1第六章數(shù)列（基礎(chǔ)卷）（解析版）

第六章數(shù)列（基礎(chǔ)卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則這個(gè)數(shù)列第5項(xiàng)是（

）A．9 B．17 C．33 D．65【答案】C.故選：C.2．（2022·新疆·三模（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C由已知可得，，解可得，故選：C.3．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項(xiàng)和為，則（

）A．361 B．374 C．385 D．395【答案】B根據(jù)楊輝三角的特征可以將數(shù)列繼續(xù)寫出到第22項(xiàng)：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以故選：B4．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.5．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．10 B．12 C．32 D．33【答案】B解：因?yàn)?，為函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，所以或所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，.故選：B6．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知為等差數(shù)列，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是（

）A．2021 B．4044 C．4043 D．4042【答案】D因?yàn)?，所以和異號，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以使?shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是4042，故選：D7．（2022·上海黃浦·二模）記方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正實(shí)數(shù)．當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)根的是（

）．A．方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根B．方程①有實(shí)根，且②無實(shí)根C．方程①無實(shí)根，且②有實(shí)根D．方程①無實(shí)根，且②無實(shí)根【答案】C解：若方程③有不相等的兩實(shí)根，則，即，故“方程③有不相等的兩實(shí)根”的充要條件為：，又因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，A項(xiàng)：因?yàn)榉匠挞儆袑?shí)根，且②有實(shí)根，所以，，即，，，無法證得，故A不正確；B項(xiàng)：因?yàn)榉匠挞儆袑?shí)根，且②無實(shí)根，所以，，即，，，故B不正確；C項(xiàng)：因?yàn)榉匠挞贌o實(shí)根，且②有實(shí)根，所以，，即，，，故C正確；D項(xiàng)：因?yàn)榉匠挞贌o實(shí)根，且②無實(shí)根，所以，，即，，，無法證得，故D不正確，故選：C.8．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．若是和的等差中項(xiàng)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以是正項(xiàng)等比數(shù)列，又，所以，解得或-1（舍），又因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，則，即．所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號．故選：A．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2022·廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A． B． C． D．【答案】BC由題，，故A錯(cuò)；，故B對；，故C對；，故D錯(cuò).故選：BC10．（2022·湖南永州·三模）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，則（

）A． B．C． D．、均為的最大值【答案】BD因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)橛深}意得，，所以，，故D正確；故選：BD11．（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測）數(shù)列{}中，設(shè).若存在最大值，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD對于A，，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，也趨于無窮大，故不存在最大值；對于B，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故的最大值為1；對于C，，當(dāng)時(shí)，，∴

時(shí)是遞增的數(shù)列，不存在最大值；對于D，即當(dāng)時(shí)，，，即時(shí)，，所以是遞減的數(shù)列，最大值為；故選：BD.12．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于【答案】ABD，A對；∵2為質(zhì)數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，∴為等比數(shù)列，B對；∵與互質(zhì)的數(shù)為共有個(gè)，∴又∵=，∴一定是單調(diào)增數(shù)列，C錯(cuò)；，的前n項(xiàng)和為，D對.故選：ABD．三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（理））數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若該數(shù)列的前項(xiàng)之和等于，則_______.【答案】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以，，解?故答案為：.14．（2022·江蘇省木瀆高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當(dāng)時(shí)取得最小值．寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．【答案】設(shè)，則，，當(dāng)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)，數(shù)列單調(diào)遞增，即，可得當(dāng)時(shí)數(shù)列取得最小值，故答案為：15．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學(xué)史上的又一個(gè)偉大成就.其實(shí)，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號記為，比如，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為___________.第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1【答案】2036容易發(fā)現(xiàn)，,歸納可得，故的前10項(xiàng)和為.故答案為：2036.16．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）“刺繡”是一門傳統(tǒng)手工藝術(shù)，我國已有多種刺繡列入世界非遺文化遺產(chǎn)名錄．有一種刺繡的圖案由一筆畫構(gòu)成，很像漢字“回”，稱為“回紋圖”（如圖）．某刺繡工在方格形布料上用單線針法繡回紋圖，共進(jìn)行了次操作，每次操作在前一次基礎(chǔ)上向外多繡一圈(前三次操作之后的圖案分別如下圖)．若第次操作之后圖案所占面積為（即最外圍不封口的矩形面積，如），則至少操作_______次，不少于；若每橫向或縱向一個(gè)單位長度繡一針，稱為“走一針”，如圖①共走了針，如圖②共走了針，如圖③共走了針，則其第次操作之后的回紋圖共走了______________針（用表示）．【答案】

由題意得：，令，解得：或（舍去），故至少操作5次；由圖形可以看出，第1次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為，第2次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為，第3次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為，第n次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為故答案為：5，四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)解：由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數(shù)列，則；(2)由題知?jiǎng)t18．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；(2)解：，所以．19．（2022·河南商丘·三模（文））設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，既成等差?shù)列，又成等比數(shù)列，所以，，均相等且不為0，所以即解之得，，滿足條件．故．(2)由（1）得，，所以．故20．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，則①，②，兩式相減得：，所以21．（2022·山東青島·二模）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列滿足：（，2，3，…，n）我們稱其為n項(xiàng)的“對稱數(shù)列”.例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中，，，…，是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求k.【答案】(1)(2)或(1)設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意知：，所以，解得或（舍），所以.(2)由題知：，，，