高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第12講 6.4.3 第3課時(shí) 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（教師版）

第12講6.4.3第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會(huì)用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)距離、高度、角度的測(cè)量問(wèn)題。②培養(yǎng)提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。③理解三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握三角形的面積公式。④.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用。⑤掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。1.進(jìn)一步理解三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握三角形的面積公式；2.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用.在了解的基礎(chǔ)上熟練應(yīng)用是關(guān)鍵；3.掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)1：基線在測(cè)量過(guò)程中,我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線.為使測(cè)量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長(zhǎng)度.一般來(lái)說(shuō),基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.知識(shí)點(diǎn)2：仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角【即學(xué)即練1】（2023上·四川遂寧·高三統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組到觀音湖濕地公園測(cè)量臨仙閣的高度.如圖所示，記為臨仙閣的高，測(cè)量小組選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn).現(xiàn)測(cè)得.，m，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則臨仙閣高大致為（）m（參考數(shù)據(jù)：）A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m【答案】C【詳解】依題意，中，，所以由正弦定理得，即，解得，在中，，即．故選：C.知識(shí)點(diǎn)3：方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.【即學(xué)即練2】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在點(diǎn)觀測(cè)燈塔的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)點(diǎn)，觀測(cè)燈塔的方位角是65°，則貨輪到達(dá)點(diǎn)時(shí)，與燈塔的距離是多少.

【答案】（km）【詳解】由題設(shè)可得，（km），而，故，由正弦定理可得，故（km）.知識(shí)點(diǎn)4：方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：知識(shí)點(diǎn)5：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即.題型01測(cè)量距離問(wèn)題【典例1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地為響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開(kāi)展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得∠C＝120°，米，米，則A，B間的直線距離約為（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米【答案】B【詳解】由題設(shè)，在中，由余弦定理，所以米.故選：B.【典例2】（2023上·江蘇無(wú)錫·高一江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，位于我國(guó)南海海域的某直徑為海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計(jì)，測(cè)量誤差忽略不計(jì)），經(jīng)過(guò)測(cè)量得到數(shù)據(jù)：．小島C與小島D之間的距離為海里．

【答案】【詳解】由于四點(diǎn)共圓，所以，由正弦定理可知，在中，，解之得，顯然不合題意.故答案為：.【典例3】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，使得，測(cè)得，，．(1)若B，D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，所以，則為等腰直角三角形，所以，則．在中，由余弦定理得，故．故A，C兩點(diǎn)間距離為．（2）設(shè)，則由題意可知，，．在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又，所以，解得，所以．【變式1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）如圖，為了測(cè)量湖兩側(cè)的，兩點(diǎn)之間的距離，某觀測(cè)小組的三位同學(xué)分別在點(diǎn)，距離點(diǎn)30km處的點(diǎn)，以及距離點(diǎn)10km處的點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè).甲同學(xué)在點(diǎn)測(cè)得，乙同學(xué)在點(diǎn)測(cè)得，丙同學(xué)在點(diǎn)測(cè)得，則，兩點(diǎn)間的距離為km.【答案】【詳解】，，，，，中，由正弦定理，有，則，中，由余弦定理，有，得，即，兩點(diǎn)間的距離為.故答案為：.【變式2】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，若在河岸選取相距20米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時(shí)A，B兩點(diǎn)間的距離是多少？【答案】米【詳解】根據(jù)正弦定理，在中，有(米)，在中，有(米)．在中，由余弦定理得AB＝＝(米)．所以A，B兩點(diǎn)間的距離為米．【變式3】（2023下·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為濕地兩邊夾角為的兩條公路（長(zhǎng)度均超過(guò)4千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)，，且千米．若要求觀景臺(tái)與兩接送點(diǎn)所成角與互補(bǔ)，且觀景臺(tái)在的右側(cè)，并在觀景臺(tái)與接送點(diǎn)，之間建造兩條觀光線路和，求觀光線路之和最長(zhǎng)是多少千米，此時(shí)為多少千米？

【答案】觀光線路之和最長(zhǎng)是4千米，此時(shí)為4千米【詳解】在中，因?yàn)?，，所以，又與互補(bǔ)，所以，在中，由余弦定理得，即，即，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)由于，，，所以≌，又與互補(bǔ)，所以，所以.所以觀光線路之和最長(zhǎng)是4千米，此時(shí)為4千米.題型02測(cè)量高度問(wèn)題【典例1】（2023上·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）高郵鎮(zhèn)國(guó)寺是國(guó)家級(jí)旅游景區(qū)地處高郵市京杭大運(yùn)河中間，東臨高郵市區(qū)，西近高郵湖實(shí)屬龍地也，今有“運(yùn)河佛城”之稱(chēng)某同學(xué)想知道鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高約為，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部M的仰角分別為和在A處測(cè)得鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部M的仰角為30°，鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：由題意，，，因?yàn)樵谥校?，，，所以，在中，運(yùn)用正弦定理有，即，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)樵谥?，有，，，所以有，因?yàn)椋?，由題意，所以，綜上所述：鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度約為.故選：C.【典例2】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）消防車(chē)是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車(chē)的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂（20米30米）是可伸縮的，且起重臂可繞點(diǎn)在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)張角，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)距離地面的高度為4米．當(dāng)起重臂的長(zhǎng)度為24米，張角時(shí)，云梯消防車(chē)最高點(diǎn)距離地面的高度的長(zhǎng)為米．【答案】【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，由題意的：，，，，在中，，，米．故答案為：【變式1】（2023上·河北承德·高三校聯(lián)考期中）河北省正定縣的須彌塔是中國(guó)建筑寶庫(kù)的珍貴遺產(chǎn)，是我國(guó)建筑之精品，是中國(guó)古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證．一名身高的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】42【詳解】如圖，，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，所以，其中，故，又，且，所以，又該同學(xué)身高，所以塔高約為.故答案為：42.【變式2】（2023上·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）邯鄲叢臺(tái)又名武靈叢臺(tái)，相傳始建于戰(zhàn)國(guó)趙武靈王時(shí)期，是趙王檢閱軍隊(duì)與觀賞歌舞之地，是古城邯鄲的象征.如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量邯鄲叢臺(tái)的高度AB，選取了與臺(tái)底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)D處測(cè)得叢臺(tái)臺(tái)頂?shù)难鼋菫椋瑒t叢臺(tái)的高度為米（結(jié)果精確到0.1米，取，）.

【答案】26.4【詳解】在中，，，則米.在中，，則米.故答案為：26.4.題型03測(cè)量角度問(wèn)題【典例1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）一艘游輪航行到處時(shí)看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時(shí)再看燈塔在其南偏東方向，則此時(shí)燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【詳解】如圖，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以解得，由正弦定理得，故或，因?yàn)?，故為銳角，所以，此時(shí)燈塔位于游輪的南偏西方向.故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距的處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)與輪船相遇.

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由．【答案】(1)航行速度為(2)航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30,理由見(jiàn)解析【詳解】（1）

如圖設(shè)小艇的速度為，時(shí)間為相遇，則由余弦定理得:,叩:,當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)速度，此時(shí)小艇的航行方向?yàn)檎狈较?，航行速度?（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為:30，則由(1)可得:,即:,解得:，此時(shí),此時(shí)，在中，，故可設(shè)計(jì)航行方案如下:航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？计谥校┠掣劭谝獙⒁患匾锲酚眯⊥偷揭凰艺诤叫械妮喆?在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r(shí)間與輪船相遇.【答案】(1)海里/時(shí)(2)航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇【詳解】（1）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為海里，則，當(dāng)時(shí)，（海里），此時(shí)（海里/時(shí)）.∴小艇以海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.（2）設(shè)小艇與輪船在處相遇，則，故，又，∴，即，解得.又時(shí)，海里/時(shí)，即海里/時(shí)時(shí)，取得最小值為.此時(shí)，在△中，有海里，故可設(shè)計(jì)航行方案：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.【典例4】

（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)南偏東的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為80海里/時(shí).(1)求B，C兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)60海里(2)方向是南偏東，需要的時(shí)間為小時(shí).【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點(diǎn)間的距離為60海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達(dá)C處需要的時(shí)間為小時(shí)，在中，由余弦定理得,因?yàn)?，所以，所以該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)的方向是南偏東﹒【變式1】（2023上·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東方向，相距12公里的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10公里的速度沿南偏東方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14公里的速度，沿北偏東方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，則紅方偵察艇所需的時(shí)間為小時(shí)，角的正弦值為．

【答案】2/【詳解】設(shè)紅方偵查艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在處追上藍(lán)方的小艇，則，，.

根據(jù)余弦定理得，解得，故，.根據(jù)正弦定理得，解得，故答案為：2；.【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)星于中午12點(diǎn)正通過(guò)衛(wèi)星跟蹤站A點(diǎn)的正上空，地球半徑約為6400km．

(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時(shí)相隔的距離是多少．(2)如果此時(shí)跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)1950km(2)0.64．【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)人造衛(wèi)星在時(shí)位于C點(diǎn)，其中，則，在中，，，，由余弦定理得，解得，因此，在時(shí)，人造衛(wèi)星與跟蹤站相距約．（2）解：如圖所示，設(shè)此時(shí)天線的瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角為，則，由正弦定理得，故，即，因此，天線瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角的余弦值約為．

【變式3】（2023下·貴州銅仁·高一校考期中）信陽(yáng)南灣湖以源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風(fēng)情而著稱(chēng)；以幽、樸、秀、奇的獨(dú)特風(fēng)格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級(jí)風(fēng)景區(qū)．如圖，為迎接第九屆開(kāi)漁節(jié)，某漁船在湖面上A處捕魚(yú)時(shí)，天氣預(yù)報(bào)幾小時(shí)后會(huì)有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個(gè)小島C可躲避惡劣天氣，在小島C的正北方向有一航標(biāo)燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達(dá)B處，測(cè)得，海里．

(1)求A處距離航標(biāo)燈D的距離AD；(2)求的值；【答案】(1)（海里）(2)【詳解】（1）∵，，，∴在中由余弦定理得，∴（海里）．（2）∵，由正弦定理得，∴．【變式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）某海岸的A哨所在凌晨1點(diǎn)15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東方向20nmile處的D點(diǎn)出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡劣能見(jiàn)度低，無(wú)法對(duì)船只進(jìn)行識(shí)別，所以將該船雷達(dá)特征信號(hào)進(jìn)行標(biāo)記并上報(bào)周?chē)谒缟?點(diǎn)15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西方向60nmile處的E點(diǎn)，并識(shí)別出其為走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile處C點(diǎn)的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速度大小為30nmile/h．（假設(shè)所有船只均保持勻速直線航行）

(1)求走私船的速度大?。?2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時(shí)間．【答案】(1)nmile/h(2)緝私船沿北偏西方向行駛，3小時(shí)后即早上8點(diǎn)15分可截獲走私船．【詳解】（1）點(diǎn)位于哨所北偏東方向nmile處，點(diǎn)位于哨所北偏西方向nmile處，，，nmile/h，走私船的速度大小為nmile/h.（2）設(shè)在點(diǎn)處截獲走私船，截獲走私船所需時(shí)間為，，，，，走私船速度為nmile/h，緝私船速度為nmile/h，，在中，根據(jù)余弦定理，，，化簡(jiǎn)得，(舍去)，或，此時(shí)，，緝私船沿北偏西方向行駛，3小時(shí)后即早上8點(diǎn)15分可截獲走私船．

題型04綜合應(yīng)用題【典例1】（2023上·廣東江門(mén)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）氣象臺(tái)在早上8:00觀測(cè)到一臺(tái)風(fēng)，臺(tái)風(fēng)中心在氣象臺(tái)正西方向處，它正向東北方向移動(dòng)，移動(dòng)速度的大小為；距離臺(tái)風(fēng)中心以?xún)?nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，該氣象臺(tái)受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)段為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，由余弦定理，得，于是，解得或，所以，臺(tái)風(fēng)從O到B用時(shí)小時(shí)，臺(tái)風(fēng)從O到C用時(shí)小時(shí).故，A點(diǎn)受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是早上8:00后的5小時(shí)至10小時(shí)之間，即13:00-18:00.故選：B.【典例2】（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┠吵鞘衅矫媸疽鈭D為四邊形（如圖所示），其中內(nèi)的區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，內(nèi)的區(qū)域?yàn)楣I(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段和線段上分別選一處位置，分別記為點(diǎn)和點(diǎn)，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路，線段與線段交于點(diǎn)，段和段修建道路每公里的費(fèi)用分別為10萬(wàn)元和20萬(wàn)元，已知線段長(zhǎng)2公里，線段和線段長(zhǎng)均為6公里，，設(shè).(1)求修建道路的總費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與的關(guān)系式（不用求的范圍）；(2)求修建道路的總費(fèi)用的最小值.【答案】(1)(2)80萬(wàn)元【詳解】（1）在中，因?yàn)?，可得，在中，可知，由正弦定理，可得，所?（2）由（1）可知：，因?yàn)?，則，令，則，且在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，修建道路的總費(fèi)用取到最小值萬(wàn)元.【典例3】（2023下·云南曲靖·高一?？计谥校┫募緛?lái)臨，氣溫升高，是學(xué)生溺水事故的高發(fā)期．為有效預(yù)防學(xué)生溺水事件的發(fā)生，增強(qiáng)學(xué)生防溺水的安全防范意識(shí)，提高學(xué)生的自護(hù)自救能力，減少安全事故的發(fā)生，切實(shí)保護(hù)學(xué)生的生命安全，學(xué)校組織各班召開(kāi)了防溺水安全教育主題班會(huì)．某地一河流的岸邊觀測(cè)站位于點(diǎn)處（離地面高度忽略不計(jì)），觀察到位于點(diǎn)西南方向且距離為的點(diǎn)處有一名釣友，正目不轉(zhuǎn)睛地盯著其東偏北方向上點(diǎn)處一個(gè)正在岸邊玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距離為，假設(shè)三點(diǎn)在同一水平面上．(1)求此時(shí)釣友與小孩之間的距離．(2)若此時(shí)釣友到點(diǎn)處比到點(diǎn)處的距離更近，且在孩子落水的瞬間釣友跳進(jìn)河里開(kāi)始以的速度救援，與此同時(shí)孩子在水流的作用下以的速度沿北偏東方向移動(dòng)，由于釣友平時(shí)缺乏鍛煉受耐力限制，最多能持續(xù)游，試問(wèn)釣友這次救援是否有成功的可能？若有可能，求釣友救援成功的最短時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明原因．【答案】(1)距離為100或200米；(2)釣友這次救援有成功的可能，救援成功的最短時(shí)間為.【詳解】（1）由題意得，，，在三角形中，根據(jù)余弦定理有，即，解得或100，

故釣友與小孩之間的距離為100或200米.（2）因?yàn)獒炗训近c(diǎn)處比到點(diǎn)處的距離更近，則，

設(shè)釣友在最短時(shí)間內(nèi)救援到地點(diǎn)為點(diǎn)，，則，所以，整理得，解得（負(fù)根舍去），因?yàn)?，所以釣友這次救援有成功的可能，且成功的最短時(shí)間為.【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┲貞c市某區(qū)政府計(jì)劃在一處梔子花種植地修建花海公園.如圖，公園用柵欄圍成等腰梯形形狀，其中，長(zhǎng)為米；在上選擇一點(diǎn)作為公園入口，從公園入口出發(fā)修建兩條觀光步道、，其中步道終點(diǎn)、兩點(diǎn)在邊界、上，且.

(1)觀光步道的總長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)金沙天街的“奇遇集市”憑借其地理優(yōu)勢(shì)及花樣百出的“小攤攤”，吸引了眾多周?chē)挠慰汀W(xué)生以及上班族；該區(qū)政府決定效仿金沙天街的做法，在花海公園原有規(guī)劃基礎(chǔ)上增添一條商業(yè)步道用于建設(shè)“偶遇集市”，若建設(shè)觀光步道平均每米需花費(fèi)元，建設(shè)商業(yè)步道平均每米需花費(fèi)元，試求建設(shè)步道總花費(fèi)的最小值.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)是，且定值為米(2)元【詳解】（1）解：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑒t，在中，，，則，由正弦定理可得，則，同理可得，因此，（米）.（2）解：在中，，由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)米，即當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因此，建設(shè)步道總花費(fèi)的最小值為（元）.【變式2】（2023下·廣東茂名·高一茂名市第一中學(xué)?？计谥校┙柚鷩?guó)家實(shí)施鄉(xiāng)村振興政策支持，某網(wǎng)紅村計(jì)劃在村內(nèi)扇形荷花水池中修建荷花觀賞臺(tái)，助推鄉(xiāng)村旅游經(jīng)濟(jì).如圖所示，扇形荷花水池的半徑為20米，圓心角為.設(shè)計(jì)的荷花觀賞臺(tái)由兩部分組成，一部分是矩形觀賞臺(tái)，另一部分是三角形觀賞臺(tái)現(xiàn)計(jì)劃在弧上選取一點(diǎn)，作平行交于點(diǎn)，以為邊在水池中修建一個(gè)矩形觀賞臺(tái)，長(zhǎng)為5米；同時(shí)在水池岸邊修建一個(gè)滿(mǎn)足且的三角形觀賞臺(tái)，記.(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作OA的垂線，交于點(diǎn)，求，及矩形觀賞臺(tái)的面積；(2)求整個(gè)觀賞臺(tái)（包括矩形觀賞臺(tái)和三角形觀賞臺(tái)兩部分）面積的最大值.【答案】(1)，，平方米(2)212.5平方米【詳解】（1）由題意如圖所示：則由題意知，當(dāng)時(shí)，則..∵，，∴.因?yàn)?矩形的面積平方米.所以矩形觀賞臺(tái)的面積平方米.（2）由題意可知，，，，，在中，由，得.矩形MNPQ的面積：.觀賞臺(tái)的面積：.整個(gè)觀賞臺(tái)面積.設(shè)，，∴..∴.∴

當(dāng)時(shí)，整個(gè)觀賞臺(tái)觀賞臺(tái)S取得最大值為212.5平方∴整個(gè)觀賞臺(tái)的面積S的最大值為212.5平方米.【變式3】（2023下·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）雨天外出雖然有雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明想通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量?。疄榱撕?jiǎn)化問(wèn)題小明做出下列假設(shè)：假設(shè)1：在網(wǎng)上查閱了人均身高和肩寬的數(shù)據(jù)后，小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為170cm、40cm的矩形“紙片人”：假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線；假設(shè)3：傘柄OT長(zhǎng)為，可繞矩形“紙片人”上點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)；假設(shè)4：傘面為被傘柄OT垂直平分的線段AB，．以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕“頭和肩膀”．(1)如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時(shí)，求其“褲腳”被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；(2)請(qǐng)根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)小明建立的數(shù)學(xué)模型提兩條改進(jìn)建議（無(wú)需求解改進(jìn)后的模型，如果建議超過(guò)兩條僅對(duì)前兩條評(píng)分）【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，由題意，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，又，由正弦定理，所以，又，所以，，所以，所以，所以陰影部分面積為；（2）①雨傘不遮擋人行進(jìn)的視線；②傘面為弧線，改進(jìn)模型將傘設(shè)為一段圓弧，擴(kuò)大傘面的面積；③考慮傘柄可以伸縮，等等.（只要合理即可）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·山東聊城·高三?？茧A段練習(xí)）泰姬陵于1631年開(kāi)始建造，用時(shí)22年，距今已有366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)Q（B，Q，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得A處、泰姬陵頂端處的仰角分別是和，在A處測(cè)得泰姬陵頂端處的仰角為，則估算泰姬陵的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)且，過(guò)點(diǎn)作平行于，則，，

故，所以，，在中，由勾股定理可得，在中，由正弦定理得，，即，所以，故.故選：A2．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在高速公路建設(shè)中，要確定隧道的長(zhǎng)度，工程人員測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離分別為，且，則隧道長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理得出隧道長(zhǎng)度.【詳解】由余弦定理可得：．故選：C3．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測(cè)者與某顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星處于相同經(jīng)度，且能直接觀測(cè)到，設(shè)點(diǎn)的維度（與赤道平面所成角的度數(shù)）的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)構(gòu)造直角三角形的方法求得.【詳解】設(shè)表示衛(wèi)星，過(guò)作截面，截地球得大圓，過(guò)作圓的切線，，線段交圓于，如圖，則，，，，則.故選：B4．（2022上·陜西銅川·高二校考期末）如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知,由余弦定理可得，故選：D5．（2023上·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組欲測(cè)量一下校內(nèi)旗桿頂部M和教學(xué)樓M?頂部N之間的距離，已知旗桿AM高15m，教學(xué)樓BN高21m，在與A,B同一水平面C處測(cè)得的旗桿頂部M的仰角為，教學(xué)樓頂部N的仰角為，，則M,N之間的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，利用余弦定理求出旗桿與教學(xué)樓的距離，即可得出M,N之間的距離.【詳解】由題意，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，在中，∴，在中，∴，在中，，由余弦定理得，，∴,在Rt中，，由勾股定理得，,故選：D.6．（2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）盤(pán)興鐵路全長(zhǎng)98.309公里，是貴州省“市市通高鐵”的最后一個(gè)項(xiàng)目，盤(pán)興鐵路全線橋隧長(zhǎng)為89.13公里，是目前貴州高鐵中橋隧比最高的線路.如圖所示，施工隊(duì)為了估計(jì)盤(pán)興鐵路某隧道DE的長(zhǎng)度，在山頂P點(diǎn)處測(cè)得三點(diǎn)A，B，C的俯角依次為，，，其中A，B，C，D，E為山腳兩側(cè)共線的五點(diǎn).現(xiàn)預(yù)沿直線AC挖掘一條隧道，測(cè)得米，米，米，估計(jì)隧道DE的長(zhǎng)度為（

）A．米 B．300米 C．350米 D．400米【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意可知：，則均為等腰直角三角形，可得，且，可得，因?yàn)?，則，解得，所以，即隧道DE的長(zhǎng)度為350米.故選：C.7．（2023上·遼寧撫順·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）勝利塔位于大連市旅順口區(qū)，是市級(jí)文物保護(hù)單位．該塔是蘇軍撒離旅順之前，為紀(jì)念世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)勝利10周年而建．基座為五角形，五面各有二層臺(tái)階，上立有五根六角柱，中心為五角形的塔身，其頂端鑄有象征勝利的紅色徽標(biāo)，金碧輝煌，格外耀眼．某同學(xué)為測(cè)量勝利塔的高度MN，在勝利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高約為22.5m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，勝利塔頂部M的仰角分別為和，在A處測(cè)得勝利塔頂部M的仰角為，那么勝利塔的高度約為（

）

A． B．C．40m D．45m【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及正弦定理，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】由已知在中，，，，所以，在中，，，所以，又，由正弦定理可得，所以，所以，在中，，，，所以.故選：D.8．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫(huà)筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測(cè)得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)三條邊求出，利用平方關(guān)系得到，即可根據(jù)等腰三角形求解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，因?yàn)?，所以，在中，由得，故選：C二、多選題9．（2023下·江西·高一校聯(lián)考期末）一貨輪在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時(shí)24的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，40分鐘后到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得貨輪與燈塔S相距，則燈塔S可能在處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向C．北偏東方向 D．南偏東方向【答案】BC【分析】根據(jù)題意利用正弦定理運(yùn)算求解.【詳解】如圖所示，由題意得，，，則，解得，且，所以或，如圖所示：則有：當(dāng)貨輪在處時(shí)，，所以；當(dāng)貨輪在處時(shí)，，所以；綜上所述：燈塔S在處的北偏東或南偏東方向.故選：BC.

10．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．處與處之間的距離是B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南D．在燈塔的北偏西【答案】AC【分析】作圖，運(yùn)用正弦定理和余弦定理解相應(yīng)的三角形即可.【詳解】在中，由已知得，，則，由正弦定理得，所以A處與D處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，又，解得．所以燈塔C與D處之間的距離為，故B錯(cuò)誤；，，燈塔C在D處的西偏南，故C正確；燈塔B在D的南偏東，D在燈塔B的北偏西，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題11．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為．

【答案】74【分析】由題設(shè)得，，再應(yīng)用正弦定理列方程求鸛雀樓的高度.【詳解】由題設(shè)及圖知：，則，在中m.故答案為：7412．（2020上·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)B處，測(cè)得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度.【答案】【分析】由圖，設(shè)此山高為，后利用幾何知識(shí)結(jié)合正弦定理可得答案.【詳解】設(shè)此山高為，則，在中，.則.在中，利用正弦定理則有.解得：故答案為：四、解答題13．（2020·全國(guó)·高二假期作業(yè)）如圖，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏東40°的方向駛離碼頭，下午3：00到達(dá)地．下午1：00乙船沿北偏東125°的方向勻速駛離碼頭，下午3：00到達(dá)地．若在的正南方向，則乙船的航行速度是多少？（精確到1km/h）

【答案】【分析】畫(huà)出平面圖形，求出角度，再利用正弦定理即可解決．【詳解】由題可知，，，，設(shè)乙船速度為，則.于是在中，由正弦定理可得：，即，解得，所以，乙船的航行速度大約是.

14．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，一船由西向東航行，測(cè)得某島的方位角為，前進(jìn)5km后測(cè)得此島的方位角為．已知該島周?chē)?km內(nèi)有暗礁，如果繼續(xù)東行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？（）【答案】無(wú)觸礁危