高中數(shù)學同步講義（人教A版必修二）第12講 6.4.3 第3課時 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（教師版）

第12講6.4.3第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課程標準學習目標①會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關(guān)距離、高度、角度的測量問題。②培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力。③理解三角形面積公式的推導過程，掌握三角形的面積公式。④.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用。⑤掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。1.進一步理解三角形面積公式的推導過程，掌握三角形的面積公式；2.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用.在了解的基礎(chǔ)上熟練應(yīng)用是關(guān)鍵；3.掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用；知識點1：基線在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.知識點2：仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角【即學即練1】（2023上·四川遂寧·高三統(tǒng)考期中）某數(shù)學興趣小組到觀音湖濕地公園測量臨仙閣的高度.如圖所示，記為臨仙閣的高，測量小組選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量點.現(xiàn)測得.，m，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則臨仙閣高大致為（）m（參考數(shù)據(jù)：）A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m【答案】C【詳解】依題意，中，，所以由正弦定理得，即，解得，在中，，即．故選：C.知識點3：方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.【即學即練2】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鐖D所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在點觀測燈塔的方位角為110°，航行半小時后船到達點，觀測燈塔的方位角是65°，則貨輪到達點時，與燈塔的距離是多少.

【答案】（km）【詳解】由題設(shè)可得，（km），而，故，由正弦定理可得，故（km）.知識點4：方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：知識點5：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.題型01測量距離問題【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）某地為響應(yīng)習近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得∠C＝120°，米，米，則A，B間的直線距離約為（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米【答案】B【詳解】由題設(shè)，在中，由余弦定理，所以米.故選：B.【典例2】（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省南菁高級中學?？茧A段練習）如圖，位于我國南海海域的某直徑為海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計，測量誤差忽略不計），經(jīng)過測量得到數(shù)據(jù)：．小島C與小島D之間的距離為海里．

【答案】【詳解】由于四點共圓，所以，由正弦定理可知，在中，，解之得，顯然不合題意.故答案為：.【典例3】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個點，使得，測得，，．(1)若B，D選在兩個村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點間距離；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，所以，則為等腰直角三角形，所以，則．在中，由余弦定理得，故．故A，C兩點間距離為．（2）設(shè)，則由題意可知，，．在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又，所以，解得，所以．【變式1】（2023上·北京·高三北京四中?？计谥校┤鐖D，為了測量湖兩側(cè)的，兩點之間的距離，某觀測小組的三位同學分別在點，距離點30km處的點，以及距離點10km處的點進行觀測.甲同學在點測得，乙同學在點測得，丙同學在點測得，則，兩點間的距離為km.【答案】【詳解】，，，，，中，由正弦定理，有，則，中，由余弦定理，有，得，即，兩點間的距離為.故答案為：.【變式2】（2023上·全國·高三專題練習）如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，若在河岸選取相距20米的C、D兩點，測得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時A，B兩點間的距離是多少？【答案】米【詳解】根據(jù)正弦定理，在中，有(米)，在中，有(米)．在中，由余弦定理得AB＝＝(米)．所以A，B兩點間的距離為米．【變式3】（2023下·遼寧·高二鳳城市第一中學校聯(lián)考階段練習）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺，已知射線，為濕地兩邊夾角為的兩條公路（長度均超過4千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點，，且千米．若要求觀景臺與兩接送點所成角與互補，且觀景臺在的右側(cè)，并在觀景臺與接送點，之間建造兩條觀光線路和，求觀光線路之和最長是多少千米，此時為多少千米？

【答案】觀光線路之和最長是4千米，此時為4千米【詳解】在中，因為，，所以，又與互補，所以，在中，由余弦定理得，即，即，又因為，所以，當且僅當時取等號，

此時由于，，，所以≌，又與互補，所以，所以.所以觀光線路之和最長是4千米，此時為4千米.題型02測量高度問題【典例1】（2023上·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第70中校考階段練習）高郵鎮(zhèn)國寺是國家級旅游景區(qū)地處高郵市京杭大運河中間，東臨高郵市區(qū)，西近高郵湖實屬龍地也，今有“運河佛城”之稱某同學想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高約為，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為和在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：由題意，，，因為在中，有，，，所以，在中，運用正弦定理有，即，化簡得，又因為在中，有，，，所以有，因為，所以，由題意，所以，綜上所述：鎮(zhèn)國寺塔的高度約為.故選：C.【典例2】（2023上·全國·高三專題練習）消防車是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂（20米30米）是可伸縮的，且起重臂可繞點在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動張角，轉(zhuǎn)動點距離地面的高度為4米．當起重臂的長度為24米，張角時，云梯消防車最高點距離地面的高度的長為米．【答案】【詳解】如圖，過點作，由題意的：，，，，在中，，，米．故答案為：【變式1】（2023上·河北承德·高三校聯(lián)考期中）河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產(chǎn)，是我國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證．一名身高的同學假期到河北省正定縣旅游，他在處仰望須彌塔尖，仰角為，他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了后仰望須彌塔尖，仰角為，據(jù)此估計該須彌塔的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】42【詳解】如圖，，因為，所以，在中，由正弦定理得，所以，其中，故，又，且，所以，又該同學身高，所以塔高約為.故答案為：42.【變式2】（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習）邯鄲叢臺又名武靈叢臺，相傳始建于戰(zhàn)國趙武靈王時期，是趙王檢閱軍隊與觀賞歌舞之地，是古城邯鄲的象征.如圖，某學習小組為了測量邯鄲叢臺的高度AB，選取了與臺底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C，D，現(xiàn)測得，，米，在點D處測得叢臺臺頂?shù)难鼋菫?，則叢臺的高度為米（結(jié)果精確到0.1米，取，）.

【答案】26.4【詳解】在中，，，則米.在中，，則米.故答案為：26.4.題型03測量角度問題【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【詳解】如圖，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以解得，由正弦定理得，故或，因為，故為銳角，所以，此時燈塔位于游輪的南偏西方向.故選：C【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距的處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇，并說明理由．【答案】(1)航行速度為(2)航行方向為北偏東30°，航行速度為30,理由見解析【詳解】（1）

如圖設(shè)小艇的速度為，時間為相遇，則由余弦定理得:,叩:,當時，取得最小值，此時速度，此時小艇的航行方向為正北方向，航行速度為.（2）要用時最小，則首先速度最高，即為:30，則由(1)可得:,即:,解得:，此時,此時，在中，，故可設(shè)計航行方案如下:航行方向為北偏東30°，航行速度為30，小艇能以最短時間與輪船相遇.【典例3】（2023下·河南周口·高一周口恒大中學?？计谥校┠掣劭谝獙⒁患匾锲酚眯⊥偷揭凰艺诤叫械妮喆?在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇.【答案】(1)海里/時(2)航行方向為北偏東，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇【詳解】（1）設(shè)相遇時小艇航行的距離為海里，則，當時，（海里），此時（海里/時）.∴小艇以海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.（2）設(shè)小艇與輪船在處相遇，則，故，又，∴，即，解得.又時，海里/時，即海里/時時，取得最小值為.此時，在△中，有海里，故可設(shè)計航行方案：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.【典例4】

（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東，B點南偏東的C處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點正西方向且與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.(1)求B，C兩點間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達C處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)60海里(2)方向是南偏東，需要的時間為小時.【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點間的距離為60海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達C處需要的時間為小時，在中，由余弦定理得,因為，所以，所以該救援船前往營救漁船時的方向是南偏東﹒【變式1】（2023上·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習）在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東方向，相距12公里的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10公里的速度沿南偏東方向前進，若偵察艇以每小時14公里的速度，沿北偏東方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，則紅方偵察艇所需的時間為小時，角的正弦值為．

【答案】2/【詳解】設(shè)紅方偵查艇經(jīng)過x小時后在處追上藍方的小艇，則，，.

根據(jù)余弦定理得，解得，故，.根據(jù)正弦定理得，解得，故答案為：2；.【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運行，每2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)星于中午12點正通過衛(wèi)星跟蹤站A點的正上空，地球半徑約為6400km．

(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時相隔的距離是多少．(2)如果此時跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)1950km(2)0.64．【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)人造衛(wèi)星在時位于C點，其中，則，在中，，，，由余弦定理得，解得，因此，在時，人造衛(wèi)星與跟蹤站相距約．（2）解：如圖所示，設(shè)此時天線的瞄準方向與水平線的夾角為，則，由正弦定理得，故，即，因此，天線瞄準方向與水平線的夾角的余弦值約為．

【變式3】（2023下·貴州銅仁·高一?？计谥校┬抨柲蠟澈栽催h流長的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風情而著稱；以幽、樸、秀、奇的獨特風格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級風景區(qū)．如圖，為迎接第九屆開漁節(jié)，某漁船在湖面上A處捕魚時，天氣預(yù)報幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個小島C可躲避惡劣天氣，在小島C的正北方向有一航標燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達B處，測得，海里．

(1)求A處距離航標燈D的距離AD；(2)求的值；【答案】(1)（海里）(2)【詳解】（1）∵，，，∴在中由余弦定理得，∴（海里）．（2）∵，由正弦定理得，∴．【變式4】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）某海岸的A哨所在凌晨1點15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東方向20nmile處的D點出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡劣能見度低，無法對船只進行識別，所以將該船雷達特征信號進行標記并上報周圍哨所．早上5點15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西方向60nmile處的E點，并識別出其為走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile處C點的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速度大小為30nmile/h．（假設(shè)所有船只均保持勻速直線航行）

(1)求走私船的速度大小；(2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時間．【答案】(1)nmile/h(2)緝私船沿北偏西方向行駛，3小時后即早上8點15分可截獲走私船．【詳解】（1）點位于哨所北偏東方向nmile處，點位于哨所北偏西方向nmile處，，，nmile/h，走私船的速度大小為nmile/h.（2）設(shè)在點處截獲走私船，截獲走私船所需時間為，，，，，走私船速度為nmile/h，緝私船速度為nmile/h，，在中，根據(jù)余弦定理，，，化簡得，(舍去)，或，此時，，緝私船沿北偏西方向行駛，3小時后即早上8點15分可截獲走私船．

題型04綜合應(yīng)用題【典例1】（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）氣象臺在早上8:00觀測到一臺風，臺風中心在氣象臺正西方向處，它正向東北方向移動，移動速度的大小為；距離臺風中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺風中心的這種移動趨勢不變，該氣象臺受到臺風影響的時段為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，由余弦定理，得，于是，解得或，所以，臺風從O到B用時小時，臺風從O到C用時小時.故，A點受到臺風影響的時間是早上8:00后的5小時至10小時之間，即13:00-18:00.故選：B.【典例2】（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┠吵鞘衅矫媸疽鈭D為四邊形（如圖所示），其中內(nèi)的區(qū)域為居民區(qū)，內(nèi)的區(qū)域為工業(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段和線段上分別選一處位置，分別記為點和點，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路，線段與線段交于點，段和段修建道路每公里的費用分別為10萬元和20萬元，已知線段長2公里，線段和線段長均為6公里，，設(shè).(1)求修建道路的總費用（單位：萬元）與的關(guān)系式（不用求的范圍）；(2)求修建道路的總費用的最小值.【答案】(1)(2)80萬元【詳解】（1）在中，因為，可得，在中，可知，由正弦定理，可得，所以.（2）由（1）可知：，因為，則，令，則，且在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，當，即時，修建道路的總費用取到最小值萬元.【典例3】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）夏季來臨，氣溫升高，是學生溺水事故的高發(fā)期．為有效預(yù)防學生溺水事件的發(fā)生，增強學生防溺水的安全防范意識，提高學生的自護自救能力，減少安全事故的發(fā)生，切實保護學生的生命安全，學校組織各班召開了防溺水安全教育主題班會．某地一河流的岸邊觀測站位于點處（離地面高度忽略不計），觀察到位于點西南方向且距離為的點處有一名釣友，正目不轉(zhuǎn)睛地盯著其東偏北方向上點處一個正在岸邊玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距離為，假設(shè)三點在同一水平面上．(1)求此時釣友與小孩之間的距離．(2)若此時釣友到點處比到點處的距離更近，且在孩子落水的瞬間釣友跳進河里開始以的速度救援，與此同時孩子在水流的作用下以的速度沿北偏東方向移動，由于釣友平時缺乏鍛煉受耐力限制，最多能持續(xù)游，試問釣友這次救援是否有成功的可能？若有可能，求釣友救援成功的最短時間；若不能，請說明原因．【答案】(1)距離為100或200米；(2)釣友這次救援有成功的可能，救援成功的最短時間為.【詳解】（1）由題意得，，，在三角形中，根據(jù)余弦定理有，即，解得或100，

故釣友與小孩之間的距離為100或200米.（2）因為釣友到點處比到點處的距離更近，則，

設(shè)釣友在最短時間內(nèi)救援到地點為點，，則，所以，整理得，解得（負根舍去），因為，所以釣友這次救援有成功的可能，且成功的最短時間為.【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┲貞c市某區(qū)政府計劃在一處梔子花種植地修建花海公園.如圖，公園用柵欄圍成等腰梯形形狀，其中，長為米；在上選擇一點作為公園入口，從公園入口出發(fā)修建兩條觀光步道、，其中步道終點、兩點在邊界、上，且.

(1)觀光步道的總長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；(2)金沙天街的“奇遇集市”憑借其地理優(yōu)勢及花樣百出的“小攤攤”，吸引了眾多周圍的游客、學生以及上班族；該區(qū)政府決定效仿金沙天街的做法，在花海公園原有規(guī)劃基礎(chǔ)上增添一條商業(yè)步道用于建設(shè)“偶遇集市”，若建設(shè)觀光步道平均每米需花費元，建設(shè)商業(yè)步道平均每米需花費元，試求建設(shè)步道總花費的最小值.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)是，且定值為米(2)元【詳解】（1）解：因為四邊形為等腰梯形，則，在中，，，則，由正弦定理可得，則，同理可得，因此，（米）.（2）解：在中，，由余弦定理可得，所以，，當且僅當米，即當為的中點時，等號成立，因此，建設(shè)步道總花費的最小值為（元）.【變式2】（2023下·廣東茂名·高一茂名市第一中學校考期中）借助國家實施鄉(xiāng)村振興政策支持，某網(wǎng)紅村計劃在村內(nèi)扇形荷花水池中修建荷花觀賞臺，助推鄉(xiāng)村旅游經(jīng)濟.如圖所示，扇形荷花水池的半徑為20米，圓心角為.設(shè)計的荷花觀賞臺由兩部分組成，一部分是矩形觀賞臺，另一部分是三角形觀賞臺現(xiàn)計劃在弧上選取一點，作平行交于點，以為邊在水池中修建一個矩形觀賞臺，長為5米；同時在水池岸邊修建一個滿足且的三角形觀賞臺，記.(1)當時，過點作的垂線，交于點，過點作OA的垂線，交于點，求，及矩形觀賞臺的面積；(2)求整個觀賞臺（包括矩形觀賞臺和三角形觀賞臺兩部分）面積的最大值.【答案】(1)，，平方米(2)212.5平方米【詳解】（1）由題意如圖所示：則由題意知，當時，則..∵，，∴.因為.矩形的面積平方米.所以矩形觀賞臺的面積平方米.（2）由題意可知，，，，，在中，由，得.矩形MNPQ的面積：.觀賞臺的面積：.整個觀賞臺面積.設(shè)，，∴..∴.∴

當時，整個觀賞臺觀賞臺S取得最大值為212.5平方∴整個觀賞臺的面積S的最大值為212.5平方米.【變式3】（2023下·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）雨天外出雖然有雨傘，時常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明想通過數(shù)學建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量?。疄榱撕喕瘑栴}小明做出下列假設(shè)：假設(shè)1：在網(wǎng)上查閱了人均身高和肩寬的數(shù)據(jù)后，小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為170cm、40cm的矩形“紙片人”：假設(shè)2：受風的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線；假設(shè)3：傘柄OT長為，可繞矩形“紙片人”上點O旋轉(zhuǎn)；假設(shè)4：傘面為被傘柄OT垂直平分的線段AB，．以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕“頭和肩膀”．(1)如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時，求其“褲腳”被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；(2)請根據(jù)你的生活經(jīng)驗對小明建立的數(shù)學模型提兩條改進建議（無需求解改進后的模型，如果建議超過兩條僅對前兩條評分）【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）如圖，過點作對邊的垂線，垂足為點，過點作對邊的垂線，垂足為點，連接，由題意，因為為的中點，所以，又，所以，又，由正弦定理，所以，又，所以，，所以，所以，所以陰影部分面積為；（2）①雨傘不遮擋人行進的視線；②傘面為弧線，改進模型將傘設(shè)為一段圓弧，擴大傘面的面積；③考慮傘柄可以伸縮，等等.（只要合理即可）A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·山東聊城·高三校考階段練習）泰姬陵于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物，高約為，在它們之間的地面上的點Q（B，Q，D三點共線）處測得A處、泰姬陵頂端處的仰角分別是和，在A處測得泰姬陵頂端處的仰角為，則估算泰姬陵的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)且，過點作平行于，則，，

故，所以，，在中，由勾股定理可得，在中，由正弦定理得，，即，所以，故.故選：A2．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學校考期末）如圖，在高速公路建設(shè)中，要確定隧道的長度，工程人員測得隧道兩端的兩點到點的距離分別為，且，則隧道長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理得出隧道長度.【詳解】由余弦定理可得：．故選：C3．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測者與某顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星處于相同經(jīng)度，且能直接觀測到，設(shè)點的維度（與赤道平面所成角的度數(shù)）的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造直角三角形的方法求得.【詳解】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，，線段交圓于，如圖，則，，，，則.故選：B4．（2022上·陜西銅川·高二校考期末）如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知,由余弦定理可得，故選：D5．（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）某數(shù)學興趣小組欲測量一下校內(nèi)旗桿頂部M和教學樓M?頂部N之間的距離，已知旗桿AM高15m，教學樓BN高21m，在與A,B同一水平面C處測得的旗桿頂部M的仰角為，教學樓頂部N的仰角為，，則M,N之間的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，利用余弦定理求出旗桿與教學樓的距離，即可得出M,N之間的距離.【詳解】由題意，過點作于點，

則，在中，∴，在中，∴，在中，，由余弦定理得，，∴,在Rt中，，由勾股定理得，,故選：D.6．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）盤興鐵路全長98.309公里，是貴州省“市市通高鐵”的最后一個項目，盤興鐵路全線橋隧長為89.13公里，是目前貴州高鐵中橋隧比最高的線路.如圖所示，施工隊為了估計盤興鐵路某隧道DE的長度，在山頂P點處測得三點A，B，C的俯角依次為，，，其中A，B，C，D，E為山腳兩側(cè)共線的五點.現(xiàn)預(yù)沿直線AC挖掘一條隧道，測得米，米，米，估計隧道DE的長度為（

）A．米 B．300米 C．350米 D．400米【答案】C【分析】過點作，垂足為，根據(jù)題意可得，，結(jié)合長度關(guān)系可得，進而可得結(jié)果.【詳解】如圖，過點作，垂足為，由題意可知：，則均為等腰直角三角形，可得，且，可得，因為，則，解得，所以，即隧道DE的長度為350米.故選：C.7．（2023上·遼寧撫順·高二校考開學考試）勝利塔位于大連市旅順口區(qū)，是市級文物保護單位．該塔是蘇軍撒離旅順之前，為紀念世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利10周年而建．基座為五角形，五面各有二層臺階，上立有五根六角柱，中心為五角形的塔身，其頂端鑄有象征勝利的紅色徽標，金碧輝煌，格外耀眼．某同學為測量勝利塔的高度MN，在勝利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高約為22.5m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，勝利塔頂部M的仰角分別為和，在A處測得勝利塔頂部M的仰角為，那么勝利塔的高度約為（

）

A． B．C．40m D．45m【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及正弦定理，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】由已知在中，，，，所以，在中，，，所以，又，由正弦定理可得，所以，所以，在中，，，，所以.故選：D.8．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象?新夢想.某同學查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求.該同學取端點繪制了△ABD（如圖乙），測得，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)三條邊求出，利用平方關(guān)系得到，即可根據(jù)等腰三角形求解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，因為，所以，在中，由得，故選：C二、多選題9．（2023下·江西·高一校聯(lián)考期末）一貨輪在A處，測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時24的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，40分鐘后到達處，此時測得貨輪與燈塔S相距，則燈塔S可能在處的（

）A．北偏東方向 B．南偏東方向C．北偏東方向 D．南偏東方向【答案】BC【分析】根據(jù)題意利用正弦定理運算求解.【詳解】如圖所示，由題意得，，，則，解得，且，所以或，如圖所示：則有：當貨輪在處時，，所以；當貨輪在處時，，所以；綜上所述：燈塔S在處的北偏東或南偏東方向.故選：BC.

10．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南D．在燈塔的北偏西【答案】AC【分析】作圖，運用正弦定理和余弦定理解相應(yīng)的三角形即可.【詳解】在中，由已知得，，則，由正弦定理得，所以A處與D處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，又，解得．所以燈塔C與D處之間的距離為，故B錯誤；，，燈塔C在D處的西偏南，故C正確；燈塔B在D的南偏東，D在燈塔B的北偏西，故D錯誤；故選：AC三、填空題11．（2023上·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？茧A段練習）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為．

【答案】74【分析】由題設(shè)得，，再應(yīng)用正弦定理列方程求鸛雀樓的高度.【詳解】由題設(shè)及圖知：，則，在中m.故答案為：7412．（2020上·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學?？计谥校┤鐖D，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達B處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度.【答案】【分析】由圖，設(shè)此山高為，后利用幾何知識結(jié)合正弦定理可得答案.【詳解】設(shè)此山高為，則，在中，.則.在中，利用正弦定理則有.解得：故答案為：四、解答題13．（2020·全國·高二假期作業(yè)）如圖，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏東40°的方向駛離碼頭，下午3：00到達地．下午1：00乙船沿北偏東125°的方向勻速駛離碼頭，下午3：00到達地．若在的正南方向，則乙船的航行速度是多少？（精確到1km/h）

【答案】【分析】畫出平面圖形，求出角度，再利用正弦定理即可解決．【詳解】由題可知，，，，設(shè)乙船速度為，則.于是在中，由正弦定理可得：，即，解得，所以，乙船的航行速度大約是.

14．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，一船由西向東航行，測得某島的方位角為，前進5km后測得此島的方位角為．已知該島周圍3km內(nèi)有暗礁，如果繼續(xù)東行，有無觸礁危險？（）【答案】無觸礁危