2023年高考數(shù)學(xué)試題解析全國乙卷文科

1.|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.75D.5

【命題意圖】本題考查i"的性質(zhì)及復(fù)數(shù)的模，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容

易.

【答案】C

【解析】由題意可得2+i?+2i3=2—1—2i=l_2i，

則|2+i?+2i3|=|l-2i|=’F+(—2)2=6故選C.

【點評】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置上,

考查熱點一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共朝復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、

復(fù)數(shù)的幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除運算.

【知識鏈接】

解復(fù)數(shù)運算問題的常見類型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類

項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的事寫成

最簡形式.

(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為歷(a,6GR)的

形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.

(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為。+

歷(ageR)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

2.設(shè)全集。={0,1,2,4,6,8},集合河={0,4,6},6={0,1,6},則M。陰^=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【命題意圖】本題考查集合的并集與補集運算，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：

容易.

因為。={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6},所以①A={2,4,8},M={0,2,4,6,8},故

選A.

因為U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6},所以2A={2,4,8},M必N={0,2,4,6,8},故

選A.

【點評】集合是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置上,

考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關(guān)系，所給集合多為簡單不等式

的解集、離散的數(shù)集或點集，這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.

【知識鏈接】

L求解集合的運算問題的三個步驟：

⑴看元素構(gòu)成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的

關(guān)鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等，如{x\y=fix)},{y[y=/(x)},{(x,y)ly=兀0}三者是不同的；

(2)對集合化簡，有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算，可使問題簡單明了、

易于解決；

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補等運算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為

()

A.24B.26C.28D.30

【命題意圖】本題考查三視圖及組合體的表面積，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度:

較易.

【答案】D

【解析】如圖所示，在長方體ABCD-AgG。中,AB=3C=2.44t=3,

點瓦/,J,K為所在棱上靠近點練G,。,4的三等分點,O,L,M,N為所在棱的中點，

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABC。-A耳GA去掉長方體ON/￡-之后所得的

幾何體，

5t--------------

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為

2*(2x2)+4x(2x3)-2*(lxl)=30.故選D.

【點評】有關(guān)三視圖的試題，大多與幾何體的體積、表面積交匯考查,難度一般不大，屬于送分

題.

【知識鏈接】1.三視圖問題的常見類型及解題策略

(1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分

用實線表示，不能看到的部分用虛線表示.

(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀

圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代

入，再看看給出的部分三視圖是否符合.

(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形

成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.

2.多面體的表面積是各個面的面積之和；求組合體的表面積要注意銜接部分的處理.

7T

4.在，ABC中，內(nèi)角ASC的對邊分別是若QCOSB-Z?COSA=C,且C=y,則N5=()

7L兀3兀27T

A.—B.—C.—D.----

105105

【命題意圖】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：較易.

【解析】解法一：由正弦定理及acosB—Z?cosA=c得sinAcosB—cosAsin6=sinC,即

sin(A-B)=sinC=sin(A+B),因為A-B<A+B，所以A-B+A+B=TI,A=|，所以

B=7i-A-C=71--二型，故選C.

2510

解法二：由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于(0,兀),故sin5>0,

jiITTT.47r

據(jù)此可得cosA=0,A=—,貝|8=?！?—。=兀-------=一.故選C.

22510

【點評】三角函數(shù)與解三角形是高考中的重點，若解答題中沒有解三角形，則客觀題中一般有

3道三角函數(shù)與解三角形試題，這3道題分別考查三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解三角

形.

【知識鏈接】應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧

⑴求邊：利用公式。=粵粵力=嘿/,。=喏「或其他相應(yīng)變形公式求解.

SillDSill/iSillZJ

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=聾辿,sin2=始乎屈11C=粵1或其他

相應(yīng)變形公式求解.

(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.

(4)靈活利用式子的特點轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)片+〃_02=筋6形式用余弦定理，求。+6,有時可配方

把式子化為(a+b)2=C2+(2+2)ab整體代入求值.

5.已知/(x)=Y^是偶函數(shù)，則()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).難度：較易

【答案】D

X—XX(a—l)x

解法一：因為/(力是偶函數(shù)，所以“X)-*-落=*+J

e—1e—1e—11—e

x

Xe-兀/"3

==---------------=0,所以a—l=l,a=2,故選D.

—1

解法二：因為“X)是偶函數(shù)，且==0，所以

67—1=1,<7=2，故選D.

【點評】函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點，若單獨考查，一般為基礎(chǔ)題,若與函數(shù)的單調(diào)性、周

期性交匯考查，常作為客觀題的壓軸題.

【知識鏈接】

1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論

(1)如果函數(shù)兀V)是偶函數(shù),那么兀r)=A|尤|).

(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的

單調(diào)性.

(3)在公共定義域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇義奇=偶，偶、偶=偶，奇乂偶=奇.

(4)/(x)為偶函數(shù)5無)=川沖.

(5)若奇函數(shù)在尤=0處有意義，則式0)=0.

2.常見的奇函數(shù)與偶函數(shù)

y=logfl)a>0,aw1,加w0),y=:"(a〉0,aw1),

-Xa>Q,awl),y=J]+g(a>0,aRl)是奇函數(shù),

xx2x

y=a+a~(a>0,aw1),y=logfl(1+a]-x(a>0,a^1)是偶函數(shù)

6.正方形ABC。的邊長是2,E是AB的中點，則EC.磯>=()

A.亞B.3C.2A/5D.5

【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng).難度：較易.

【解析】

解法一：因為E是AB中點，

所以EC.ED=（EB+BC）.（EA+AD）^AB+AD\-^AB+AD

212

=AD——AB=4T=3,故選B.

4

解法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

/\/\/\UUUUUU

則E（1,O）,C（2,2）,￡＞（0,2），可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

uumuuu

所以EC-ED=—1+4=3；

解法三：由題意可得：ED=EC=45,CD=2,

DE?+CE?-DC?5+5—43

在_CDE中，由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2x逐x不5

uunuiiQutmuun3

所以EC-ED=ECEDcos/DEC=國小x—=3.故選B.

5

【點評】平面向量是高考數(shù)學(xué)必考知識點，一般以客觀題形式考查，熱點是平面向量的線性運

算及平面向量的數(shù)量積,可以是容易題，也可以是難題,難題常用平面幾何、不等式、三角函數(shù)

等知識交匯考查.

【知識鏈接】與幾何圖形有關(guān)的數(shù)量積計算,思路一是選取2個不共線向量作為基底,把其他

向量用基底表示,然后利用數(shù)量積的性質(zhì)及定義求解，二是建立坐標(biāo)系,把問題轉(zhuǎn)化為向量的

坐標(biāo)運算.

7.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點,在區(qū)域｛（蒼y）|1Vf+丁V4｝內(nèi)隨機取一點，記該點為A,則直

線OA的傾斜角不大于￡的概率為（）

4

11-11

A.—B.—C.—D.—

8642

【命題意圖】本題考查以面積為測度的幾何概型，體現(xiàn)了直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng).難

度：較易.

【答案】c

【解析】如圖所示，點A位于陰影區(qū)域內(nèi)，其中陰影區(qū)域面積是圓環(huán)面積的工,所以所求概率為

L故選c.

4

【點評】老教材中有些知識點在新教材中被刪除，有些原來是高考每年熱點題,如程序框圖、

線性規(guī)劃、三視圖、幾何概型等，受新教材的影響，這些內(nèi)容的考查熱點有所降低，但不要認(rèn)為

新教材刪除的內(nèi)容都不考，如本卷中考查了三視圖、幾何概型及線性規(guī)劃.

【知識鏈接】求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題

意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo),找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

8.函數(shù)/(x)=x3+ax+2存在3個零點，則。的取值范圍是()

A.(-8,-2)B.C.(-4,—1)D.

(TO)

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng).

難度：中等

【解析】因為/(》)=去+?+2,所以廣(力=3爐+凡若心04(力單調(diào)遞增，只有1個零點,

不滿足題意，所以"0,由廣(力=0得x=±Jg，結(jié)合〃力的圖象，可得

<0,即汽/+4<0所以4<一3,故選8.

27

【知識連接】函數(shù)/(x)=以?+bf+M+d(°ho)有3個零點的充要條件是有2個極值

點4,%,且/(x,)/(%2)<0.

9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙

兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為。

5211

A.-B.—C.-D.一

6323

【命題意圖】本題考查古典概型，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).難度：中等.

【答案】A

【解析】因為共有6個主題，甲乙兩位學(xué)生抽取1個主題，結(jié)果有36種,其中抽到的主題相同

的結(jié)果有6種,所以甲乙兩位學(xué)生抽到不同主題的概率為1-色=3,故選A.

366

【點評】文科對概率的考查一般以客觀題形式考查，難度基本都不大.

【知識鏈接】求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法

(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.

⑵若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時,需要分類太多，而其對立面的分

類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事件

的概率.

10.已知函數(shù)/(無)=疝(0無+0)在區(qū)間除期單調(diào)遞增,直線.￡和工哼為函數(shù)股〃力

的圖像的兩條對稱軸，則()

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象與邏輯推理

的核心素養(yǎng).難度：較難.

【答案】D

(TT2冗AT27r冗冗

【解析】因為/(%)=sin(s+0)在區(qū)間上,二單調(diào)遞增，所以：=g且0>0,則

vo3；2362

T=7T,w=§=2,當(dāng)x=g吐取得最小直則2T+0=2E-gKeZ,

1662

貝九9=2比一予?€2,不妨取4=0,則/（同=5皿（2天一^^,貝|/［一"）=$.（一|^=，,

故選D.

【點評】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基本是高考每年必考題，本題具有綜合性,把三角函數(shù)的圖象、

單調(diào)性、對稱性及三角函數(shù)求值交匯考查.

【知識鏈接】1.根據(jù)y=4sin(5+e),xGR的圖象求解析式的步驟：

(1)首先確定振幅和周期，從而得到4與co.

(IM為離開平衡位置的最大距離，即最大值與最小值的差的一半.

(II)w由周期得到：①函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的兩條對稱軸之間

的距離為函數(shù)的半個周期；②函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩個對稱中心間的

距離也是函數(shù)的半個周期；③一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數(shù)的《個周

期(借助圖象很好理解記憶).

(2)求(p的值時最好選用最值點求.

兀71

峰點：￡wx+9=]+2標(biāo)；谷點：a)x~\~(p=—彳+2E.

也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點.

升零點(圖象上升時與X軸的交點)：ox+夕=2也；

降零點(圖象下降時與x軸的交點)：0X+9=TT+2E(以上4GZ).

2；/(x)=Asin(0x+0XA>OM>O)的圖象關(guān)于直線x=機對稱，則/(m)=±A,關(guān)于點(?,0)對稱,

則/(?)=0.

11.已知實數(shù)羽V滿足f+y2—4x—2y—4=0,則％—V的最大值是()

A.1+殛B.4C.1+372D.7

2

【命題意圖】本題考查圓的方程，考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，難度；較難.

【答案】C

【解析】解法一：令x—y=k，則x=k+y,

代入原方程化簡得2y2+(2左—6)y+左2—4左—4=0,

因為存在實數(shù)兒貝[1A20,即(2左一6)2—4x2(產(chǎn)一4左一4)之0,

化簡得左2—2左一17<0,解得1—3&<女<1+3后.

故工一丁的最大值是3拒+1，

解法二：x2+y2-4x-2y-4=0,WM(x-2)2+(y-l)2=9,

令1=3<?5。+2,丁=35111，+1,其中。€[0,2兀].

則x—y=3cos6—3sin，+1=3后cos+^+1,

tTT,1TvJ'ITnrIq-r

。目0,2旬，所以，+，則9+=2兀，即。=一時，x—y取得最大值

3逝+1，

解法三：題中方程可化為(x-2『+(y-l『=9,它表示圓心為(2,1),半徑為3的圓，設(shè)x-y=t,

則直線x-y—=0與圓(x-2)2+(、-1)2=9有公共點,所以圓心到直線了-？—=0的距離

〃=邑口《3解得I_364Y1+3&,故選C.

解法四：因為—+9一4x-2y-4=0可得(x-2)2+(、-1)2=9,由“+Z?W,2(/+加)得

x_y=l+(x_2)+(L+J2[(x_2y+(y_l)[=]+3近，故選C.

【點評】本題非常經(jīng)典，有多種解法，不同解法涉及直線與圓、三角函數(shù)、基本不等式及方程

思想等.

【知識鏈接】與圓上點(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.

①形如"=三型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點①力)和點(X,y)的直線的斜率的最值問題；②形如

t=ax+by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如(x—a)2+(j—b)2型的最

值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點m力)的距離的平方的最值問題.

2

12.已知點A3是雙曲線Cf-白=1上的兩點，則可以作為中點的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【命題意圖】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度:

難.

【答案】D

【解析】設(shè)4(為,％),3(%,丫2)，則AB的中點M(土產(chǎn),竺匹),可得

2

1

219-1

鼬="』，左=——=9^,因為A8在雙曲線上，則<2

%，兩式相減得

1

七十九2一

X]-x2%+X2-1

一2-9

(片一后卜"￡=0.所以心次=4二與=9.對于選項A：可得左=1,配=9,則

X79X[-%2

y=9x-S

2*4

AB:y=9x—8,聯(lián)立方程，y，消去y得72爐—2x72x+73=0,止匕時

I9

A=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,所以直線與雙曲線沒有交點，故A錯誤;對于選項B：

95

y——x—

9Q522

可得上=-2,如=-不則A3:y=-m-彳，聯(lián)立方程2，消去y得

222x2-^=l

[9

45d+2*45x+61=0,止匕時A=(2x45『一4x45x61=-4x45xl6<0,所以直線A8與雙曲線沒

有交點，故B錯誤;對于選項C：可得左=3,。=3,則AB：y=3尤由雙曲線方程可得a=11=3,

則A3：y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；

'97

y——X—

99744

對于選項D：々=4,左鉆=:,則=：無一:，聯(lián)立方程2，消去、得

444j,

尤2~一-=1

[9

63d+126x-193=0,此時公=1262+4、63乂193>0,故直線人8與雙曲線有交兩個交點,故口

正確；故選D.

解法二：同解法一，先求得"/左=9,結(jié)合雙曲線圖形及直線與雙曲線漸近線斜率的大小進(jìn)行

判斷

【點評】本題可以利用點差法，也可以利用中點坐標(biāo)公式，后者方法容易想到，但運算量較大.

【知識鏈接】

L與中點弦有個的問題一般是設(shè)出弦端點坐標(biāo)尸（%,%）,Q（%,%）代入圓錐曲線方程作差，得

到關(guān)于"二耳%的關(guān)系式，再結(jié)合題中條件求解.

冗1-x2

2.求雙曲線的以某點為中點的弦所在直線方程，求出方程以后一定要檢驗該直線與雙曲線是

否有2個公共點.

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知點在拋物線C：V=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

【命題意圖】本題考查拋物線的方程及幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：容易.

【答案】49

4

25

【解析】由題意可得（百）=2pxl,貝1]2。=5,拋物線的方程為儼=5x,準(zhǔn)線方程為》=一（,點

A到C的準(zhǔn)線的距離為1-1-2=（.

【點評】本題屬于送分題，解析幾何在高考中一般有3到4道試題，若有3道試題，則這3道試

題分別涉及橢圓、雙曲線、拋物線；若有4道試題，則這4道試題分別涉及圓、橢圓、雙曲

線、拋物線.

【知識鏈接】

1.客觀題中的拋物線一般考查拋物線定義、幾何性質(zhì)及運算能力,特別是求解有關(guān)線段長度時

要注意定義、方程思想及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.

2.拋物線尸=2川加>0）焦點到頂點距離為到準(zhǔn)線距離為p.

3.設(shè)AB是過拋物線>2=280>0）焦點F的弦，若A（xi,yi）,8（X242）,則

31X2=4,>1>2=-p.

②|AF|=X+"|,|48|=a+&+0=前7a為弦AB的傾斜角）.

14.若6e]o，m}tane=g,則sin8-cos8=.

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素.難度：較

易.

【答案】—逝

5

【解析】

3Tsinf)1

解法一：因為?！?,-，則sin6>0,cose>0,又因為tane="=：,則cose=2sin。,

I2)cos夕2

且cos28+sin20=4sin26+sin?0=5sin26=1,解得sin0=或sin。=(舍去),

55

所以sin。一cos6=sin。一2sin。=-sin。=----

5

女刀并一,2nsin201-cos201乙日2八4H在八「八兀、七2八2^5

解法一：由tan0=-------=------z----=一得cos~8=—,因為?！?,一,所以cos。=----,

cos2^cos2^45I2)5

sin0-5/1-cos20=，所以sin6-cos0—--?.

角軍法三：由0,5］且tan6=L<1得0<6<四,所以sinevcos/sin。一cos6=

V2J24

/sin2^-2sin^cos^+cos2_Itan20-2tan6+1V5

Vsin20+cos20vtan26+15

【點評】三角函數(shù)求值要注意消元與方程思想的應(yīng)用，與sin。-cos。有關(guān)的運算要重視

(sin6土cos9)2=l±2sin9cos9的應(yīng)用.

【知識鏈接】利用si/a+cos2a=1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角a所在象限確

定符號；利用黑^=tana可以實現(xiàn)角a的弦切互化.

LU3cx

x-3y<-1

15.若x,y滿足約束條件，尤+2”9,則z=2x-y的最大值為.

3x+”7

【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),難度：較易.

【答案】8

【解析】作出可行域如下圖所示：z=2x-y,移項得y=2x-z,

[x—3y=-1[x=5,、

聯(lián)立有尤+2=9'解得=2,設(shè)人(5,2),顯然平移直線>=2x使其經(jīng)過點A,此時截距-z

[%y[y

最小，則z最大,代入得z=8,

【點評】線性規(guī)劃在前些年一直是高考熱點，隨著新教材的推進(jìn)，熱度與難度有所降低，前2年

都沒有考查線性回歸，今年雖然考查了線性規(guī)劃題，但試題為常規(guī)題，且數(shù)據(jù)設(shè)置簡單,為送分

題.

【知識鏈接】

如果可行域是一個多邊形，那么一般在其頂點處目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值.最優(yōu)解一般是

多邊形的某個頂點，到底是哪個頂點為最優(yōu)解，有三種解決方法：

第一種方法：將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動,最先通過或最后通過的一個便是.

第二種方法：利用圍成可行域的直線斜率來判斷.

特別地，當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域某條邊重合時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)組.

第三種方法：將可行域所在多邊形的每一個頂點己逐一代入目標(biāo)函數(shù)比較各

個ZR；得最大值或最小值.

16.已知點S,A,5c均在半徑為2的球面上，,ABC是邊長為3的等邊三角形，平面

ABCMSA=.

【命題意圖】本題考查球與幾何體的切接，考查直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).難度：難.

【答案】2

【解析】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SAW-ABC,

設(shè)「ABC的外接圓圓心為O,半徑為J

_AB-3-oA

則2rsinZACB垂），可得r=6，

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接OA,OOX，則0A=2,OQ=；S4,

因為04?=OO1+aA?，即4=3+4SA?,解得5A=2.

4

【點評】球與幾何體的切接是高考的熱點與難點，常作為客觀題中的壓軸題，考查熱點是幾何

體的外接球，此類問題要求學(xué)生有較強的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答.從

實際來看，這部分知識是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入

手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼

心理.

【知識鏈接】

1.求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平

面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解，其中公式

R2=r+d2使用頻率非常高，考生一定要重視.

2.若三棱錐有1條側(cè)棱與底面垂直，求解其外接球問題，通常把該棱錐補成一個直三棱柱,

設(shè)該棱柱底面外接圓半徑為r,高為h,則外接球半徑R=+W.

三、解答題：共0分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試

驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測

量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為

y1=1,2，…,10).試驗結(jié)果如下:

試驗序號i12345678910

伸縮率須545533551522575544541568596548

伸縮率/536527543530560533522550576536

記馬=%-％(i=1,2,…,10),記z,Z2,％的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為1.

⑴求Z,S?；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯

著提高(如果[?2、忙，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)

-V10

品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)

【命題意圖】本題考查平均數(shù)與方差的計算及平均數(shù)與方差的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運

算的核心素養(yǎng).難度：較易.

【解析】(1)

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548.

x=--------------------------------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=-----------------------------------------------------=541.3,

10

彳=元一4=552.3—541.3=11,

馬=%—%的值分別為:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

(9一11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19—11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s2二------------------------------------------------------------------------------------

10

(2)由(1)知:N=11,2,=2扃=4^,故有N22舄,

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高.

【本題】明顯可以看出該題參考了2021年乙卷文17題，無論難度或命題模式都一樣,本題屬

于基礎(chǔ)題，主要考查考生的運算能力，運算失誤是失分的主要原因.概率與統(tǒng)計是高考重點，在

高考試卷中既有客觀題又有解答題，由于該模塊涉及知識點比較多,高考命題沒有固定的熱點，

一般情況下，排列組合、二項式定理、統(tǒng)計與概率、隨機變量的分布列、正態(tài)分布都有可能

涉及.

【知識鏈接】

1.方差計算公式

2—2

—X)+(%2X)+...+(Xn—X)2](元〃是樣本數(shù)據(jù)，〃是樣本容量,x是樣本平均數(shù)).

2.有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論

若數(shù)據(jù)Xl,X2,...^n的平均數(shù)為X，方差為S2.

則…,"X〃的平均數(shù)為QX,方差為01sl.

22

數(shù)據(jù)rwci+a,mx2+a,...,mxn+a的平均數(shù)為m％+a，方差為ms.

記S為等差數(shù)列｛??｝的前n項和，已知名

18.n=11,S10=40.

（1）求｛a.｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛|aj｝的前幾項和7“.

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度;

中等.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

a2=%+d=11

a}+d=11q=13

即《

由題意可得《10x9」口，解得《

S=10%+------d=402a1+9d=8d=—2

102

所以4=13—2(〃一l)=15—2〃，

(2)因為S="13+15—2%4…2,

2

令a”=15一2”〉0,解得〃<叫,且〃eN*,

當(dāng)九W7時，則a“〉0,可得<=聞+包卜---卜同=q+a2T----卜％=S”=14n—n2；

當(dāng)口之8時，則a”<0,可得￡=閻+,卜----=（%+%T卜％（4----------卜4）

(222；

=S7-(S?-S7)=2S7-S?=214x7-7)-(147?-?)=n-14n+98

14-n-n2,n<7

綜上所述：（=<

n2-14n+98,n>8

【點評】本題為常規(guī)題型，可以在很多資料上找到非常相似的題,易錯之處是求（忽略分類討

論.

【知識鏈接】方程思想求等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量

（1）等差數(shù)列中，已知5個元素。1,而力,J,%中的任意三個，便可求出其余兩個.除已知ai,d,n求

a〃,S“可以直接用公式外，其他情況一般都要列方程或方程組求解，因此這種問題蘊含著方程思

想.

（2）在等比數(shù)列五個基本量ai,q,n,an,Sn中，已知其中三個量，可以將已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性

質(zhì)或通項公式、前n項和公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程（組）來求得余下的兩個量，計算有時要

整體代換,根據(jù)前n項和公式列方程還要注意對q是否為1進(jìn)行討論.

19.如圖，在三棱錐尸一ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2^2,PB=PC=瓜

BP,AP,BC的中點分別為D,E,。，點尸在AC上，BFYAO.

R

A

(1)求證：石戶〃平面ADO；

(2)若NPOR=120。，求三棱錐P—ABC的體積.

【命題意圖】本題考查線面位置關(guān)系的證明及幾何體體積的計算，考查直觀想象及邏輯推理

的核心素養(yǎng).難度：中等.

【解析】(1)連接。E,。尸，設(shè)AF=/AC,則8/=R4+A/=(1—r)84+LBC,

AO=—BAH—BC,BFJ_AO,

2

1215

則BF-AO=+tBC]\-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC2=4。-1)+4f=0,

解得/=L則尸為AC的中點，由E。,尸分別為PB,PA,3cAe的中點，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF//AB,OF=LAB,即DE//OF,DE=OF,

-22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EFUDO,EF=DO,又EFU平面ADO,DOu平面ADO,

所以EFV/平面ADO.

(2)過P作PM垂直尸。的延長線交于點M,

因為PB=PC,0是BC中點,所以PO1BC,

在RtZ\PBO中，PB=V6,BO=—BC=A/2,

2

所以PO=NPB2—OB2=4^i=2,

因為ABLBC,OF//AB,

所以O(shè)F，5C,又POoOF=O,PO,OFu平面POF,

所以6cl平面POF,又9u平面POF,

所以BCLPM,又B。9=0,5C,月0u平面ABC,

所以PM，平面ABC,

即三棱錐尸—ABC的高為PM,

因為ZPOF=120°,所以ZPOM=60°,

所以PM=POsin60°=2x且=6，

2

又=-AB-BC=-x2x2y/2=242,

Z_A/lDt_22

所以Vp_A8C=g%ABC=1X2A/2X^=^J^-.

A

【點評】立體幾何解答題是高考全國卷必考題，難度中等,一般分2問，通常1問考查平行或垂

直的證明,1問考查求幾何體的表面積、體積或距離問題，對于線面位置關(guān)系的證明，步驟不規(guī)

范是失分的主要原因，對于求幾何體的表面積、體積或距離問題，運算錯誤是失分的主要原因.

【知識鏈接】

證明線面位置關(guān)系應(yīng)注意的問題

(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使

用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；

(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證

明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；

(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范.

20.己知函數(shù)/(x)=p+a]ln(l+x).

(1)當(dāng)a=—l時,求曲線y=/(x)在點。,/(耳)處的切線方程.

(2)若函數(shù)/(九)在(0,+8)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性.難度：較難.

【解析】⑴當(dāng)a=—l時，/(x)=K-l)n(x+l)(x〉-l),

ln(x+l)+f--11

則=X,

X7+T

據(jù)此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

所以函數(shù)在。，/⑴)處的切線方程為y—0=—ln2(x—1),即(ln2)x+y—ln2=0.

(2)尸(x)=Wln(x+l)+[:+a]xJ^(x〉_l),

\JiJ\JiJJiI1

滿足題意時r(%)n。在區(qū)間(。,+“)上恒成立.

令f—|In(%+1)+1—F〃]-----2。，則一(1+l)ln(x+1)+(x+tix?)N0,

1％J1%J+1

令g(%)=依2+%一(％+1)1n(%+1),原問題等價于g0在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

則g'(x)=2dx-ln(x+l),

當(dāng)〃<0時，由于2o?0,ln(x+l)>0,故g'(%)<0,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,

此時g(%)vg(0)=0,不合題意;

1

令h(x)=gf(x)=2ov-ln(x+l),則〃(力-2a-

x+1

當(dāng)2a?l時，由于貴<1,所以"(x)>0，Mx)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增，

即g'(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增，g(%)>g(O)=O,滿足題意.

當(dāng)0<a<—時，由/z'(x)=2a-------=0可得x=------1,

2x+12a

當(dāng)xe[o,5—l卜寸，〃(x)<0/(x)在區(qū)間1—1)上單調(diào)遞減即g'(x)單調(diào)遞減,

2a

注意到g'(0)=0,故當(dāng)時，g'(x)<g'(O)=O,g(x)單調(diào)遞減，

由于g(0)=0,故當(dāng)時，g(x)<g(O)=。，不合題意.

綜上可知：實數(shù)0得取值范圍是｛aI。2；1.

【點評】求曲線的切線方程及要導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性都是高考高頻考點.

【知識鏈接】

(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基

本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要

時要進(jìn)行換元.

（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

①函數(shù)在區(qū)間（。力）上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上/'（到20（或/'（%）W0）恒成立.

②函數(shù)在區(qū)間（。/）上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是/'（X）?0（或/'（x）WO）在該區(qū)間上存在

解集.

21.已知橢圓C：2T+==1（。〉。〉0）的離心率是正，點A（—2,0）在。上.

ab3

（1）求。的方程；

（2）過點（-2,3）的直線交C于尸,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：

線段的中點為定點.

【命題意圖】本題考查求橢圓的方程及直線過定點定值問題，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核

心素養(yǎng).難度：難.

b=2a—3

【解析】（1）由題意可得〈a2=b~+c2，解得,b=2,

c\[5c=A/5

e=—二—

a3

22

所以橢圓方程為2-+土=1.

94

（2）由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)P。：y=左（％+2）+3,2（%,乂）,。（X2，%），

y=左（x+2）+3

聯(lián)立方程必，消去丁得:2

,y2