人教A數(shù)學(xué)必修二教案2.3.1 直線與平面垂直的判定

2.3.1直線與平面垂直的判定

【教學(xué)目標(biāo)】

1.借助對(duì)實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

2.通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運(yùn)用判定定理證明一些空間位

置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題；

3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時(shí)感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為

平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

【教學(xué)過程】

1.從實(shí)際背景中感知直線與平面垂直的形象

問題1：空間一條直線和一個(gè)平面有哪幾種位置關(guān)系？

問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請(qǐng)舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖：此問基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過對(duì)生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中

一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義.

2.提煉直線與平面垂直的定義

問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

設(shè)計(jì)意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實(shí)質(zhì)上

是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，讓學(xué)生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發(fā)：用“平面化”的

思想來思考問題，即能否用一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的直線，來定義這條直線與這個(gè)平面垂直？

問題4：結(jié)合對(duì)下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義.

(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動(dòng),影子BC的位置也會(huì)移動(dòng),而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會(huì)發(fā)生改變？

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線B￡的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么

設(shè)計(jì)意圖：主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察.直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來分析、歸納直線

與平面垂直這一概念.

(學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號(hào)這三種語言的相互轉(zhuǎn)化)

思考：(1)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？

2

（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線是否垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線？（對(duì)

問（1）,在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對(duì)問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號(hào)語言表述:

若/J_a.aua,貝i]/_La）

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念.通過對(duì)問題（2）的辨析討

論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法.

通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察

平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因?yàn)槲覀儫o法去一一檢驗(yàn).這就有

必要去尋找比定義法更簡(jiǎn)捷、可行的直線與平面垂直的判定方法.

3.探究直線與平面垂直的判定定理

創(chuàng)設(shè)情境猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點(diǎn)掛兩條長(zhǎng)10米

的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上）.如果這兩點(diǎn)都和旗

桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及己有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，猜想判定定理.

學(xué)生活動(dòng)：（折紙?jiān)囼?yàn)）請(qǐng)同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過三一角形的頂點(diǎn)A

翻折紙片，得到折痕AD（如圖1）,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（組織學(xué)生動(dòng)手操作、探究、確認(rèn)）

設(shè)計(jì)意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，且B、D、C不在同一直線上的

翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2）,其它位置都不能使AD與桌面

垂直.

問題6：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么

呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線乙把BD、CD抽象為直線機(jī)小，把桌面抽象為

平面&（如圖3）,那么你認(rèn)為保證直線，與平面&垂直的條件是什么？

3

（圖3）（圖4）

對(duì)于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）

轉(zhuǎn)動(dòng)，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi).問：直線AD現(xiàn)在.還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)

生認(rèn)識(shí)到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）

設(shè)計(jì)意圖：通過操作讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定

定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線.

問題7：如果將圖3中的兩條相交直線加、力的，位置改變一下，仍保證

ILm.l（如圖4）你認(rèn)為直線/還垂直于平面&嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩

條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的.

根據(jù)試驗(yàn)，請(qǐng)你給出直線與平面垂直的判定方法.

（學(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號(hào)這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比，你覺得這個(gè)判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里？

（2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會(huì)“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋

找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會(huì)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的

數(shù)學(xué)思想.

思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿

腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請(qǐng)你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)到手的知識(shí)解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，同時(shí)通過提出“為什

么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？”（對(duì)該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗(yàn)證），從

而來深化對(duì)直線與平面垂直判定定理的理解.

4.直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用

如圖5,在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線.并說明這些直線有怎樣的位

置關(guān)系？

4

思考：如圖6,已知a//b,a_La,則b_La嗎？請(qǐng)說明理由.（分別用直線與平面垂直的判定定

理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語言敘述：如，果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,

那么另一.條直線也垂直于這個(gè)平面）

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題給出了判斷直線和平面垂直的一個(gè)常用的命題，這個(gè)命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂

直關(guān)系之間的聯(lián)系.

練習(xí)：如圖7,在三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn).

（圖7）（圖8）

求證：AC_L平面VKB

思考：

（1）在三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,求證：VB±AC；

⑵在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；

⑶在⑵的條件下，有人說“VBLAC,VB1EF,，VB_L平面ABC”，對(duì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：例2重在對(duì)直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用.變式（1）在例2的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了直線與

平面垂直的意義；變式（2）是對(duì)例1判定方法的應(yīng)用；變式（3）的判斷在于進(jìn)一步鞏固直線與平面垂直

的判定定理.3個(gè)小題環(huán)環(huán)相扣，匯集了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出了知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系和融會(huì)貫通.

5.總結(jié)反思，當(dāng)堂檢測(cè)

（1）本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述.

（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.課本探究：如圖2.3-7,直四棱柱ABCD-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，

底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，A.CIB.D,.

2.如圖9,PAL平面ABC,BC1AC,寫出圖中所有的直角三角形.

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【板書設(shè)計(jì)】

一、直線與平面垂直的定義

二、直線與平面垂直的判定定理

三、例題

例1

變式1

【作業(yè)布置】課本乙7練習(xí)2

2.3.1直線與平面垂直的判定導(dǎo)學(xué)案

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：

借助對(duì)實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：?jiǎn)栴}1：空間一條直線和一個(gè)平面有哪幾種位置關(guān)系？

問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請(qǐng)舉例說明.

問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

問題4：結(jié)合對(duì)下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義.

(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動(dòng),影子BC的位置也會(huì)移動(dòng),而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會(huì)發(fā)生改變？

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線BC的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么

直線與直線垂直是的定義___________________________________________________________________

思考：(1)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直?

(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線是否垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線？

(3)如何判定一條直線直線和平面.垂直呢？

三.提出疑惑

同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑惑，請(qǐng)?zhí)钤谙旅娴谋砀裰?/p>

疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

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課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）探究出直線與平面垂直的判定定理

（2）利用定理解決實(shí)際問題

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

二、學(xué)習(xí)過程

1、探究判定定理

學(xué)生活動(dòng)：（折紙?jiān)囼?yàn)）請(qǐng)同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)A翻

折紙片，得到折痕AD（如圖1）,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

（圖1）（圖2）

問題1：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

問題2：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？

（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，，把BD、CD抽象為直線掰力，把桌面抽象為平面

a（如圖3）,那么你認(rèn)為保證直線,與平面。垂直的條件是什么？

思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳

不在同一直線上？

如果安裝完了，請(qǐng)你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

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問題3：如果將圖3中的兩條相交直線掰、外的位置改變一下，仍保證/-Lw.Zlw,（如圖4）你

認(rèn)為直線,還垂直于平面&嗎？

直線與平面垂直的判定定理（文字，圖形和符號(hào)三種形式）

問題4：（1）與直線與平面垂直的定義相比，你覺得這個(gè)判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里？

（2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么？

2、直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用

如圖5,在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線.并說明這些直線有怎.樣的位

置關(guān)系？

（圖5）（圖6）

思考：如圖6,已知?jiǎng)tb_La嗎？請(qǐng)說明理由.

練習(xí)：如圖7,在三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中點(diǎn).

（圖7）（圖8）

求證：AC_L平面VKB

思考：

⑴在三棱錐V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求證：VB±AC；

（2）在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；

（3）在⑵的條件下，有人說“VB_LAC,VB±EF,，VB_L平面ABC”，對(duì)嗎？

3、當(dāng)堂檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.課本及6探究：如圖2.3-7,直四棱柱ABCD-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中,

底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，A,C±B,D,.

2.如圖9,PAL平面ABC,BC±AC,寫出圖中所有的直角三角形.

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3.課本”7練習(xí)2

課后練習(xí)與提高

1.下列關(guān)于直線1,m與平面a,尸的命題中，真命題是()

(A)若/u/且aJ_4，貝H_La(8)若/且a〃4，貝U/_La

(C)若/_L尸且aJ?尸，則〃/a(D)a4=機(jī)且〃/加，則〃/a

2.已知直線a、b和平面M、N,且a_LM