柱的作用力先增大后減小，擋板OB對(duì)圓柱的作用力逐漸減小。小車對(duì)圓柱的作用力等于mg保持不變。故選B。考點(diǎn)二平衡中的臨界與極值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)平衡中的臨界、極值問(wèn)題的處理方法1．臨界問(wèn)題：當(dāng)某物理量變化時(shí)，會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問(wèn)題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等語(yǔ)言敘述。2．極值問(wèn)題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過(guò)程中的最大值或最小值。3．解決極值問(wèn)題和臨界問(wèn)題的方法(1)圖解法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過(guò)對(duì)物理過(guò)程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值與最小值。(2)數(shù)學(xué)解析法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、三角函數(shù)極值等)?？枷?圖解法1．一不可伸長(zhǎng)的細(xì)線套在兩光滑且大小不計(jì)的定滑輪上，質(zhì)量為m的圓環(huán)穿過(guò)細(xì)線，如圖所示?，F(xiàn)施加一作用力F使圓環(huán)保持靜止?fàn)顟B(tài)，且細(xì)線始終有張力作用，若AC段豎直，BC段水平，AC長(zhǎng)度等于BC長(zhǎng)度，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是（）A．F的大小不可能為mg B．F的最小值為C．大小為2mg的力F對(duì)應(yīng)有兩個(gè)方向 D．F的方向可能豎直向下【答案】B【詳解】同一根細(xì)線上拉力大小相等，AC細(xì)線、BC細(xì)線的合力為T，方向與豎直方向成45°角，如圖所示A．力F在水平方向時(shí)，大小為mg，A錯(cuò)誤；B．當(dāng)F與T垂直時(shí)取最小值，可知F的最小值為，B正確；C．大小為2mg的力F只對(duì)應(yīng)一個(gè)方向，C錯(cuò)誤；D．F的方向與豎直向下時(shí)，不能構(gòu)成閉合矢量三角形，無(wú)解，D錯(cuò)誤；故選B。2．如圖所示，將質(zhì)量為m的球放在和兩個(gè)與紙面垂直的光滑板之間，兩板與水平面夾角并保持靜止。板固定，板與板活動(dòng)連接，板可繞通過(guò)點(diǎn)且垂直紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在角緩慢地由增大到的過(guò)程中（）A．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐?B．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐镃．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐?D．球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐椤敬鸢浮緽【詳解】小球受到重力，板的支持力，板的支持力三個(gè)力作用下保持平衡狀態(tài)，在角緩慢地由增大到的過(guò)程中，小球的重力保持不變，板對(duì)球的支持力方向不變，只有板對(duì)球的支持力方向在變化，如圖所示分別是小球在與水平面夾角在和的受力情景圖根據(jù)三角形定則，可知隨著角緩慢地增大，板的對(duì)球支持力也逐漸增大，當(dāng)時(shí)，板對(duì)球的支持力最大，從受力圖可知板對(duì)球的支持力等于小球的重力，根據(jù)牛頓第三定律可得球?qū)Π鍓毫Φ淖畲笾禐椋珺正確，ACD錯(cuò)誤；故選B。考向2數(shù)學(xué)解析法3．一個(gè)質(zhì)量為1kg的物體放在粗糙的水平地面上，現(xiàn)用最小的拉力拉它，使其做勻速運(yùn)動(dòng)，已知這個(gè)最小拉力為6N，g取10m/s2，滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力。則物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ及最小拉力與水平方向的夾角θ的正切值tanθ分別為（）A．μ=，tanθ=0 B．μ=，tanθ=C．μ=，tanθ= D．μ=，tanθ=【答案】B【詳解】物體在水平地面上做勻速運(yùn)動(dòng)，因拉力與水平方向的夾角θ不同，物體與水平地面間的彈力不同，因而滑動(dòng)摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力與滑動(dòng)摩擦力大小相等。以物體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài)，在水平方向上有Fcosθ=μFN在豎直方向上有Fsinθ+FN=mg解得F=其中tanφ=當(dāng)θ+φ=90°即θ=arctanμ時(shí)sin(θ+φ)=1F有最小值Fmin=代入數(shù)值得μ=此時(shí)tanθ=故選項(xiàng)B正確。4．如圖所示，天花板下方通過(guò)支架固定一光滑輕滑輪，一足夠長(zhǎng)的細(xì)繩跨過(guò)滑輪，一端懸掛小球b，另一端與套在水平細(xì)桿上的小球a連接，小球a與b的質(zhì)量分別為m和2m。在水平拉力F作用下小球a從圖示虛線（最初是豎直的）位置開始緩慢向右移動(dòng)至（細(xì)繩中張力大小視為不變，b球始終未觸及細(xì)桿）。小球a與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。則此過(guò)程中拉力F的可能值為（）A．mg B． C． D．【答案】ABC【詳解】對(duì)小球b有對(duì)小球a有進(jìn)行受力分析如圖所示由于小球a從圖示虛線（最初是豎直的）位置開始緩慢向右移動(dòng)至過(guò)程中可知?jiǎng)t在豎直方向上有則在水平方向有解得假設(shè)，解得則可求得小球a從圖示虛線位置開始緩慢向右移動(dòng)過(guò)程中，減小，可知F逐漸增大，解得故選ABC。1．（2022年河北高考真題）如圖，用兩根等長(zhǎng)的細(xì)繩將一勻質(zhì)