信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)資料

信號(hào)的自變量變換時(shí)移:時(shí)間反轉(zhuǎn):時(shí)間尺度變換:13tf(t)1f(2t)0.51.5t1信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)自變量變換綜合應(yīng)用

壓縮平移反折方法一：平移

x

(t+2)

壓縮x

(2t+2)

反折x(-2t+2)由x

(t)繪出x(-2t+2)基本的連續(xù)和離散時(shí)間信號(hào)指數(shù)信號(hào)特征函數(shù):、特征函數(shù):、指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)的關(guān)系歐拉公式正弦信號(hào)用同周期復(fù)指數(shù)信號(hào)表示指數(shù)信號(hào)的周期性問題是周期的，基波周期為T0單位階躍信號(hào)和單位沖激信號(hào)掌握單位階躍信號(hào)和單位沖激信號(hào)的關(guān)系，單位沖激信號(hào)的采樣性質(zhì)和篩選性質(zhì)。系統(tǒng)的基本性質(zhì)時(shí)不變性若系統(tǒng)特性不隨時(shí)間而改變,則該系統(tǒng)就是時(shí)不變的。齊次性：若x(t)

y(t),則ax(t)

ay(t)可加性：若x1(t)

y1(t),x2(t)

y2(t),則x1(t)+x2(t)

y1(t)+y2(t)線性因果性一個(gè)系統(tǒng)，在任何時(shí)刻的輸出只決定于現(xiàn)在以及過去的輸入，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)穩(wěn)定性一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，若其輸入是有界的，則系統(tǒng)的輸出也必須是有界的。（對(duì)任意一個(gè)有界的輸入,輸出有界）LTI系統(tǒng)滿足因果性的充要條件是：LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：信號(hào)的時(shí)域分解及卷積算法信號(hào)的時(shí)域分解卷積和、卷積積分公式的導(dǎo)出從信號(hào)的時(shí)域分解及系統(tǒng)的線性性和時(shí)不變性著手導(dǎo)出卷積公式。卷積運(yùn)算通過練習(xí)熟悉卷積運(yùn)算

即：卷積和公式的導(dǎo)出：時(shí)間序列可表示為：由線性系統(tǒng)的可加性可得：

即：卷積積分公式的導(dǎo)出：時(shí)間信號(hào)可表示為：由線性系統(tǒng)的可加性可得：卷積運(yùn)算（第一部分重點(diǎn)要求掌握的內(nèi)容）分段法計(jì)算卷積積分的步驟：換元：t換成

；反折：將h()波形反折為h(-)；掃描：移動(dòng)h(t-),t<0,左移，t>0右移；分時(shí)段：確定積分段；定積分函數(shù)和積分限；計(jì)算積分值；分段法計(jì)算卷積和的步驟與卷積積分相似利用卷積性質(zhì)在某些情況下可以簡(jiǎn)化卷積計(jì)算。因果LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)因果LTI系統(tǒng)

線性常系數(shù)微分方程+初始松弛條件離散因果LTI系統(tǒng)

線性常系數(shù)差分方程+初始松弛條件一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng),滿足因果性的充分必要條件是:對(duì)任何t0和任意的輸入x(t),若t<t0,x(t)=0,則對(duì)應(yīng)的輸出y(t)在t<t0也必定為零.初始松弛條件(initialrest)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值(掌握特征值與特征函數(shù)的概念，復(fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)的證明方法)信號(hào)的頻域分析(周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示，離散周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換)系統(tǒng)的頻域分析(由微分方程求解穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù),從頻域的角度分析系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的作用)信號(hào)的采樣與恢復(fù)(采樣信號(hào)的頻譜,采樣信號(hào)無失真恢復(fù)的條件)LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值一個(gè)信號(hào)，若系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)的響應(yīng)僅是一個(gè)常數(shù)乘以輸入，則稱該信號(hào)為系統(tǒng)的特征函數(shù)。而幅度因子（常數(shù)）稱為系統(tǒng)的特征值。LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)證明：假定積分收斂復(fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，對(duì)于某一給定的復(fù)數(shù)s，常數(shù)H(s)就是與特征函數(shù)est對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的特征值。證明思路：用卷積公式，寫成h(t)*x(t)的形式，注意積分公式里邊t是常量，把est提到積分公式外面。證明：假定求和收斂證明思路：用卷積公式，寫成h[n]*x[n]的形式，注意求和公式里邊n是常量，把zn提到求和公式外面。復(fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，對(duì)于某一給定的復(fù)數(shù)z，常數(shù)H(z)就是與特征函數(shù)zn對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的特征值。信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示：物理含義：周期信號(hào)可以分解為不同頻率復(fù)指數(shù)信號(hào)之和,系數(shù){ak}稱為信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù).周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定傅里葉變換傅里葉反變換連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅立葉變換關(guān)系連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換與傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的關(guān)系信號(hào)頻譜的物理意義連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換性質(zhì)

時(shí)移特性信號(hào)延時(shí)了t0

秒并不會(huì)改變其頻譜的幅度，但是使其相位變化了

-t0，信號(hào)的時(shí)移,對(duì)應(yīng)頻譜的相移

頻移特性信號(hào)x

(t)乘以,等效于其頻譜X(j

)沿頻率軸右移

0

共軛及共軛對(duì)稱性當(dāng)為實(shí)信號(hào)時(shí),信號(hào)的頻譜共軛對(duì)稱

微分與積分性質(zhì)重點(diǎn)掌握微分性質(zhì)

時(shí)間與頻率的尺度變換當(dāng)信號(hào)為實(shí)信號(hào)且為偶信號(hào)時(shí),信號(hào)的頻譜是實(shí)信號(hào)且為偶信號(hào)。當(dāng)信號(hào)為實(shí)信號(hào)且為奇信號(hào)時(shí),信號(hào)的頻譜是純虛信號(hào)且為奇信號(hào)。

頻域微分性質(zhì)卷積性質(zhì)時(shí)域的卷積，對(duì)應(yīng)于頻域的相乘相乘性質(zhì)時(shí)域的相乘，對(duì)應(yīng)于頻域的卷積帕斯瓦爾定理基本的傅立葉變換對(duì)系統(tǒng)的頻域分析由微分方程求解穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)推導(dǎo)思路：對(duì)方程兩邊求傅立葉變換，利用傅立葉變換的微分性質(zhì)和線性性從頻域的角度求解由線性常系數(shù)微分方程表征的穩(wěn)定LTI系統(tǒng)解題思路：由微分方程求解然后利用部分分式法將展開成低階的形式，并求其反變換得到y(tǒng)(t)

LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的作用就是通過系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)改變信號(hào)中每一個(gè)頻率分量的復(fù)振幅。LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)頻譜模的改變是將其乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模，對(duì)輸入信號(hào)頻譜相位的改變是在它的基礎(chǔ)上附加系統(tǒng)頻率響應(yīng)的相位。從頻域的角度分析系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的作用采樣定理采樣信號(hào)的頻譜采樣函數(shù)是基波周期為T的信號(hào)，記采樣函數(shù)的基波角頻率為由傅立葉變換的相乘性質(zhì)可得采樣定理信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析s變換和z變換(掌握變換的定義,收斂域的確定,收斂域性質(zhì),變換基本性質(zhì),基本變換對(duì)以及反變換的求解)用s變換和z變換分析LTI系統(tǒng)(由微分方程和差分方程求解系統(tǒng)函數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性的判斷)由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換進(jìn)行幾何求解(在保持系統(tǒng)幅頻特性不變的情況下,如何改變系統(tǒng)的極點(diǎn),使之滿足因果穩(wěn)定的條件?由零極點(diǎn)圖確定系統(tǒng)的幅頻特性)因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示(直接型,級(jí)聯(lián)型,并聯(lián)型)單邊s變換和z變換(s變換微分性質(zhì)和z變換時(shí)間延遲性質(zhì)的推導(dǎo),具有非零初始條件的LTI系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解)s變換和z變換其中s為復(fù)變量，一般表示為σ+jω的形式。s變換和z變換的定義其中z為復(fù)變量，一般表示為rejw的形式。s變換和z變換與傅立葉變換的關(guān)系s變換和z變換收斂域ROC的概念使得變換定義式積分（求和）收斂的s（z）值的取值范圍，稱為變換的收斂域s變換和z變換的收斂域性質(zhì)左邊信號(hào)（序列）、右邊信號(hào)（序列）、雙邊信號(hào)（序列）收斂域的特點(diǎn)。若x[n]是因果序列，則z變換的收斂域包括|z|=∞若變換求和公式包含z的負(fù)冪次項(xiàng)，則ROC不包含原點(diǎn)|z|=0；若變換求和公式包含z的正冪次項(xiàng)，則ROC不包含無限遠(yuǎn)點(diǎn)|z|=∞s變換和z變換的性質(zhì)

時(shí)移特性（原點(diǎn)或無限遠(yuǎn)點(diǎn)可能要加上或除掉）

共軛性質(zhì)即實(shí)函數(shù)的s變換零極點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)(實(shí)軸上的零極點(diǎn)除外).同理實(shí)函數(shù)的z變換零極點(diǎn)也有相同的性質(zhì)由此導(dǎo)出差分方程系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的方框圖表示的單位延遲系統(tǒng)

卷積性質(zhì)則若則若

時(shí)域微分由此導(dǎo)出微分方程系統(tǒng)函數(shù),系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)

時(shí)域積分系統(tǒng)的方框圖表示的積分器s域微分z域微分主要應(yīng)用:求反變換

初值與終值定理對(duì)于因果序列,基本的s變換對(duì)和z變換對(duì)s反變換和z反變換的求解部分分式法當(dāng)X(s)X(z)是有理的,首先用部分分式展開成低次分式之和，結(jié)合ROC求各低次分式的反變換的疊加等于x(t)x[n].冪級(jí)數(shù)法由定義式可以看出,X(z)是z的正冪和負(fù)冪的一個(gè)冪級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x[n]的值.可用長(zhǎng)除法將X(z)展開為z的正冪和負(fù)冪的線性組合，展開時(shí)要考慮變換的收斂域（暫定不做考試要求）用s變換和z變換分析LTI系統(tǒng)由微分方程和差分方程求解系統(tǒng)函數(shù)從s域的角度求解常系數(shù)微分方程表征的因果LTI系統(tǒng)解題思路：由微分方程求解,由因果性確定ROC

然后利用部分分式法將展開成低階的形式，并求其反變換得到y(tǒng)(t)

系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性的判斷對(duì)于一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的因果性等效于系統(tǒng)函數(shù)的ROC位于最右邊極點(diǎn)的右半平面。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的ROC包含jw軸時(shí)，連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)且僅當(dāng)H(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的左半平面時(shí)，也即全部極點(diǎn)都有負(fù)的實(shí)部時(shí)，一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)的因果系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)的離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)它的系統(tǒng)函數(shù)ROC位于最外層極點(diǎn)的外邊,且H(z)表示成z的多項(xiàng)式之比時(shí)其分子的階次不能大于分母的階次，該系統(tǒng)才是因果的。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的ROC包含單位圓時(shí)，離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定。一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)的離散時(shí)間因果LTI系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)H(z)的全部極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，也即全部極點(diǎn)的模均小于1時(shí)，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換進(jìn)行幾何求解s變換和z變換與傅立葉變換的關(guān)系由零極點(diǎn)圖確定系統(tǒng)的幅頻特性全通系統(tǒng),零點(diǎn)向量與極點(diǎn)向量長(zhǎng)度相等全通系統(tǒng),XOa1/a在保持系統(tǒng)幅頻特性不變的情況下,如何改變系統(tǒng)的極點(diǎn),使之滿足因果穩(wěn)定的條件?對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng),將H(s)右半平面的極點(diǎn)關(guān)于jw軸對(duì)稱轉(zhuǎn)移到左半平面.對(duì)于離散時(shí)間LTI系統(tǒng),將H(z)單位圓外的極點(diǎn)在原點(diǎn)和極點(diǎn)的連線上,轉(zhuǎn)移單位圓內(nèi).若原來極點(diǎn)距離原點(diǎn)長(zhǎng)度為a,則新極點(diǎn)距離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為1/a,系統(tǒng)函數(shù)再乘上系數(shù)1/a.因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示直接型如何表示為兩個(gè)一階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)和并聯(lián)形式?++++直接型如何表示為兩個(gè)一階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)和并聯(lián)形式?單邊s變換和z變換引入單邊s變換的一個(gè)主要應(yīng)用是分析具有非零初始條件，由線性常系數(shù)微分方程描述的因果系統(tǒng);引入單邊z變換的一個(gè)主要應(yīng)用是分析具有非零初始條件，由線性常系數(shù)差分方程描述的因果系統(tǒng)。