2024年高中數(shù)學學業(yè)水平試題及答案

1.若集合”={一1，0，1},AT={-2,1,0},則McN=()

A.{-1.0}B.{0,1}C.{0}D.{-1.1}

2.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）

A.〃丫)=&'和8(》)=(五)2B.〃x)=l和g(x)=x°

x,x>0,D.f(x)=x+l和g(x)=*

{-X,X<LU

3.已知函數(shù)f（x）=則/（2）=（）

J（X-2）,XZU

A.3B.—3C.—1D.1

4.設(shè)命題p：a＞l,命題g,＜l,則命題P是命題（7成立的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

5.已知加-1)=9,則九0的解析式為(

A.J(x)=x3-2x—1B.2x+l

C.y(x)=jr+2x一1D.y(x)=jr+2x+l

6.已知4=1.2hb=0.9〉c=ni，貝！1()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

7-若兩個正實數(shù)7滿足f=3,且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.{??|-4<w<l}B.{間加＜0或加＞3}

C.{加帆＜-1或冽＞4}D.[m\-l<m<4^

8.在直角梯形。4BC中，AB//OC,BC±OC,AB=1,OC=BC=2,直線=f截這個梯形位于此直

線左方的圖形的面積（如圖中陰影部分）為S,則函數(shù)S=/（f）的圖像大致為（）

二多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知心b>0,c>dX）,則下列不等式中一定成立的是（）

A.B.a-c>b-dC.ac>bdD.-：>—

ac

10.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)并且值域為［0,+8）的有（）

A.y-yfxB.y=卜--C.y=H——2D.y—■—

11.若函數(shù)y=-』-2x+3的定義域為（｝o,值域為［3,4］,則整數(shù)r的值可能是（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

12.定義域和值域均為［-區(qū)司（常數(shù)a>0）的函數(shù)y=〃x）和y=g（x）圖象如圖所示，給出下列四個命題,

A.方程/［g（x）］=0有且僅有三個解B.方程g［/'（》）］=。有且僅有三個解

C.方程/［/（x）］=0有且僅有九個解D.方程g［g（x）］=。有且僅有一個解

第II卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.命題“Vxe氏f-or>9”的否定是.

14.已知集合4={0J2},則集合5={用=他。"}=.(用列舉法表示)

—x?_2nx_5,xM1f(xx

15.函數(shù)/(x)=。滿足對任意x產(chǎn)々都有41匕&>o,則a的取值范圍是.

—,X>1\-x2

16.寫出一個函數(shù)/(x)=,使其滿足/(x),/(2x-l)有相同的對稱軸.

四、解答松本題共6小題，共70分。解答應力出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在①=②是“xe8”的充分不必要條件；③NcB=0,這三個條件中任選一

個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.問題：

已知集合4={x|a-l<x<a+l},B=G-1<X<|

(1)當。=2時，求ZuB和ZcB；

(2)若,求實數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.(12分)已知命題p：VxeR,.v2+2nn:+3>0,命題q：BxeR,.xJ-2?IX+?M+2<0.

(1)若命題p為真命題，求實數(shù)N的取值范圍；

(2)若命題p、q至少有一個為真命題，求實數(shù)"，的取值范圍.

19.(12分)已知關(guān)于x的不等式/-3x+6>0的解集為口b<x<l}(其中方<1).

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)解不等式(x-D(ar-b)>-L

20.(12分)已知賽函數(shù)/(x)=(2〃/-5而+3卜優(yōu)的定義域為全體實數(shù)R.

⑴求〃x)的解析式；

⑵若/(x)>3x+k-l在卜1』上有解，求實數(shù)k的取值范圍.

21.(12分)秋風送爽，文旦飄香。文旦柚，中國三大名柚之一，每年9月下旬-11月中旬是文旦柚成熟采

摘的季節(jié)，滿山柚樹，碩果累累。某鄉(xiāng)鎮(zhèn)以“共富果園”為目標，促進農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，文

旦柚果樹的單株產(chǎn)量獷(單位：千克)與施用肥料x(單位：千克)滿足如下關(guān)系：

5x2+70,0<x<2

90、"，另肥料成本投入為10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)

110---------,2<X<6

x+3

為20x元.已知柚子的市場售價大約為12元/千克，且銷路暢通供不應求，記該果樹的單株利潤為/(x)(單

位：元).

⑴寫出八切關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當施用肥料為多少千克時，該果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？

22.(12分)已知：/(x)="上紇+c是定義在［-2,2］上的函數(shù)，若滿足f(x)+f(-x)=0且/⑴=-.

4+x5

(1)求f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(X)在［—2,2］上的單調(diào)性(不用證明)，并求使/(21+1)+/?2—1)<。成立的實數(shù)1的取值范

圍；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=42-27nx+4(meR),若對任意八Me口,2］,都有9(用)</(x。恒成立，求用的取值范

圍.

一、選擇題

123456789101112

BCCADADBACDBCABAD

部分解析:

6.A

【分析】將。、從c化為，的形式，利用函數(shù)/(x)=x?的單調(diào)性即可進行大小比較

￡￡巳

【詳解】由題意，。=遂=弓丫，6=0./=糕J，c=g=償j，

因為函數(shù)/(X)=X：在(0，+8)上單調(diào)遞增，且

所以1爐>0,9^>Ri,即a>b>c.

故選A.

7.D

【分析】先由工+竺=：(x+l+y)(工+竺]結(jié)合基本不等式求出白+竺的最小值，進而得

x+1y4(x+1yJx+1y

/_3m+5<9,再解一元二次不等式即可.

【詳解】由題意知，

416I,1/4⑹1「44v16(x+l)J4y16(x+l)八

---+—=-(x+l+y+—=-4+—^—+-------+16>-20+2J—=----------=9,

x+ly4"(x+1y)4|_x+1yJ4丫工+ly

當且僅當々=16"+U,即時取等，又不等式+5恒成立，則不等式

x+1y33x+ly

m2-3w+5<9，

即(m-4)(m+l)<0,解得一lvm<4.

故選：D.

8.B

【分析】根據(jù)直線/的運動位置分析面積的表達式，進而得到分段函數(shù)：/?)=[:',:然后根據(jù)

1—1,lvr?2

不同段上的函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知：當0q41時，/W=l-r-2r=?,

當1<Y2時，/(r)=lx2x1+(z-l)-2=2r-l；

所b,以,皿、1j產(chǎn)，―0<r<l?

結(jié)合不同段上的函數(shù)的性質(zhì)，可知選項B符合.

故選：B.

10.BC

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及函數(shù)的值域逐項分析即得.

【詳解】對于A,函數(shù)y=/的定義域為［0,+8)不關(guān)于原點對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B,y=/■(x)=卜2-2］的定義域為R,/(-X)=|(-X)2-2|=|.V-2|=/(X),

所以函數(shù)為偶函數(shù)，且值域為［0,+8),故B正確；

對于C,丁=〃丫)=》2+&-2定義域為(一8,0)川0.+?),/(-X)=x2+p--2=/(x),所以函數(shù)為偶函數(shù),

又y=/(x)=x?+搭—2N2/"？2=0,當且僅當f=即丫=±1時取等號，

故函數(shù)的值域為［0,+8),故C正確；

對于D,y=〃x)=5定義域為(-s,0)U(0*?)，/(-x)=^-=/(x),

所以函數(shù)為偶函數(shù)，值域為(0,+a),故D錯誤.

故選：BC.

11.AB

【分析】作出二次函數(shù)的部分圖象，由圖象和題中條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】作出函數(shù))，=-/-2x+3的圖象，當尸-1時，y=4,

當X=0時，>=3,當x=-2時，…，

因為函數(shù)1=-W-2x+3的定義域為&.0,值域為［3,4］,

所以數(shù)形結(jié)合分析得解得_4±<-2,

結(jié)合》是整數(shù)知f=T或-3,所以A、B正確.

12.AD

【分析】通過利用r=f(x)或r=g(x),結(jié)合函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象，分析每個選項中外層函數(shù)的

零點，再分析外層零點對應的直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：對于A中，設(shè)t=g(x),則由/[g(x)]=O,即%)=0,

由圖象知方程/。)=0有三個不同的解，設(shè)其解為咽t2,t3,

由于y=g(x)是減函數(shù)，則直線j=r(0<r<a)與函數(shù)y=g(x)只有1個交點，

所以方程〃=g(x),，2=g(x)，t3=g(x)分別有且僅有一個解，

所以>'[g(x)]=。有三個解，故A正確；

對于B中，設(shè)"/'(X),則由g[〃x)]=0,即g(t)=0,

由圖象可得g(D=0有且僅有一個解，設(shè)其解為b，可知0<b<a,

則直線V=b與函數(shù)y=f(x)只有2個交點，

所以方程/(x)=b只有兩個解，所以方程g[f(x)]=0有兩個解，故B錯誤；

對于C中，設(shè)r=/(x),若=即%)=0,

方程/⑴=0有三個不同的解，設(shè)其解為哈小設(shè)^<『2<與，

貝I」由函數(shù)y=/(x)圖象，可知一。<4<?2<0,打=。，

由圖可知，直線yf和直線y=?2分別與函數(shù)y=〃x)有3個交點,

直線丁=與=。與函數(shù)丁=/("只有1個交點，

所以f(x)=G或/(X)=r2或共有7個解，

所以f[f(x)]=O共有七個解，故C錯誤；

對于D中，設(shè)”g(x),若g[g(x)]=O,即g(D=O,

由圖象可得g(t)=O有且僅有一個解，設(shè)其解為b，可知0<b<a,

因為J=g(x)是減函數(shù)，則直線7=6與函數(shù)y=g(x)只有1個交點，

所以方程g(x)=b只有1解，所以方程g[g(x)]=O只有一個解，故D正確.

故選：AD.

二、填空題

13.Bx0&R,x^-ax0<914.{0,4,8}15.-2<a<-l16./(x)=|xT|(答案不唯一)

部分解析：

15.【分析】由題意知函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增需每段遞增且在分界處函數(shù)值滿足的關(guān)系列

不等式組求解.

【詳解】由〃玉)一〃七)>0可知函數(shù)司x)在R上單調(diào)遞增,

石一X2

-a>l

所以，a<0,解得-24a4-l,

-2a—6<a

故答案為：-2<a<-l

16.解法-：設(shè)/(x)=|x-a|,則/(x)的對稱軸為x=a,從而/(2工-1)=|2x-l-,對稱軸為x=三工，

所以a=，，解得a=l,函數(shù)可以是/(x)=|x—l|

解法：：設(shè)/(2工一1)的對稱軸為x=。，則/(2工-1)=/(2(2。一x)-l),

從而f(2x-l)=f(4a-l-2x),所以/(x)有對稱軸x=2。一1.

又已知/(x)有相同對稱軸x=。，所以解得a=L

寫出一個對稱軸為1的函數(shù)即可.

三、解答題

17.(l)JuB=(x|-l<x<3},

(2)若選①，答案為[。曰；若選②，答案為]。號，若選③，答案為(-8-2]u

【詳解】

(1)當a=2時，J={x|l<x<3},1分

故4uB=k|-14x<3},..............................................................3分

^nB=1.rl<x<|l；.................................................................5分

（2）若選①，AKJB=B,則4仁8,....

因為a-1<。+1恒成立，故4W0,

n—1N—1

要想NUB,則要！，3，...........

a+l<-

2

解得OWaWg,故實數(shù)。的取值范圍是0.；

若選②，“xeA”是“xeB”的充分不必要條件,

則A是B的真子集，..................

因為a—1va+1恒成立，故2K0,

1

裔

故

3解OW4W

2-

2-

故實數(shù)。的取值范圍是

若選③，4cB=0,

因為a—lva+l恒成立，故ZH0，................................................6分

□

故a+l<-l或a-l>—,.........................................................8分

2

解得。4-2或a*，故實數(shù)。的取值范圍是STU:............................10分

18.（1）（2）m<y/3!&m>2.

【詳解】(1)若命題pVxeR,x2+2m+3>0為真命題，

則A=(2M2-12<0,.................................................................3分

解得—73<m<y/3...................................................................5分

2

(2)若命題q：BxeR:x-2mx+m+2<0

則A=4m2-40n+2)>0,..............................................................6分

解得或m>2....................................................................8分

所以，若命題p、q至少有一個為真命題,

則-有<m<6，或由<-1，或加>2,10分

；.m（布或m>2...................................................................12分

【詳解】(1)由題意可知，方程?2_3x+6=0的兩根分別為玉=1,J=b,1

分

1+&=-,

所以,1x6=—,,3分

。v0,

解得6分

(2)由-3、+2)>-1,得3/-5x+l<0,......................................8分

解得..................................................................11分

66

因此，原不等式的解集為..........................................12分

20.(1)/(X)=X2；(2)(-8,5)

【詳解】(1).."(力是幕函數(shù)，，2毋-5m+3=l，???"?=：或2............................2分

當m時，y(x)=xL此時不滿足/'(x)的定義域為全體實數(shù)R,..........................3分

=/(x)=.r2.....................................................................5分

(2)/'(x)>3x+無-1即f_3x+l-k>0,要使此不等式在［-U］上有解，

令g(x)=x?-3x+l-無，只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+l-無在卜訓上的最大值大于0.................6分

□

*/g(x)=X2_3工+1-無圖象的對稱軸為x=；,故g(x)在［-覃］上單調(diào)遞減，......................8分

g(x)max=g(T)=5T........................................................10分

由5-左>0,得k<5

???實數(shù)k的取值范圍是(一8,5).12分

60x2-30x+840,0<x<2

2"小"舞—

(2)3千克，1050元

【詳解】⑴解:由已知f(x)=12%(x)-10x-20x=12%(x)-30x..........................................1分

12x(5/+70)-30x,0<x<2

90

12x(110-)-30x,2<x<6

x+3

I60x2-30x+840,0<x<2

=j1320-1080-30x,2<x<6'

[x+3

60x2-30x+840,04x42

即八x)=132。-12^--30X,2<X<6...................................................................................'分

x+3

(2)解：由(1)得當04x42時，=60x2-30x+840=60(x--)2+836.25,

因為

240--

4

當x=2時，=f(2)=1020,..........................................................................................................7分

當2<x46時，f(x)=1320-1080-30x

x+3

36

=1320-30+(t+3)+90

_.V+3

36

=1410-30+(x+3)-8分

_X+3

I36

<1410-30x2.-(X+3)=105010分

x+3

當且僅當上*=x+3時，即x=3時等號成立，...............................................11分

丫44

因為1020<1050,所以當x=3時，/(x)1ntt=1050

當施用肥料為3千克時，種植該果樹獲得的最大利潤是1050元...............................12分

22.【解答過程】(Dxe[-2,2],且f(x)+f(-x)=0,所以f(x)為奇函數(shù)，

將x=0代入f(x)+/(-x)=0可得f(0)=0,即：=0,所以c=0..........................................................1分

即/(')=￡,因為f⑴J所以/(一1)=一\

'a+b_1

代入可得“解得心二：............................................................3分

Js~=~s

故f（x）=曰;

f(x)=忌，/(勸=爵=一/。)，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，故人勸=總......................4分

(2)設(shè)一2</<%2=2,則/(0-〃D=赤-蒜代:鼠禽，

----2<Xi<x2<2,x2-xt>0,4-xxx2>0,-?■f(