2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第68煉 離心率問題含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第68煉離心率問題第68煉圓錐曲線的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識：1、離心率公式：（其中為圓錐曲線的半焦距）（1）橢圓：（2）雙曲線：2、圓錐曲線中的幾何性質(zhì)及聯(lián)系（1）橢圓：，①：長軸長，也是同一點的焦半徑的和：②：短軸長③橢圓的焦距（2）雙曲線：①：實軸長，也是同一點的焦半徑差的絕對值：②：虛軸長③橢圓的焦距3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點三角形（曲線上的點與兩焦點連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（2）利用坐標(biāo)運算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時通常可從以下幾個方面考慮：（1）題目中某點的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點”，則可考慮該點坐標(biāo)用表示，且點坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個核心變量，則可以考慮離心率表示為某個變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：二、典型例題：例1：設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．思路：本題存在焦點三角形，由線段的中點在軸上，為中點可得軸，從而，又因為，則直角三角形中，，且，所以答案：A小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意為中點是一個隱含條件，如果圖中存在其它中點，則有可能與搭配形成三角形的中位線。例2：橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點,為它們的一個公共點,且,則橢圓的離心率為________思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對焦點，設(shè)，在雙曲線中，，不妨設(shè)在第一象限，則由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，因為，而代入可得：答案：小煉有話說：在處理同一坐標(biāo)系下的多個圓錐曲線時，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點。例3：如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.思路：本題沒有焦半徑的條件，考慮利用點的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點坐標(biāo)盡力用表示，再尋找一個等量關(guān)系解出的關(guān)系。雙曲線的漸近線方程為，由直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍可得：，確定直線l的方程為，與漸近線聯(lián)立方程得將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言，則，即，解得，從而答案：B例4：設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得則該雙曲線的離心率為B.C.D.3思路：條件與焦半徑相關(guān)，所以聯(lián)想到，進(jìn)而與找到聯(lián)系，計算出的比例，從而求得解：即解得：（舍）或答案：B例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為.思路：本題涉及的條件多與坐標(biāo)有關(guān)，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意義，所以考慮將點的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，在利用條件求出離心。首先直線的方程含，聯(lián)立方程后交點的坐標(biāo)可用進(jìn)行表示（），則中點，再利用點在橢圓上即可求出離心率解：直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程可得：解得：，則在橢圓上，解得：答案：例6：已知F是雙曲線的左焦點，是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．思路：從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角。由對稱性可得只需即可。且均可用表示，是通徑的一半，得：，，所以，即答案：B小煉有話說：（1）在處理有關(guān)角的范圍時，可考慮利用該角的一個三角函數(shù)值，從而將角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}（2）本題還可以從直線的斜率入手，，利用即可求出離心率例7：已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.思路：為焦點三角形的內(nèi)角，且對邊為焦半徑，所以利用正弦定理對等式變形：，再由解得：，再利用焦半徑的范圍為可得（由于依題意，非左右頂點，所以焦半徑取不到邊界值）：，解得答案：D例8：已知是橢圓的左右焦點，若橢圓上存在點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.思路一：考慮在橢圓上的點與焦點連線所成的角中，當(dāng)位于橢圓短軸頂點位置時，達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在的點，則短軸頂點與焦點連線所成的角，考慮該角與的關(guān)系，由橢圓對稱性可知，，所以，即，進(jìn)而即，解得，再由可得思路二：由可得，進(jìn)而想到焦點三角形的面積：，另一方面：，從而，因為在橢圓上，所以，即，再同思路一可解得：思路三：可想到，進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)，則有，則，即點一定在以為圓心，為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑時才可有交點，所以，同思路一可解得注：本題對在圓上也可由判定出在以為直徑的圓上，進(jìn)而寫出圓方程思路四：開始同思路三一樣，得到所在圓方程為，因為在橢圓上，所以聯(lián)立圓和橢圓方程：代入消去可得：，整理后可得：，由可得：，同思路一即可解得：答案：小煉有話說：本題的眾多思路重點區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時是選擇用幾何特點數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計算求解例9：設(shè)點分別為橢圓的左右焦點，若在橢圓上存在異于點的點，使得，其中為坐標(biāo)原點，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題取值范圍的突破口在“橢圓上存在點”，則的橫縱坐標(biāo)分別位于中，所以致力于計算的坐標(biāo)，設(shè)，題目中，由可得也在以為直徑的圓上。即，所以聯(lián)立方程：，即，由已知可得也是圓與橢圓的一個交點，所以由韋達(dá)定理可得：，再根據(jù)的范圍可得：，解得答案：D小煉有話說：本題運用到了一個求交點的模型：即已知一個交點，可利用韋達(dá)定理求出另一交點，熟練使用這種方法可以快速解決某些點的坐標(biāo)例10：如圖，已知雙曲線上有一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．思路：本題與焦半徑相關(guān)，所以考慮的幾何含義，可得為直角三角形，且，結(jié)合可得，因為關(guān)于原點對稱，所以即為的左焦半徑。所以有，則，即關(guān)于的函數(shù)，在求值域即可：，所以答案：B三、歷年好題精選1、已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，直線，的斜率分別為，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．2、（2016，新余一中模擬）已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.3、已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．4、設(shè)分別是雙曲線的左右焦點，若雙曲線左支上存在一點，使得，為坐標(biāo)原點，且，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.5、（2016四川高三第一次聯(lián)考）橢圓和圓，（為橢圓的半焦距）對任意恒有四個交點，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.6、如圖，內(nèi)外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，外層橢圓方程為若的斜率之積為，則橢圓的離心率為_______7、（2015，新課標(biāo)II）已知為雙曲線的左右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（）A.B.C.D.8、（2016，宜昌第一中學(xué)12月考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的左支上，且，則此雙曲線離心率的最大值為（）A．B．C．D．9、（2015，山東）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若的垂心為的焦點，則離心率為________10、（2014，湖北）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A.B.C.D.11、（2014，浙江）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是______解得：習(xí)題答案：1、答案：B.解析：設(shè)，則，兩式相減得:，而，則，.2、答案：A解析：由拋物線方程可得：，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，所以，可知取得最大值時，最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)與拋物線相切時，最小。設(shè)，聯(lián)立方程，即，則，此時，則，所以，則3、解析：為鈍角三角形，且即，即答案：B4、答案：A思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點三角形的特點，從入手，可得，數(shù)形結(jié)合可得四邊形為菱形，所以，可判定為直角三角形。，可得5、答案：B解析：由橢圓與圓有四個不同的交點，則對任意恒成立，即，平方變形后可得：6、答案：解析：設(shè)切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立切線與內(nèi)層橢圓方程，得：，所以，由可得：，同理，所以。即7、答案：D解析：設(shè)雙曲線方程為，如圖所示：，過點作軸于，在中，，所以，代入雙曲線方程可得：可得：，從而8、答案：A解析：由雙曲線可知，所以，因為點，即，所以，即最大值為9、答案：解析：由方程可得其漸近線方程為，與拋物線聯(lián)立可解得交點，拋物線的焦點坐標(biāo)為，由及，可得：，即，從而，所以10、答案：A解析：設(shè)橢圓半長軸長為，雙曲線半實軸長為，橢圓，雙曲線離心率分別為不妨設(shè)在第一象限由雙曲線與橢圓性質(zhì)可得：由余弦定理可得：代入可得：由柯西不等式可得：11、答案：解析：雙曲線的漸近線方程為：，分別聯(lián)立方程：可解得：中點第69煉直線與圓錐曲線位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識：（一）直線與橢圓位置關(guān)系1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點）2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個數(shù)進(jìn)行判定，下面以直線和橢圓：為例（1）聯(lián)立直線與橢圓方程：（2）確定主變量（或）并通過直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得：（3）通過計算判別式的符號判斷方程根的個數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系①方程有兩個不同實根直線與橢圓相交②方程有兩個相同實根直線與橢圓相切③方程沒有實根直線與橢圓相離3、若直線上的某點位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交（二）直線與雙曲線位置關(guān)系1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數(shù)進(jìn)行判定以直線和橢圓：為例：（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得：（2）與橢圓不同，在橢圓中，因為，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數(shù)為，有可能為零。所以要分情況進(jìn)行討論當(dāng)且時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個根。此時直線與雙曲線相交，只有一個公共點當(dāng)時，常數(shù)項為，所以恒成立，此時直線與雙曲線相交當(dāng)或時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)需要用判斷：①方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交②方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切③方程沒有實根直線與雙曲線相離注：對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點的個數(shù)來判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切（3）直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標(biāo)的范圍為，所以通過橫坐標(biāo)的符號即可判斷交點位于哪一支上：當(dāng)時，點位于雙曲線的右支；當(dāng)時，點位于雙曲線的左支。對于方程：，設(shè)兩個根為①當(dāng)時，則，所以異號，即交點分別位于雙曲線的左，右支②當(dāng)或，且時，，所以同號，即交點位于同一支上（4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定①且時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進(jìn)行平移，則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支，所以只有一個交點②時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上。③或時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點（與的符號對應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上。（三）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例聯(lián)立方程：，整理后可得：（1）當(dāng)時，此時方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個實根。此時直線為水平線，與拋物線相交（2）當(dāng)時，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過判別式進(jìn)行判定①方程有兩個不同實根直線與拋物線相交②方程有兩個相同實根直線與拋物線相切③方程沒有實根直線與拋物線相離2、焦點弦問題：設(shè)拋物線方程：，過焦點的直線（斜率存在且），對應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于聯(lián)立方程：，整理可得：（1）（2）（3）（四）圓錐曲線問題的解決思路與常用公式：1、直線與圓錐曲線問題的特點：（1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉），（2）條件與直線和曲線的交點相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標(biāo)是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜（3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”）（4）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重數(shù)形幾何，注重整體代入。則可簡化運算的過程這幾點歸納起來就是“以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點為兩個基本點，堅持韋達(dá)定理四個基本公式（，堅持?jǐn)?shù)形結(jié)合，堅持整體代入。直至解決解析幾何問題“2、韋達(dá)定理：是用二次方程的系數(shù)運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計算出來的實根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些問題或是步驟經(jīng)常與兩個根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理，繞開繁雜的求根結(jié)果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點，以應(yīng)對更復(fù)雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達(dá)定理毫無用武之地。3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式：（1）斜截式：，此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是否符合條件（2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡單）。此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時，斜率4、弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或（1）證明：因為在直線上，所以，代入可得：同理可證得（2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果為直線與曲線的交點（即為曲線上的弦），則（或）可進(jìn)行變形：，從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入。5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點，則該兩點滿足橢圓方程，有：考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進(jìn)行分解，則可得到兩個量之間的聯(lián)系：①②由等式可知：其中直線的斜率，中點的坐標(biāo)為，這些要素均在②式中有所體現(xiàn)。所以通過“點差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時。同時由①可得在涉及坐標(biāo)的平方差問題中也可使用點差法。二、典型例題例1：不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路一：可通過聯(lián)立方程，消去變量（如消去），得到關(guān)于的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以在恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，解出即可解：，整理可得：即思路二：從所給含參直線入手可知直線過定點，所以若過定點的直線均與橢圓有公共點，則該點位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入后，即，因為是橢圓，所以，故的取值范圍是答案：C小煉有話說：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過根的個數(shù)來確定直線與橢圓位置關(guān)系，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置關(guān)系的特點，即若點在封閉曲線內(nèi)，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突破口巧妙解決問題。在思路二中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點是關(guān)鍵（2）本題還要注意細(xì)節(jié)，橢圓方程中的系數(shù)不同，所以例2：已知雙曲線的右焦點為，若過點的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由可得漸近線方程為：，若過右焦點的直線與右支只有一個交點，則直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線斜率的絕對值，即答案：C小煉有話說：本題是利用“基礎(chǔ)知識”的結(jié)論直接得到的答案，代數(shù)的推理如下：由可知，設(shè)直線，聯(lián)立方程可得：，整理后可得：當(dāng)時，，即位于雙曲線右支，符合題意當(dāng)時，直線與雙曲線必有兩個交點，設(shè)為因為直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，即綜上所述：例3：已知拋物線的方程為，過點和點的直線與拋物線沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由兩點可確定直線的方程（含），再通過與拋物線方程聯(lián)立，利用即可得到關(guān)于的不等式，從而解得的范圍解：若，則直線與拋物線有公共點，不符題意若，則，與橢圓聯(lián)立方程：直線與拋物線無公共點或答案：D例4：過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則_______思路：由雙曲線方程可知，當(dāng)斜率不存在時，可知為通徑，計算可得：，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可得為關(guān)于的表達(dá)式，即?？山獾茫夯?。若或，即時，可得，僅有一解，不符題意。若且，則每個方程只能無解或兩解。所以可知當(dāng)時，方程有兩解，再結(jié)合斜率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以解：由雙曲線可得，當(dāng)斜率不存在時，的方程為為通徑，即若直線斜率存在，不妨設(shè)為則設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：，整理可得：可得：或①當(dāng)時，即，則方程①的解為，只有一解，不符題意同理，當(dāng)，即，則方程①的解為，只有一解，不符題意當(dāng)且時，則每個方程的解為0個或兩個，總和無法達(dá)到3個，不符題意所以若的直線恰有3條，只能，方程①解得：滿足條件的直線的方程為：，，答案：例5：已知橢圓，則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：設(shè)橢圓上兩點，中點坐標(biāo)為，則有，由中點問題想到點差法，則有，變形可得：①由對稱關(guān)系和對稱軸方程可得，直線的斜率，所以方程①轉(zhuǎn)化為：，由對稱性可知中點在對稱軸上，所以有，所以解得：，依題意可得：點必在橢圓內(nèi)，所以有，代入可得：，解得：答案：D例6：過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（）A.B.C.D.思路一：已知與橢圓交于兩個基本點，從而設(shè)，可知，即，從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達(dá)定理，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程：，可得：，所以，則，即思路二：線段為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點展開，在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以答案：D小煉有話說：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現(xiàn)平方差的特點。（1）涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系（2）涉及到運用兩點對應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點差法例7：已知點在拋物線上，過點作兩條直線分別交拋物線于點，直線的斜率分別為，若直線過點，則（）A.B.C.D.思路：設(shè)，進(jìn)而所求，所以可從直線入手，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可化簡解：設(shè)①設(shè)，則聯(lián)立方程：，消去可得：代入①可得：答案：C例8：已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且，則直線的斜率為（）A.B.C.D.思路一：從點的坐標(biāo)出發(fā)，因為三點共線，從而可轉(zhuǎn)化為，考慮將向量坐標(biāo)化，，設(shè)，有，所以，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程消元后可得：，利用韋達(dá)定理可得：，再結(jié)合，消去即可得，直線，即可得到斜率為思路二：從所給線段關(guān)系恰好為焦半徑出發(fā)，聯(lián)系拋物線的定義，可考慮向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，便可得到直角梯形，由拋物線定義可知：，將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，即為。不妨設(shè)在第一象限?？紤]將角放入直角三角形，從而可過作于，則，因為而，且，利用勾股定理可得：，從而，即，當(dāng)在第四象限時，同理，可得綜上所述：答案：B例9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點，，則直線的斜率是（）A.B.C.D.思路：先設(shè)出直線，只需一個等量條件即可求出，進(jìn)而求出斜率?？紤]與橢圓聯(lián)立方程，分別解出的縱坐標(biāo)，然后利用弦長公式即可用表示：，可將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，從而解出，所以斜率為解：由橢圓方程可得：，設(shè)，，依圖可知：聯(lián)立與橢圓方程可得：，整理可得：同理可得：即，解得：直線的斜率答案：D小煉有話說：（1）在運用弦長公式計算時，抓住焦點的縱坐標(biāo)為0的特點，使用縱坐標(biāo)計算線段長度更為簡便，因此在直線的選擇上，本題采用的形式以便于消去得到關(guān)于的方程（2）直線方程，當(dāng)時，可知斜率與的關(guān)系為：例10：過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于四點，則的值為（）A.B.C.D.思路：首先先考慮特殊情況，即斜率不存在。則為通徑，；為長軸，所以，從而。再考慮一般情況，所求為焦點弦，所以考慮拆成兩個焦半徑的和，如設(shè)，則，從而想到聯(lián)立直線與橢圓方程并使用韋達(dá)定理整體代入，同理也為焦半徑。設(shè)的斜率為，則的斜率為，所以均可用進(jìn)行表示，再求出的值即可解：若分別與坐標(biāo)軸平行，不妨設(shè)軸，則為橢圓的通徑，由可得：因為為長軸長，即當(dāng)斜率均存在時，設(shè)斜率為，由可得斜率為由橢圓方程可得：設(shè)，聯(lián)立方程可得：消去可得：，整理后為：

設(shè)，，與橢圓聯(lián)立方程：，則同理，求只需用替換中的即可綜上所述：答案：D小煉有話說：（1）本題的亮點在于處理，因為發(fā)現(xiàn)與的直線方程結(jié)構(gòu)基本相同（只有斜率不同），并且用的是相同的步驟（聯(lián)立方程，消元，韋達(dá)定理，代入焦半徑公式），所以在解決的問題時就可參照的結(jié)果，進(jìn)行對應(yīng)字母的替換，即可得到答案。所以在處理兩條直線與同一曲線的問題時，可觀察兩直線處理過程的異同，進(jìn)而簡化運算步驟（2）本題是選擇題，通過題意可發(fā)現(xiàn)盡管過焦點相互垂直的直線有無數(shù)多對，但從選項中暗示結(jié)果是個常數(shù)，所以就可以利用特殊情況（通徑與長軸長）求出結(jié)果，從而選擇正確的選項第70煉求點的軌跡問題一、基礎(chǔ)知識：1、求點軌跡方程的步驟：（1）建立直角坐標(biāo)系（2）設(shè)點：將所求點坐標(biāo)設(shè)為，同時將其他相關(guān)點坐標(biāo)化（未知的暫用參數(shù)表示）（3）列式：從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系，列出方程（4）化簡：將方程進(jìn)行變形化簡，并求出的范圍2、求點軌跡方程的方法（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡即可（2）代入法：所求點與某已知曲線上一點存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程（3）定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學(xué)過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程。常見的曲線特征及要素有：①圓：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡直角→圓：若，則點在以為直徑的圓上確定方程的要素：圓心坐標(biāo)，半徑②橢圓：平面上到兩個定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點距離）的點的軌跡確定方程的要素：距離和，定點距離③雙曲線：平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于定點距離）的點的軌跡注：若只是到兩定點的距離差為常數(shù)（小于定點距離），則為雙曲線的一支確定方程的要素：距離差的絕對值，定點距離④拋物線：平面上到一定點的距離與到一定直線的距離（定點在定直線外）相等的點的軌跡確定方程的要素：焦準(zhǔn)距：。若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置（即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線），則通過準(zhǔn)線方程或焦點坐標(biāo)也可確定方程（4）參數(shù)法：從條件中無法直接找到的聯(lián)系，但可通過一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程。二、典型例題：例1：設(shè)一動點到直線的距離到它到點的距離之比為，則動點的軌跡方程是（）A.B.C.D.思路：設(shè)，則可直接利用已知條件列出關(guān)于的等式，化簡即可解：設(shè)答案：C例2：已知兩定點的坐標(biāo)分別為，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為___________思路：通過作圖可得等價的條件為直線的斜率的關(guān)系，設(shè)，則，則可通過的斜率關(guān)系得到動點的方程解：若在軸上方，則代入可得：，化簡可得：即若在軸下方，則，同理可得：當(dāng)時，即為等腰直角三角形，或滿足上述方程所以當(dāng)在一四象限時，軌跡方程為當(dāng)在線段上時，同樣滿足，所以線段的方程也為的軌跡方程綜上所述：的軌跡方程為或答案：或例3：已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的動點，則線段中點的軌跡方程是（）A.B.C.D.思路：依題意可得，，，則有，因為自身有軌跡方程，為：，將代入可得關(guān)于的方程，即的軌跡方程：答案：D例4：已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程是__________思路：考慮設(shè)，由拋物線可得：，且，故考慮利用向量關(guān)系得到與的關(guān)系，從而利用代入法將用進(jìn)行表示，代入到即可解：由拋物線可得：設(shè)①在上，將①代入可得：，即答案：例5：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點，且，分別為橢圓的左，右頂點，則直線與的交點所在曲線方程為________思路：由橢圓可得：，從而可確定線與的方程。，若聯(lián)立方程解，則形式較為復(fù)雜不易化簡，觀察兩條直線方程的特點，可發(fā)現(xiàn)若兩邊相乘，有平方差的特點，且與橢圓相交，則關(guān)于軸對稱，有。所以兩方程左右兩邊分別相乘可得：，再利用滿足橢圓方程，消去等式中的即可解：由橢圓可知：，設(shè)交點坐標(biāo)。與橢圓相交于關(guān)于軸對稱考慮直線與的方程：由可得：①同理可得：②①②可得：③由在橢圓上可得：，代入③可得：