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PAGEPAGE3計(jì)算題答案1.求45與60的最大公因數(shù)。解:因?yàn)?,,所?5與60的最大公因數(shù)是,即15。2.求不定方程3x-8y=1的一切整數(shù)解。解:因?yàn)?3,8)=1,所以不定方程有整數(shù)解。顯然x=3,y=1是其一個(gè)特解,所以不定方程的一切整數(shù)解為x=3+8ty3.求60與28的最大公因數(shù)。解:因?yàn)?,所?0與28的最大公因數(shù)是22,即4。4.解同余式3x2(mod5)。解:因?yàn)椋?,2)=1,所以同余式有解,且有一個(gè)解。將0,1,2,3,4直接代入檢查知,4滿足同余式,所以同余式的解為x4(mod5)。5.求不定方程7x+2y=1的一切整數(shù)解。解:因?yàn)椋?,2)=1,1|1,所以不定方程有解。觀察知其一個(gè)整數(shù)解是。于是其一切整數(shù)解為,t取一切整數(shù)。6.解同余式3x1(mod7)。解:因?yàn)椋?,7)=1,所以同余式有解且有一個(gè)解。由3x-7y=1得,所以同余式的解為7.解同余式28x21(mod35)。解:因?yàn)椋?8,35)=7,而7|21,所以同余式28x21(mod35)有解,且有7個(gè)解。同余式28x21(mod35)等價(jià)于4x3(mod5),解4x3(mod5)得x2(mod5),故同余式28x21(mod35)的7個(gè)解為x2,7,12,17,22,27,32(mod35)。8.解同余式組:。解:由得,將其代入得,解得,即,所以,所以解為。9.求不定方程3x+2y=2的一切整數(shù)解。解:因?yàn)?3,2)=1,所以不定方程有整數(shù)解。顯然是其一個(gè)特解,所以不定方程的一切整數(shù)解為x=2ty10.解同余式。解:因?yàn)?4,5)=1,所以同余式有解,且只有1個(gè)解。將0,1,2,3,4代入檢查知4滿足,所以同余式的解為。
填空題1.9除28的商是3余1。2.11除23的余數(shù)是1。3.6的正因數(shù)是1、2、3、6。4.{4.5}=0.5。5.[8.3]+[-8.3]=17。6.30的最小質(zhì)因數(shù)是5。7.在所有質(zhì)數(shù)中,是偶數(shù)的是2。8.在所有質(zhì)數(shù)中,最小的奇質(zhì)數(shù)是3。9.大于4小于16的素?cái)?shù)有_5、7、11、13___。10.不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是(a,b)|c。11.模5的最小非負(fù)完全剩余系是0、1、2、3、4。12.模4的絕對(duì)最小完全剩余系是﹣2、﹣1、0、1或﹣1、0、1、2。13.的個(gè)位數(shù)是5。14.77的個(gè)位數(shù)是__3____。15.316的十進(jìn)位表示中的個(gè)位數(shù)字是1。16.66的個(gè)位數(shù)是6。17.710被11除的余數(shù)是1。18.(1516,600)=4。19.6的所有正因數(shù)的和是12_。20.24與60的最大公因數(shù)是12。21.35的最小質(zhì)因數(shù)是5。22.46的個(gè)位數(shù)是6。23.8的所有正因數(shù)的和是15_。24.18的標(biāo)準(zhǔn)分解式為18=2×3^2。25.20的歐拉函數(shù)值=20。
證明題答案1.設(shè)m,n為整數(shù),證明m+n,m-n與mn中一定有一個(gè)是3的倍數(shù)。證明:若m或n為3的倍數(shù),則mn是3的倍數(shù);若m是3的倍數(shù)加1,n是3的倍數(shù)加1,則m-n是3的倍數(shù);若m是3的倍數(shù)加1,n是3的倍數(shù)加2,則m+n是3的倍數(shù);若m是3的倍數(shù)加2,n是3的倍數(shù)加1,則m+n是3的倍數(shù);若m是3的倍數(shù)加2,n是3的倍數(shù)加2,則m-n是3的倍數(shù),結(jié)論成立。2.設(shè)n是整數(shù),證明6|n(n+1)(2n+1)。證明:因?yàn)閚(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n–1)+n(n+1)(n+2),而三個(gè)連續(xù)整數(shù)的積可被6整除,所以6|n(n+1)(2n+1)。3.設(shè)n是整數(shù),證明:。證明:。由于是3個(gè)連續(xù)整數(shù)的積,所以。由于是2個(gè)連續(xù)整數(shù)的積,所以。又(2,3)=1,所以。4.證明:若,則。證明:因?yàn)?-3=0,而,所以。由,及同余
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