2023-2024學(xué)年天津市高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年天津市高一下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)z=3-2i,則z的共趣復(fù)數(shù)三=()

A.—3+2iB.—3—2iC.—2+3iD.3+2i

【正確答案】D

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念即可求得答案.

【詳解】由題意復(fù)數(shù)z=3-2i,可得z的共見(jiàn)復(fù)數(shù)三=3+2i，

故選：D

UUL

2.已知向量。4=(-1,2),08=(1,-1),則向量AB的坐標(biāo)為()

A.(-2,3)B.(0,1)C.(-1,2)D.(2,-3)

【正確答案】D

【分析】由向量減法的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】依題意得AB=OB-OA=(1,-1)-(-1,2)=(2,-3).

故選：D.

3.一艘船以40海里/小時(shí)的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東30。，0.5小時(shí)

后航行到B處，在8處看燈塔S在船的北偏東75。，則燈塔S與B之間的距離是()

A.5海里B.10海里

C.50海里D.10底海里

【正確答案】D

【分析】直接利用正弦定理即可求出.

如圖所示，AB=40xl=20,

由于ZBSA=30可解得：ZBAS=45,

ARBS20BS

由正弦定理得：-------，即nn--------=-------

sin30sin45sin30

解得.8S=1O0

故選：D

解三角形的應(yīng)用題的解題思路：

(I)畫(huà)出符合題意的圖形；

(2)把有關(guān)條件在圖形中標(biāo)出;

(3)解三角形即可.

4.設(shè)向量4=(1,1),6=(2,㈤,若2〃(4+*),則實(shí)數(shù)〃?的值為()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】首先求出a+26的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理解答.

【詳解】.a=(l,1),6=(2,相)，.,.”+26=(5,2相+1),因?yàn)閍//(a+2b),所以2加+1-5=0,

解得m=2.

故選：B.

本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2i(其中i為虛數(shù)單位)，則|z卜()

A.72B.—C.；D.2

22

【正確答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】由復(fù)數(shù)的除法法則2i可得2i(鬲l+島i)=-…，#|=i——?dú)v-——，=技_

故選：A.

6.在“/WC中，若)=1,A=60。，..ABC的面積為G，則。=()

A.13B.V13C.2D.0

【正確答案】B

【分析】先用面積公式求出c,再用余弦定理求出。

【詳解】在JWC中，b=\,A=60。，；,ABC的面積為G，

所以SABC=—^csin/l=—xlxcx—=5/3,^?^：c=4.

ABC222

由余弦定理得：

a2-b2+c2-2bccosA=l+16-4-13,

所以a=屈.

故選：B.

7.在_ABC中，。為AB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，設(shè)A8=a,AC=b，用a、人的線性組合

表示4E為（）

1c11,

A.—a+bB.—a+—bC,a+-bD.-a+

242224

【正確答案】B

【分析】由向量加法的幾何意義即可求

AE^-lAD+ACX=，黑AB+4C^-AB+-AC^-a+-b

【詳解】由已知得,2\）2穎4242

故選：B

8.己知忖=1,忖=2,a-b=y[2＞則向量a，b的夾角為()

【正確答案】B

【分析】設(shè)a與人的夾角為0,根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出cos。，即可得解;

【詳解】解：設(shè)a與。的夾角為。，因?yàn)殁?1,忖=2且0小=應(yīng)，

所以4/=卜,6卜0$。=挺，即1X2XCOS0=3，

解得cos8=等，又。40,司，所以6=(.

故選：B

9.如圖，在平面四邊形ABCQ中，AB1BC,AD1CD,ZBAD=120,AB=AD=1,

若點(diǎn)E為邊C￡>上的動(dòng)點(diǎn)，則BE的最小值為

【正確答案】A

【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，△38為等邊三角形，把數(shù)量積4足BE

分拆，設(shè)DE=rDC(0Wl),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知△A83為等腰三角形，而ABJ.8C,AO_L8,所以

△BCD為等邊三角形，BD=6設(shè)DE=fDC(04fMl)

___23--____2

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

=3r2--r+-(0<r<l)

22

所以當(dāng)”;1時(shí)，上式取最小值2￡1，選A.

416

點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量

都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).

1+21

【正確答案】4-i

【詳解】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

6+li(6+7z)(l-2z)20-5/

詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得.不下忐一^=y=4—

點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

11.已知向量d=(3x—l,4)與6=(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為.

【正確答案】1

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即得.

【詳解】??,向量。=(3工-1,4)與6=(1,2)共線，

/.2(3x—1)—4x1=0,解得x=l.

故1.

12.已知向量0,b方向相反，且何=4,卜卜5,則°在b方向上的投影向量為.

【正確答案】

【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜,。方向相反，所以a,匕夾角。=兀，

所以a在6方向上的投影向量為麻。s喧=4x(_l)x3=g/

故答案為：yft

13.若AABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(。+與2-02=4,且C=60。，貝Uab

的值為.

4

【正確答案】y.

222

［分析］利用余弦定理可求得c=a+b-ab,根據(jù)(a+6)2-=4可得c?=T+y+2ab一4,

兩式聯(lián)立可整理出必.

【詳解】(?+/?)'-c2=4..c2=(a+b)~-4=a2+b2+2ab-4

由余弦定理可知：c2=a2+h2-2abcosC=a2+h2-2abcos60=a2+b2-ab

:.a2+h2+2ah-4=a2+h2-ab,艮12ab-4=-ab

解得：=|4

本題正確結(jié)果：!4

本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用C，2構(gòu)造出方程，屬于基礎(chǔ)題.

14.在AABC中，角A,在C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若“sinA-/?sin8=\^csin8,

sinC=26sin8,則人=______

【正確答案】g

6

利用正弦定理將角化邊，將〃,。用匕表示出來(lái)，用余弦定理，即可求得A.

【詳解】因?yàn)閍sinA-bsin3=\/Jcsin3,故可得/一6=Jibe；

因?yàn)閟inC=2GsinB,故可得c=2J%;

綜合即可求得a==

由余弦定理可得cosA=1+°2-。2=立

2bc2

又因?yàn)锳e（O/）,故可得A=￡.

6

故答案為.—

6

本題考查利用正弦定理將角化邊，以及用余弦定理解三角形，屬綜合中檔題.

15.已知向量°,8滿足|2a+*l,且G（a-/7）=1,則卜』的取值范圍為.

………「Vi3-iVn+i

［正確答案］-,-

由|2。+。|=1和〃?（〃-。）=1,求得42和a必的值,以及石2的取值范圍，再求3一萬(wàn)）2的取值范

圍，即可得出3-切的取值范圍.

【詳解】解：由|2々+。|=1,

得4/+4〃”+〃2=［,①

又。?（〃一/?）=1,

得a2-a*b=1,②

2

由??得/=：（5-6），a.h=^-3-b）,

OO

且|a叫”|a||b|,

即13+戶\2(5-從岡5|,

OVO

9/-346+9,,0,

17-4萬(wàn)次產(chǎn)17+4V13

9雙9

所以(〃-=〃_2a^b+b2=-(5-b2)--(-3-b2)-^-b2=-b2+—,

8488

所以此誓譽(yù)2+葭出等，

所以|a-b|的取值范圍是［造?匚，書(shū)里］.

故回,巫斗

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力.

三、解答題

16.已知復(fù)數(shù)z=(l+i)〃-3而+2i-l.

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)巾為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)位于第四象限.

【正確答案】⑴，"=-1

⑵〃?e(1,2)

【分析】(1)由己知結(jié)合復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件可建立關(guān)于〃，的方程及不等式，求出，"的值;

(2)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可建立關(guān)于〃?的不等式組，再求出m的取值范圍.

【詳解】(1)復(fù)數(shù)z=(l+i)加2-3汕+4-1=(〃?2-1)+(療-3〃?+2］

復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，｛2Jc八，解得，〃=-1

m2-3m+2^0

時(shí)，z為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)位于第四象限，可得〈，，、八，解得1〈機(jī)＜2,

療-3〃?+2＜0

當(dāng)1＜加＜2時(shí)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

??.〃?的取值范圍為(1,2)

17.已知。=(i,2),Z>=(-3,1)

⑴求。-2%;

(2)設(shè)“，(的夾角為求cos。的值;

⑶若向量a+她與a-姐互相垂直，求人的值

【正確答案】(1)(7,0)；

⑵-g

10

⑶士也

2

【分析】(1)利用線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解；

(2)利用向量夾角的坐標(biāo)表示即可求解；

(3)求出向量a+奶與的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示(。+秋)?(〃-奶)=0即可求解.

【詳解】⑴因?yàn)?=。,2),6=(-3,1),所以“一?=(1,2)-2(—3,1)=(7,0).

(2)因?yàn)椋?/p>

八a-hlx(-3)+2xl-1V2

所以=及質(zhì)=一價(jià)

(3)由1=(1,2),b=(—3,1)可得a+奶=(1,2)+%(-3/)=(1-3匕2+&),

因?yàn)橄蛄縜+M與a-種互相垂直，

所以(“+妨)?("人)=(1-3&)(l+3%)+(2+k)(2_%)=0,

即2/=1,解得.&=土近

2

18.在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且滿足后acosC-csinA=0.

(1)求角C的大??；

(2)已知b=6,ABC的面積為66，求邊長(zhǎng)c的值.

【正確答案】(i)c=T；

(2)c=2>/7.

【分析】(1)由正弦定理將島cosC-csinA=0邊角互化，化簡(jiǎn)可求出角。的大??；

(2)根據(jù)三角形面積公式及余弦定理即得.

【詳解】(1)在.ABC中，由正弦定理得：>/3sinAcosC-sinCsinA=0

因?yàn)镺VAVTI,所以sinA>0,

從而百cosC=sinC,又cosCwO,

所以tanC=百，又0<C<兀，

所以c=5；

(2)在ABC中，S^ABC=^x6?xsiny=673,得a=4,

由余弦定理得：c2=62+42-2X6X4COS1=28.

所以c=2".

TT1

19.如圖，在_ABC中，ZBAC=-,。為AB中點(diǎn)，尸為CO上一點(diǎn)，且滿足4P=r4C+]AB,

ABC的面積為邁，

2

⑴求f的值；

(2)求|AP|的最小值.

【正確答案】(1)/=；

⑵0

【分析】(1)利用CP，。三點(diǎn)共線，可設(shè)。2=根。。，推出AP=