2023年數(shù)學(xué)高考真題II卷及解析

新高考二卷參考答案

1.(2023?新高考II卷?1?★)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對應(yīng)的點位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

答案：A

解析：(l+3i)(3—i)=3-i+9i-3/=6+8i,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一象限.

2.(2023?新高考H卷★)設(shè)集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2],若則。=()

2

(A)2(B)1(C)-(D)-1

3

答案：B

解析：觀察發(fā)現(xiàn)集合A中行元素()，故只需考慮B中的哪個元素是0.

因為OeA,AcB,所以O(shè)wB,故。一2=0或2a-2=0,解得：。=2或1,

注意0eB不能保證AcB,故還需代回集合檢驗，

若°=2,則4={0,-2},B={1,0,2),不滿足4=8,不合題意；

若”=1,則A={0,-1},3={1,-1,0},滿足A=故選B.

3.(2023?新高考H卷?3某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣

結(jié)果共有()

(A)C藍(lán)C2種(B)C2V案種(C)C：〉C*種(D)C2.C案種

答案：D

解析：應(yīng)先找到兩層中各抽多少人，因為是比例分配的分層抽取，故各層的抽取率都等于總體的抽取率，

設(shè)初中部抽取x人，則一匚=——----解得：x=40,所以初中部抽40人，高中部抽20人，

400400+200

故不同的抽樣結(jié)果共有C禽C禽種.

4.(2023?新高考H卷★★)若/(0=(*+a)111|13為偶函數(shù)，則。=()

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

答案：B

解法1:局以數(shù)可抓。，匚義/(v)/(Q來建立療行求務(wù),

-o**_ioY_1

因為/(%)為偶函數(shù)，所以/(-x)=/(x)，即(一%+a)ln---------=(x+6f)ln--------①,

-2x4-12x4-1

—2,x—12x+12x—1?[2x—1/ij\z、/[2x—112.x—1

而In---------=In--------=ln(--------)=-ln--------，代入①得：(-x+a)(-In--------)=(x+a)In--------

-2x+12x—12x+12x+12x+12x+1

化簡得：x-a=x+a,所以a=0.

解法2：也可在定義域內(nèi)H個特值快速求;I[答案.

>0(2x+l)(2x—1)>0,所以尤<—或x>—,

2x+1-----------------------------------------------------22

因為/(x)為偶函數(shù)，所以=/,⑴，故(_l+a)ln3=(l+a)lng①，

而lng=ln3T=-ln3,代入①得：(-l+a)ln3=-(l+a)ln3,解得：a=0.

2

5.(2023?新高考H卷?5?***)已知橢圓C：q+V=l的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,直線y=x+,w與C交于

A,B兩點，若幽AB的面積是MAB面積的2倍，則m=()

(A)-(B)—(C)(D)--

3333

答案：C

解析：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形行公共的底邊A8,故只需分析高的關(guān)系.

s'|AB|.|^G|

作KG1A8于點G,E/LAB于點/,設(shè)48與x軸交于點K,由題意，上也=_^---------=2,

所以巨g=2,由圖可知"JKGsAEK/,所以g3=段=2,故|"K|=2%K|,

取I\F2K\\F2I\

又橢圓的半焦距C=x/T斤=0,所以內(nèi)用=2c=20,從而后K|=g忻圖=言，

故|。叫=|。用-忻K|=[■,所以K(1,0),代入〉=%+〃?可得。二夸^+加，解得：m--

6.(2023?新高考H卷?6?***)已知函數(shù)f(x)=ae'—Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則”的最小值為()

(A)e2(B)e(C)e'1(D)e-2

答案：C

解析：/(x)的解析式較復(fù)雜，不易直接分析單調(diào)性，故求導(dǎo)，

由題意，f\x)=ae因為f(x)在(1,2)上/,所以/'(X)20在(1,2)上恒成立，B|Jaex-->0①，

XX

觀―.不等式①等價于此一L,令g(x)=xe*0<x<2),

xex

則g'(x)=(x+l)e”>0,所以g(x)在(1,2)上“，又g6=e,g(2)=2e2,所以g(x)w(e》?)，

故一--=^—G，因為在(L2)上恒成立，所以。之」=?一、故。的最小值為.

g(x)xe2eexee

7.(2023?新高考H卷?7?**)已知。為銳角，cosa=上好，則sin&=()

42

(A)(B)(C)(D):

8844

答案：D

缶力/二，1c.2a1+V5.2a3—6

用牛祈：cosa=l-2sin—=-----=>sin—=------,

2428

此式要開根號，不妨上下同乘以2,將分母化為4、

所以疝20=空矩=空戈，故sin0=土叵1,

又a為銳角，所以@€(0,2),故sinq=3二L

2424

8.(2023?新高考II卷?8?★★★)記5.為等比數(shù)歹U｛a“｝的前〃項和，若邑=一5,S-則&=()

(A)120(B)85(C)-85(D)-120

答案：C

解法1：觀察發(fā)現(xiàn)曷，，，S-S"的下標(biāo)都是2的整數(shù)倍,故可考慮片段和性質(zhì)，先考慮,/是否為-I，

若｛4“｝的公比q=-1,則$4=細(xì)￡尹=0,與題意不符，所以夕片-1,

故其，S4-S2,S6-S4,$8-$6成等比數(shù)列①，條件中有S,=2LS\,不妨由此設(shè)個未知數(shù),

設(shè)$2="，則$6=2而，所以S2=-5-m,S6-S4=2\m+5,由①可得(S,一邑>=$2($6-S2)，

所以(-5-附2=機(jī)(21，*+5),解得：機(jī)=—1或』，

4

若徵=一1,則$2=-1,54-52=-4,S6-S4=-16,所以縱-56=-64,故=$6-64=21〃?-64=-85；

到此結(jié)合選項已可確定選C,另一種情況我也算一下，

若m=3,則$2=3>0,而$4=4+々+%+。4=4+4+qq2+電決=(q+W)(l+q2)=S2(l+q2)，

44

所以S&與$2同號，故邑>0,與題意不符；

綜上所述，機(jī)只能取-1,此時$8=-85.

解法2：已知和要求的都只涉及前〃項和，故也可直接代公式翻譯，先看公比是否為1,

若｛4｝的公比q=l,則S。=6“*21S,=42q,不合題意，所以故S&="?_")=-5①，

i-q

又§6=215,,所以也二色=21?幽山，化簡得：1-^=21(1-^2)②，

\—q\-q

2

又l-4=l_(q2)3=(i_q2)a+q2+4),代入②可得:++q^=2i(l-q)③，

兩端有公因式可約，但需分析1-屋是否可能為0，已經(jīng)有了，只需再看g是否可能等于-1,

若q=-l,則S4="fLo,與題意不符，所以qx-1,故式③可化為l+q、/=21,

整理得：d+d-20=0,所以d=4或一5(舍去)，故要求的0=4一-/)=4口一(?門=—255?&④，

1-(7l-q\-q

只差'L了，該結(jié)構(gòu)式①中也有，可由相=4整體計算它，

i-q

將d=4代入①可得4(1-下)=_5,所以2=1,代入④得S8=-255X』=—85.

\-q\-q383

9.(2023?新高考U卷?9?★★★)(多選)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，45為底面直徑，ZAPB=\20°,

P4=2,點C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45°,貝！I()

(A)該圓錐的體積為乃

(B)該圓錐的側(cè)面積為46左

(C)AC=2叵

(D)A/XC的面積為6

答案：AC

解析：A項，因為24=2,ZAPS=120°,所以NAPO=60。，OP=APcosZAPO=l,

OA—AP-sinZ.APO=V5,從而圓錐的體積V=，S〃='x/rx(6)2x1=%,故A項正確；

33

B項，圓錐的側(cè)面積S=%〃=乃XJ5X2=2GT,故B項錯誤；

C項，驍求AC的長,條件中的：面角尸-AC-O還沒用，觀察發(fā)現(xiàn)AE4C和AOAC都是等腰三角形,故取底邊中

點即可構(gòu)造棱的垂線，作出二面角的平面角，

取AC中點Q,連接PQ,OQ,因為OA=OC,PA=PC,所以ACLO。，AC1PQ,

故/PQO即為二面角P—AC—O的平面角，由題意，NPQO=45°,所以O(shè)Q=OP=I,

故AQ=J-OQ?=\[2,所以AC=2A。=2近，故C項正確；

D項，PQ=^OP2+OQ2=V2,所以SMAc=gACPQ=；x2/x啦=2,故D項錯誤.

10.(2023?新高考H卷?]()?★★★)(多選)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線y=-K(x-l)過拋物線。：丫2=20、(°>0)的

焦點，且與C交于M,N兩點，/為C的準(zhǔn)線，則()

(A)p=2(B)|MN|=g(C)以MN為直徑的圓與/相切(D)△QWV為等腰三角形

答案：AC

解析：A項，在y=-G(x-l)中令y=0可得x=l,由題意，拋物線的焦點為尸(1,0),所以勺1,

從而p=2,故A項正確；

B項，此處可以由直線AW的斜率求得N/WFO,百代角版住點以公式|MN|=念求|MN|,但觀察發(fā)現(xiàn)后續(xù)選項

可能需要用M，N的坐標(biāo)，所以直接聯(lián)立直線與拋物線，用坐標(biāo)版焦點弦公式來算,

2

設(shè)MU,,y),N(x2,y2),將y=-6(x7)代入y?=4x消去)'整理得：3x-10x+3=0,解得：x=；或3,

對應(yīng)的y分別為孚和-2g,所以圖中M(3,-2揚(yáng)，N(g,半)，從而|MN|=玉+々+p=g+3+2若,

故B項錯誤；

C項，判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需將圓心到直線的距離”和半徑比較，

"殳=gnMN的中點°到準(zhǔn)線l.x=-\的距離W|MN|,

從而以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，故C項正確；

D項,M,N的坐標(biāo)都仃了，算出|0M|,|。叫即可判斷,

國3+(-2揚(yáng)2=后,|ON|=J(J2+(W)2=1,

所以|0M|,|0N|,|MN|均不相等，故D項錯誤.

11.(2023?新高考H卷?★★★)(多選)若函數(shù)/(x)=alnx+^+=(”0)既有極大值也有極小值，則()

Xx~

(A)be>0(B)ab>0(C)b2+Sac>0(D)ac<0

答案：BCD

我力4日右*。b2cax2-bx-2c.八、

斛析：由寇，昂，f(x)=--------------=----------------(x>0),

xx~XX

函數(shù)〃幻既有極大值，又有極小值，所以尸。)在(0,+00)上有2個變號零點，

故方程加-云-2c=0在(0,+co)上有兩個不相等實根，

A=(一32-4a(-2c)>0?(保iiF有兩限)

所以中2=②""/同；)，由①可得從+8ac>0,故C項正確；

a

xl+x2=->0③(保計心根只隹同正)

a

由②可得￡<0,所以〃，c異號,從而ay0,故D項正確；

a

由③可得a,b同號，所以aZ?>0,故B項正確；

因為〃，c異號，a,b同號，所以b,c異號,從而bevO,故A項錯誤.

12.(2023?新高考II卷?時?★★★★)(多選)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到

1的概率為收到0的概率為1-a；發(fā)送1時，收到0的概率為/收到1的概率為1-夕.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.

收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多

的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).()

(A)采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(1-尸尸

(B)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為伙1-6f

(C)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1-力f+(l-￡)3

(D)當(dāng)0<&<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

答案：ABD

解析：A項，由題意，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送1收到1的概率為1-￡,發(fā)送0收到0的概率為1-a,

所以依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-￡)(1-&)(1-6)=(1-&)(1-/7)2,故A項正確；

B項，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則需獨立重復(fù)發(fā)送3次1,依次收到1,0,1的概率為(1-尸)夕(1-尸)=夕(1-4)2,

故B項正確；

C項，采用三次傳輸方案，由B項的分析過程可知若發(fā)送1,則收到1的個數(shù)X~8(3.1-￡),

而譯碼為1需收2個1,或3個1,

所以譯碼為I的概率為尸(X=2)+尸(X=3)=C；(l-〃y夕+《(1-/)3=3(1-夕)2月+(1-夕)3,故C項錯誤；

D項，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送0譯碼為0的概率為1-1；

若采用三次傳輸方案，則發(fā)送0等同于發(fā)3個0,收到0的個數(shù)丫~3(3,1-a),

且譯碼為0的概率為P(Y=2)+P(K=3)=C；(l—a)2a+C；(l-a)3=3(1-a)%+(1—a)3,

要比較上述兩個概率的大小，可作差來看，

3(1-a)2a+(1-a)3-(1-a)=(1-a)[3(l-a)a+(1-a)2-1]=(1-a)(l-2a)a,

因為0<av0.5,所以3(1-a>a+(1-a)3-(l-a)-(l-a)(l-2a)a>0,

從而3(1-a)2cz+(l-a)3>l-a,故D項正確.

13.(2023?新高考H卷?13?★★)已知向量J滿足|a-b|=6,|a+”=|2a-.,則例=.

答案：V3

解析：條件涉及兩個模的等式，想到把它們平方來看，

由題意，|a—=a~+b2—2.a-b=3①，

y.\a+b\=\2a-b\,所以,+葉=|2a-b「，^a2+b2+2ab=4a2+b2-4ab,整理得：a2-2ab=0,

代入①可得從=3,即時=3,所以網(wǎng)=G.

14.(2023?新高考H卷?14?★★)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

答案:28

解析：如圖，四棱錐P-A4CA與相似，它們的體積之比等于邊長之比的立方，故只需求四棱錐

的體積，

妥4=六23=5=",所以也，6=咯”，故所求四棱臺的體積V=7%s，

由題意，匕-AB1G4=gx22x3=4,所以V=7x4=28.

【反思】相似圖形的面積之比等于邊長之比的平方，體積之比等于邊長之比的立方.

15.(2023?新高考II卷?15?★★★)已知直線x-加)，+1=0與。(7:(n-1)2+>2=4交于4,8兩點，寫出滿足“

的面積為號”的卅的一個值.

5

答案：2(答案不唯一，也可填_2或，或-白)

22

解析：如圖，設(shè)圓心C(1,O)到直線A3的距離為或d>0),則%8c=g|AB|M,

注意到|A叫也可用d表示，故先由心..=^求乩再將d用〃，表示，建立關(guān)于，〃的方程,

又|人同=2,產(chǎn)-儲=2,4-42,所以SMBC=gx-d=44-f)笛,

由題意，所以J(4—/=,,結(jié)合”>0解得:

又所以下￡^=之或亍1=^=4,解得：%=或或土L

Y1+m2V1+/W2+/，5，1+Mv52

16.(2023?新高考H卷?16?★★★★)已知函數(shù)/(x)=sin3x+。)，如圖，A,B是直線y=；與曲線y=/(x)的

兩個交點，若|朋=7，則/(?)=.

答案:當(dāng)

解法1：|4B|=C這個條件怎么翻譯？可用y求/VB橫坐標(biāo)的通解,得到|AB|,從而建立方程求。，

1JT\冗

不妨設(shè)ty>(),令sin(Gx+9)=—司得3X+°=2匕r+—或2Z;TH---,其中ZEZ,

266

rr54.2元2%

由圖知口4+0=2%〃+—，+(p=2k/r+——，兩式作差得：co{xB-xA)=——，故與一乙二——，

6633a)

XlABl=xB-%,所以包二巳，解得：0=4,則f(x)=sin(4x+0),

63G6

再求研,由圖知g是零點，可代入解析式，注意，,是增區(qū)間上的零點，且丫=疝11》的增區(qū)間上的零點是2〃萬,

故應(yīng)按它來求9的通解，

O_Q_O_O_

所以可+e=2"；r(〃wZ),從而0=2〃乃一彳，故f(x)=sin(4x+Inn--)=sin(4x-—),

所以f(7r)=sin(4^--=sin(—^-)=-sin=~~?

解法2:,一攵變圖象在水平方向上的線段長度，但不改變長度比例，則可先分析Y=sin.Jj\，」

'2

交點的情況，再按比例對應(yīng)到本題的圖中來，

如圖1,直線y=，與函數(shù)丫=$也犬在)，軸右側(cè)的三個/,J,K的橫坐標(biāo)分別為工，—,—,

2666

所以⑼一臺小網(wǎng)=譽(yù)-葛=?,\IJ\:\JK\=1:2,故在圖2中|明:忸C|=l:2,

因為|陰=看，所以忸。=?故|AC|=|陰+陽.，又由圖2可知|AC|=7,所以7后,

24

故0==4,接下來同解法1.

T

【反思】①對于函數(shù)y=sin(④T+⑼3>0),若只能用零點來求解析式，則需盡量確定零點是在增區(qū)間還是減區(qū)間.

“上升零點”用0x+S=2〃乃來求，''下降零點”用公r+s=2wr+%來求；②對圖象進(jìn)行橫向伸縮時，水平方向的

線段長度比例關(guān)系不變，當(dāng)涉及水平線與圖象交點的距離時，我們常抓住這一特征來求周期.

17.(2023?新高考H卷?17?★★★)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A4BC的面積為G，

。為BC的中點，且4)=1.

(1)若ZADC=—.求tan3；

3

(2)若。2+。2=8,求6,c.

解：(1)如圖，因為NAOC=工，所以NAQ8=玄，

33

(要求tanB,可到MBD中來分析，所給面積怎么用？可以用它求出叉的,,從而得到BD)

因為。是BC中點，所以與蟲=25兇.，又心.=6,所以5.9=日，

由圖可知SMBC=1A￡>-3Z)?sinZAO3=1xlx8D><sin^=@8D,所以且且，故5￡)=2,

MBD223442

(此時A的己知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第三邊A8,再用正弦定理求角8)

在中，由余弦定理，AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB=l2+22-2xlx2x(-^)=7,所以AB=77,

.73

由正弦定理，一^―=—,所以sin3=A〃sinNA￡>8=；J_=岑,

sinZADBsinBAB>/72V7

由NA￡>8=生可知B為銳角，從而cosB=Jl-sin2B=斗,故tanB=^=立.

32V7cosB5

(2)(」行關(guān)于江的一個方程，若再建立?個方程，就能求6和c,故把面積和中線都用〃…衣不)

由題意，S.BC=g〃csinA=6,所以6csinA=2\/5①，

(中線A。怎樣用b,c表示？可用向量處理)

因為。為2C中點，所以AD=1(AB+AC),

，2.2.2

從而2A￡>=A8+AC,0l4AD'=AB+AC+2ABAC,

所以/+y+2cbeos4=4,

將從+。2=8代入上式化簡得bccosA=-2②，

(我們希望找的是/>,c的方程，故由①②消去A,平方相加即可)

由①②得氏2sir?A+從c2cos2A=16,所以稅=4③，

由力2+c2—8可得S+c>—2bc=8,

所以Z?+c=J2歷+8=4,結(jié)合式③可得6=c=2.

a

18.(2023?新高考H卷?18?★★★★)已知應(yīng)｝為等差數(shù)列，bn=\"~二二二，記S“，7；分別為&｝，也,｝

2?！?〃為偶效

的前"項和，*=32,7；=16.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)證明:當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

解：(1)(給上了兩個條件，把它們用q和d翻譯出來，即可建立方程組求解q和d)

由題意，$4=44+61=32①，

T3=bt+b2+b3=(q-6)+2/+(0,-6)=q-6+2(4+d)+q+2d-6=4q+44-12=16②，

由①②解得：q=5,<7=2,所以a”=4+(〃—l)d=2〃+3.

(2)由⑴可得5,=〃(q+"，，)=〃(5+2〃+3)=〃2+4”,

"22

(要證結(jié)論，還需求7；，由于瓦按奇偶分段，故求刀,也應(yīng)分奇偶討論，先考慮〃為偶數(shù)的情形)

當(dāng)n(n>5)為偶數(shù)時，(=仇+么+…+2

=(4-6)+2a2+(%-6)+2a4■<---(a〃_i一6)+2alt

=(4+q+…+41一1)—6x萬+2(氏+%+…+?！?，

因為4M3,…和。2，。4,…M分別也構(gòu)成等差數(shù)列，

n

所以q+/+…+*=2%+*=〃(5+2〃+1)=3,

13〃-1242

(%+。〃)〃(7+2〃+3)tr+5n

%+4+…+4=---------=----------=---，

代入③化簡得：7；=f±叫一3〃+2、或色=宜土衛(wèi)，

222

(要由此證7；>S“，可作差比較)

所以用-5"="；7”-("2+4")=與？>0,故(>S,；

(對于“為奇數(shù)的情形，可以重復(fù)上述計算過程，但更簡單的做法是補(bǔ)1項湊成偶數(shù)項，再減掉補(bǔ)的那項)

當(dāng)〃(〃>5)為奇數(shù)時，T?=Tn+I-blt+l=.3("+1)2：7(〃+1)_

3(〃+1)~+7(〃+1)_3/?~4-5z?—10

2%--------2(2〃+5)=------

2----------------2

所以7；-5“=3"+；1。_("+4”)

="2-：-%(〃+27-5)>0,故北2；

綜上所述，當(dāng)〃>5時，總有7；>S..

19.(2023?新高考H卷79?★★★)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有

明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該項指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率頻率

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于。的人判定為陽性，小于或等于C的人判定為陰

性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為Me)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為

4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)cw［95,105］時,求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

解：(1)(給的是漏診率，故先看患病者的圖，漏診率為().5%即小J-或等丁-c的頻率為().5%,可山此求(,)由患病

者的圖可知，［95,100)這組的頻率為5x0.002=001>().(X)5,所以c在［95,100)內(nèi)，

K(c-95)x0.002=0.005,解得：c=97.5;

(要求q(c),再來看未患病者的圖，4(c)是誤診率，也即未患病者判定為陽性(指標(biāo)大于c)的概率)

由未患病者的圖可知指標(biāo)大于97.5的概率為(100-97.5)x0.01+5x0.002=0.035,所以q(c)=3.5%.

(2)［95」()5|包霽兩個分削.，故庖分類討論)當(dāng)954c<100時,p(c)=(c-95)x0.002,

^(c)=(100-c)x0.01+5x0.002,所以f(c)=p(c)+<7(c)=-0.008c+0.82,

故f(c)>-0.008x100+0.82=0.02①；

當(dāng)1004c4105時，Xc)=5x0.002+(c-100)x0.012,^(c)=(105-c)x0.002,

所以/(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98,/(c)>/(100)=0.01x100-0.98=0.02②；

-0.008c+0.82,954c<100

所以〃c)=且由①②可得Ac*"=0.02.

0.01c—0.98,1004105

20.(2023?新高考H卷?20?★★★)如圖，三棱錐A—8cD中，DA=DB=DC,BDLCD,NAD3=NA￡>C=60",

E為BC的中點.

(1)證明：BCYDA；

(2)點/滿足EF=D4,求二面角。一AB-尸的正弦值.

解:(1)(8C和DA是異面直線，要證垂直，需找線面垂直，可用逆推法，假設(shè)BCA.DA,日’亍DB=DC.

所以BCLDE,二者結(jié)合可得到BC_L而ADE,故可通過證此線面垂直來證BC_LD4)

因為D4=D8=Z)C,ZADB-=ZADC=60°,所以AAD3和AADC是全等的正三角形，故A8=AC,

又E為BC中點，所以BC_LAE,BCA.DE,因為4E,OEu平面4OE,AEDE=E,

所以8CJ_平面AOE,又ZMu平面AOE,所以3C_LD4.

(2)(由圖可猜想荏_1面8(7。，若能證出這一結(jié)果，就能建系處理，故先嘗試證明)

不妨設(shè)A4=￡>B=Z)C=2,則AB=AC=2,

因為8DLCD,所以3C=>/旅+g=2夜,

tiLDE=CE=BE=-BC=y/2,AE=JAC?-CE2=血,

2

所以AE,+DEZuduAD2,故所以E4,EB,兩兩垂直,

以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,正），D（V2,0,0）,B（0,近,0）,

所以D4=（-0,0,0）,A8=（0,夜,-夜），由￡F=D4可知四邊形AOEF是平行四邊形，所以FA=EO=（&,0,0）,

設(shè)平面DAB和平面ABF的法向量分別為m=（%l,yl,zl）,n=（x2,y2,z2）,

?,m-DA=-v2x+y2z,=0人r/X=l”一口一一一人、，一口

則1廠l，令％=1，則廠，，所以切=（1,1,1）是平面D4B的一個法向量,

m-AB=\l2y1-\Z2Zj=0〔4=1

n-AB=2y2-2z2=0^令%=],則[匕=°,所以〃=（0,1,1）是平面AB尸的一個法向量，

n-FA=V2X2=0匕=1

從而cos<，",〃>=gE=^^=邁，故二面角。一45一廠的正弦值為Jl一（近）2=且.

M'\n\d3xJ23V33

21.（2023?新高考H卷?21?★★★★）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為（-2右,0）,離心率為6.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為4，%，過點（T,0）的直線與C的左支交于M，N兩點、,M在第二象限，直線MA

與交于點P,證明：點尸在定直線上.

22

解：（1）設(shè)雙曲線方程為?1（。>0,〃>0）,由焦點坐標(biāo)可知,=2后，

則由《='=6可得。=2,b=ylc2-a2=4,

a

雙曲線方程為￡-片=1.

416

（2）由⑴可得&（一2,0）,4（2,0）,設(shè)（七,%）,

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為x=my-4,且一;<〃?<g,

22

與寧一看=1聯(lián)立可得（4療一"一32啊+48=0,且△=64（4療+3）>0,

直線MA的方程為y=2),直線NA2的方程為y=已(1-2),

X|+ZX［一乙

聯(lián)立直線MA與直線N4的方程可得:

x+2=+2)=%(呀-2)=叫心-2(y+丫2)+2%

x-2y,(x2-2)yt(my2-6)my^-by^

48c32m.—\6m_

m---弓----2----z——+2y

4〃/一14加一1+2y￡

=w^i'

-78—■48/77/

mx——-----6y.3

W-l14m~-1

x+2I

由一^=一；可得產(chǎn)―1,即巧,=-1,

x