高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第28講 8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積（學(xué)生版）

第05講8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計(jì)算公式。②理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體的表面積與體積。本節(jié)的主要內(nèi)容是圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積教材首先利用圓柱、圓錐、圓臺的展開圖，得出它們的表面積公式，然后根據(jù)以前學(xué)習(xí)過的圓柱、圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺的體積公式，再結(jié)合棱柱、棱錐、校臺的體積公式將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式最后給出了球的表面積公式，并由球的表面積公式推導(dǎo)出了球的體積公式2.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是圓柱、圓錐、圓臺及球的表面積和體積公式及其應(yīng)用，難點(diǎn)是推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成，以及與球等有關(guān)的組合體的表面積和體積的計(jì)算；3.本節(jié)內(nèi)容所涉及的主要核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等；知識點(diǎn)01：圓柱、圓錐、圓臺的表面積（1）圓柱的表面積①圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為,母線長為,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側(cè)面積為.②圓柱的表面積：.【即學(xué)即練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是．（取3.14）【答案】102.28【詳解】正方體的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，則挖洞后幾何體的表面積為．故答案為：102.28.（2）圓錐的表面積①圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為,母線長為,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側(cè)面積為②圓錐的表面積：【即學(xué)即練2】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎校?，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，高為，母線長為的圓錐，所以表面積為，故答案為：.（3）圓臺的表面積①圓臺的側(cè)面積：圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán).圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長為,故圓臺的側(cè)面積為②圓臺的表面積：【即學(xué)即練3】（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，由圖形可得，，母線與下底面所成的角為，故，故圓臺的母線長為2，所以側(cè)面積為，所以該圓臺的表面積為．故選：C．知識點(diǎn)02：圓柱、圓錐、圓臺的體積（1）圓柱的體積：（2）圓錐的體積：（3）圓臺的體積：【即學(xué)即練4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知底面半徑為4，高為8的圓錐，用一個平行于底面的平面去截該圓錐得到高相等的兩個幾何體，則截得圓臺的體積為．【答案】/【詳解】由題意可知，圓臺的上底面恰好是過圓錐的高的中點(diǎn)的截面，故圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，

則圓臺的體積為，故答案為：知識點(diǎn)03：球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:【即學(xué)即練5】（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則球的體積為.【答案】/【詳解】依題意，球的半徑，所以球的體積.故答案為：題型01圓柱的表面積與體積【典例1】（2024上·全國·高三期末）某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某車間需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑為15cm，高為10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔．若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計(jì)為．【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知圓錐的底面半徑，高，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

(1)若圓柱的底面半徑，求剩余部分體積；(2)試求圓柱側(cè)面積的最大值.【變式1】（多選）（2024上·江蘇南京·高二金陵中學(xué)校考期末）以長為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·上海·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱的底面半徑為2，母線長為3，

(1)求該圓柱的體積和表面積(2)直角三角形繞旋轉(zhuǎn)一周，求所得圓錐的側(cè)面積【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為．

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到1元）題型02圓錐的表面積與體積【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【典例3】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）交通錐，又稱錐形交通路標(biāo)，如圖1，常用于進(jìn)行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞錐頂點(diǎn)S滾動，當(dāng)這個交通錐筒首次轉(zhuǎn)回到原位置時，交通錐筒本身恰好滾動了3周．若將該交通錐筒近似看成圓錐，將地面近似看成平面，測得該圓錐的底面半徑為cm，則該圓錐的側(cè)面積為．（交通錐筒的厚度忽略不計(jì)）．【變式1】（2024上·四川南充·高二統(tǒng)考期末）若圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖面積是（

）．A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑，側(cè)面展開圖扇形SAB的面積為，則此圓錐的體積為（

）

A． B． C． D．【變式3】（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┓鹛m德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標(biāo)性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設(shè)計(jì)手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，側(cè)面積為，則該建筑的高為（

）

A． B． C． D．題型03圓臺的表面積與體積【典例1】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖甲）.圖乙是扇形的一部分，若兩個圓弧所在圓的半徑分別是12和27，且.若圖乙是某圓臺的側(cè)面展開圖，則該圓臺的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積為（

）A． B． C． D．【典例3】（多選）（2024·全國·高一假期作業(yè)）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（

）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的側(cè)面積為 D．該圓臺的體積為【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）北京故宮博物院展示著一件來自2200年前的寶物——秦詔文權(quán)（如圖1）.此文權(quán)下部呈圓臺形，上部為鼻鈕，被譽(yù)為最美、最具文化、最有政治和歷史意義的文物之一.某公司仿照該文權(quán)制成一紙鎮(zhèn)（如圖2），已知該紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為，，高為，則該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積與體積分別為（

）

A． B． C． D．【變式3】（多選）（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，軸截面ABCD為等腰梯形，且滿足.下列說法正確的是（

）

A．該圓臺軸截面ABCD的面積為B．該圓臺的表面積為C．該圓臺的體積為D．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為題型04球的表面積與體積【典例1】（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個半徑為的實(shí)心球緩慢放入該容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底部時，留在圓柱形容器內(nèi)的水的體積為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）將棱長為2的正方體木塊做成一個體積最大的球，則這個球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（

）．A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一個實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間部分是高為的圓柱，上、下兩端均是半徑為2的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個實(shí)心球，則該球的直徑為（

）A． B． C． D．題型05簡單組合體的表面積與體積【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（

）

A． B． C． D．【典例2】（2024上·云南昆明·高二校考期末）紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐和圓柱組合而成，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，且的面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的母線長為3，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高.2022北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”（如圖1）深受廣大市民的喜愛，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時代，以及面向未來的無限可能它的外形可近似抽象成一個球缺與一個圓臺構(gòu)成的組合體（如圖2），已知該圓臺的底面半徑分別和，高為，球缺所在球的半徑為，則該組合體的體積為．

題型06球的截面問題【典例1】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中?？计谀┮阎虻捏w積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球和圓錐所得的截面面積分別為，若，則【典例2】（2023上·上?！じ叨？计谥校┣蛎嫔先c(diǎn)、、所確定的截面到球心的距離等于球半徑的，且，，，則該球的體積為.【變式1】（2023上·上海·高二專題練習(xí)）若兩球的體積之和是，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為，則兩球的半徑之差為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為.題型07球的切、接問題【典例1】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，三棱錐的外接球表面積為.【典例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）正多面體被古希臘哲學(xué)家柏拉圖認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，也是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為．

【典例3】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點(diǎn)為三棱錐外接球上一動點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離的最大值為，則球的表面積為．【典例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三棱臺中，，，側(cè)棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為．【變式1】（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）在四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為.【變式2】（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）A，B，C，D是球的球面上四點(diǎn)，，球心是的中點(diǎn)，四面體的體積為，則球的表面積為.【變式3】（2024上·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為.若，則的最小值為.【變式4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知一個圓錐內(nèi)切球的半徑為3，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的母線長為．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若一個圓錐的母線長為，且其側(cè)面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）兩個球表面積的比為，則體積的比為（

）A． B．C． D．不確定3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．4．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024上·重慶·高二重慶一中校考期末）已知圓錐的底面半徑為2，若圓錐被平行其底面的平面所截，截去一個底面半徑為1，高為的圓錐，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（

）A． B． C．1 D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的三個頂點(diǎn)都在球O的表面上，兩直角邊AC，BC的長度分別為3，，若四面體OABC的體積為，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓臺的上底面半徑為，該圓臺的內(nèi)切球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知的三邊長分別是，，，則（

）A．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為B．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為C．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為D．以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為10．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）A．正方體的內(nèi)切球