高中數(shù)學(xué)排列組合經(jīng)典題型全面總結(jié)版

高中數(shù)學(xué)排列與組合

（-）典型分類講解

特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例1,由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素葡菁兩舍售

先排末位共有C；

然后排首位共有C：

最后排其它位置共有用C；A；C；

由分步計(jì)數(shù)原理得團(tuán)=288

練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少

不同的種法？

二.相鄰元素捆綁策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)

行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有&考片=480種不同的排法

要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素

一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

練習(xí)題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍蓋在一起的情形的不同種數(shù)為20

三.不相鄰問(wèn)題插空策略

例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少

種？

解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間

包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有種

元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端

練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)

目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為3

四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略

例4.7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法

解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總

排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：A}IA}

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有4種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有」

種坐法，則共有4種方法。

思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？

（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有方法

定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理

練習(xí)題：10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？

五.重排問(wèn)題求嘉策略

例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法

解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有工種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依

此類推，由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法

允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不

同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為機(jī)”種

練習(xí)題：

1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原

節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為且

2.某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法H

六.環(huán)排問(wèn)題線排策略

例6.8人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展

成直線其余7人共有(8-1)!種排法即7!

c

ABCBEFGHA

一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有-A"'

n

練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120

七.多排問(wèn)題直排策略

例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法

解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有幺：種，再排后4個(gè)位

置上的特殊元素丙有種，其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有④種，則共有qH種

H「二「二

前排后排

一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究.

練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，

并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346

A.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略

例8.有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的裝法.

解：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有4種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4

個(gè)不同的盒內(nèi)有幺：種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有根：

解決排列組合混合問(wèn)題.先選后排是最基本的指導(dǎo)思想,此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎？

練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù),

且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加，則不同的選法有」2￡_種

2

九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略

例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,5在兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有

多少個(gè)？

解：把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有4種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由

分步計(jì)數(shù)原理共有2國(guó)外；種排法.QED

練習(xí)題：

1.計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)，4幅油畫(huà)，5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種

的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為心過(guò)

2.5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有種

十.元素相同問(wèn)題隔板策略

例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位

置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有乙種

分法。

將n個(gè)相同的元素分成m份(n,m為正整數(shù))，每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)

空隙中，所有分法數(shù)為C；'二

練習(xí)題：

1.10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中，每盒至少一有多少裝法？C；

2.x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)。總

十一.正難則反總體淘汰策略

例H.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的

取法有多少種？

解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇

數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有專,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有和為偶數(shù)的取法共有

C；C；+C；。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有9

有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求出它的反面，再?gòu)恼w中淘汰.

十二.平均分組問(wèn)題除法策略

例12.6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解：分三步取書(shū)得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF,若第一步取

AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB.CD.EF),則中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有/種取法，而這些分法僅是

(AB,CD,EF)一種分法，故共有空泊種分法。

平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定耍除以(〃為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。

3

練習(xí)題：

1將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì)，其它兩組4個(gè)隊(duì)，有多少分法？（。；3盤(pán)。"出）

2.10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組，有多少種不同的分組方法

（1540）

3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，

則不同的安排方案種數(shù)為

（cjc：￡/￡=90）

十三.合理分類與分步策略

例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)

目，有多少選派方法

解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱

的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員etc；種,只

會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種,由分類計(jì)數(shù)原理共有種。

解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次

清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。

都可經(jīng)得到正確結(jié)果

十四.構(gòu)造模型策略

例14.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3

盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？

解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有穹種

一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決

練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）

十五.實(shí)際操作窮舉策略

例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每

個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有工：種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩

下3,4,5號(hào)球，3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒

時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2C；種

?■"

3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果

練習(xí)題：

1.同一寢室4人，每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái)，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配

方式有多少種？（9）

2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有二②種

十六.分解與合成策略

例16.30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除

4

分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2X3X5X7X11X13,依題意可知偶因數(shù)必

先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C；+C；+C；+C；+C；

練習(xí)：正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線

解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共作-12=58,每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,.正方

體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3x58=174對(duì)異面直線

分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的?種最基本的解題策略，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后

的結(jié)構(gòu)，用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案，每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略

排列組合易錯(cuò)題正誤解析

1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)

排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排

列組合問(wèn)題的前提.

例1從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的

取法有種.

誤解：因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.

錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒(méi)有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)

算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.

正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有C3種方

法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有種方法，據(jù)乘法原理共有。3星種方法.同理，完成第二

類辦法中有C〉心種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有或+或.點(diǎn)=350種方法.

例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有()種.

(A)(B)43(C)34(D)或

誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A.

正解：四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有

3x3x3x3=34種.

說(shuō)明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得43.這是由于沒(méi)有考慮到某

項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.

2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)

在判斷一個(gè)問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題時(shí)，主要看元素的組成有沒(méi)有順序性，有順序的是排列，無(wú)順序

的是組合.

例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？

誤解：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有城種方法.

錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間

互換位置是同一種排法.

正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下

的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.這樣共有：=56排法.

3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)

在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等，這些問(wèn)題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

例45本不同的書(shū)全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()

(A)480種(B)240種(C)120種(D)96種

5

誤解：先從5本書(shū)中取4本分給4個(gè)人，有引種方法，剩下的1本書(shū)可以給任意一個(gè)人有4種分法，共

有4x*=480種不同的分法，選A.

錯(cuò)因分析：設(shè)5本書(shū)為。、6、c、d.e,四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表

2：

甲乙丙T甲乙丙T

ahCdehcd

ea

表表

表1是甲首先分得。、乙分得6、丙分得，、丁分得d,最后一本書(shū)e給甲的情況；表2是甲首先分得e、

乙分得6、丙分得c、丁分得d,最后一本書(shū)。給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成

了不同的情況。正好重復(fù)了一次.

正解：首先把5本書(shū)轉(zhuǎn)化成4本書(shū)，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書(shū)中任意取出2本捆綁成一本

書(shū)，有C"中方法；第二步：再把4本書(shū)分給4個(gè)學(xué)生，有蜀種方法.由乘法原理，共有Cr/：=24O種方

法，故選B.

4遺漏計(jì)算出錯(cuò)r—r-r-,——

在排列組合問(wèn)題中還可能由于考慮問(wèn)題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而闌?，3

例6用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）

（A）36個(gè)（B）48個(gè)（C）66個(gè)（D）72個(gè)

誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因?yàn)榈?位不能是0,在最后一位取定后只有3種

取

法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有曷種排法，共有2x3x屑=36個(gè).

錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).

正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有2x3xW=36個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和

共有72個(gè)，選D.

5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)

在解決排列組合問(wèn)題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏

解.

例7如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得咚里回二粵魚(yú)總有4

種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）

誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏

兩塊區(qū)域，有C；.2.曷=12種，由乘法原理共有：4x12=48種.

錯(cuò)因分析：沒(méi)有看清題設(shè)“有4種顏色可供逸拶”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任

務(wù).

正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3

種有C：種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)

域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有《x3x2=24種.綜上共有：48+24=72種.

例8已知a/-6=0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、be｛1,2,3,4）,求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).

誤解：從集合｛123,4｝中任意取兩個(gè)元素作為。、b,方程有曷個(gè)，當(dāng)6取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè),

共有曷+1=13個(gè).

錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有注意到題設(shè)中：“求解率不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由

6

?二;和仁同解、，:和仁同解，故要減去2個(gè)。正解：由分析，共有用2="個(gè)解集不同

的一元二次方程.

（二）典型例題講解

例1用。到9這10個(gè)數(shù)字.可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

分析：這一問(wèn)題的限制條件是：①?zèng)]有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位

數(shù)上；③個(gè)位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：

如果從個(gè)位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個(gè)位數(shù)是“0”的四位偶做，個(gè)位數(shù)是

2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）.由此解法一與二.

如果從千位數(shù)入手.四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、

4、6、8兩類，由此得解法三.

如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，用排除

法，得解法四.

解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中

任選3個(gè)來(lái)排列，故有團(tuán)個(gè)；

當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中

任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有

A\-4（個(gè)）?

沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

團(tuán)+￡y=504+1792=2296個(gè).

解法2：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，同解一有用個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)上排2、4、6、8中

之一時(shí)，千位，百位，十位上可從余下9個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)的排列數(shù)中減去千位數(shù)

是“0”排列數(shù)得：4.（*-見(jiàn)）個(gè)

沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

-4）=504+1792=2296個(gè).

解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0、2、4、6、8

中任選一個(gè)，百位，十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有

,4,團(tuán)個(gè)

干位上從2、4、6、8中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從余下的四個(gè)偶數(shù)中任意選一個(gè)（包

括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個(gè)數(shù)字中任意選兩個(gè)作排列，有

，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

a?a?屆+h?㈤?痣=2296個(gè).

解法4：將沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù).

沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有用個(gè).

其中四位奇數(shù)有a（團(tuán)-團(tuán)）個(gè)

，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

7

-4(4-4)=10x4-4-5團(tuán)+54

=4a+5%

=364+54

=41屆o

=2296個(gè)

典型例題二

例2三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排

(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

(2)如果女生必須全分開(kāi)，可有多少種不同的排法？

(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解：(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整

體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有々種不同排法.對(duì)于其中的

每一種排法，三個(gè)女生之間又都有用對(duì)種不同的排法，因此共有可./=4320種不同

的排法.

(2)(插空法)要保證女生全分開(kāi)，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生

之間留出一個(gè)空檔.這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有

六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生,

就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有另種不同排法，對(duì)于其

中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來(lái)讓三個(gè)女生插入都有團(tuán)種方法，因

此共有4；?用=14400種不同的排法.

(3)解法1：(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男

生中的2個(gè)，有￡種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有《種排

法，所以共有年?《=14400種不同的排法.

解法2：(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有《種不同的排法，從中扣

除女生排在首位的a種排法和女生排在末位的a種排法，但這樣兩端都是女

生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)

又被扣去一次，所以還需加一次回來(lái)，由于兩端都是女生有團(tuán)種不同的排法，

所以共有履-24＞；+&屋=14400種不同的排法.

解法3:(元素分析法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生排入，有耳種

不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排活，其余5個(gè)位置又都有W種不同的排法，所

以共有其=14400種不同的排法，

(4)解法1:因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就

不再受條件限制了，這樣可有￡?4種不同的排法；如果首位排女生，有a種排法,

這時(shí)末位就只能排男生，有a種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都

有履種不同的排法，這樣可有ay種不同排法.因此共有

￡?㈤+H.4.建=36000種不同的排法.

8

解法2：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有履種排法，從中扣去兩端都是女生排法

用?苗種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù).

因此共有履-/Z：=36000種不同的排法.

典型例題三

例3排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解：(1)先排歌唱節(jié)目有耳種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選

4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有《中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：耳用=

43200.

(2)先排舞蹈節(jié)目有用中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰

好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：At4=2880

種方法。

典型例題四

例4某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，

如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.

分析與解法1:6六門(mén)課總的排法是可，其中不廠友、

符合要求的可分為：體育排在第一書(shū)有用種排法，(I鬻口)

如圖中I;數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有用種排法，如圖中

II；但這兩種排法，都包括體育排在第一書(shū)數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中HI,這種情

況有團(tuán)種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：

/；-2/：+/：=504(種).

分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：

(1)體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有用?用種；

(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法種；

(3)體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法㈤/：種；

(4)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法國(guó)

這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：

4：+44=504(種).

分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況：

(1)體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開(kāi)頭一節(jié)，有團(tuán)=12種排法；

(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法；

(3)體育在最后一書(shū)，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法；

9

(4)數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法.

上述21種排法確定以后，僅剩余下四門(mén)課程排法是種用，故總排法數(shù)為

21團(tuán)=504(種).

下面再提出一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答.

問(wèn)題：有6個(gè)人排隊(duì)，甲不在排頭，乙不在排尾，問(wèn)并肩多少種不同的排法.

請(qǐng)讀者完成此題.

典型例題五

例5現(xiàn)有3輛公交車、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票

員.問(wèn)車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？

分析：可以把3輛車看成排了順序的三個(gè)空：口二口，然后把3名司機(jī)和3名售票員

分別填入.因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問(wèn)題.

解：分兩步完成.第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有團(tuán)=6種安排方法；第

二步把3名售票員安排到3輛車中，有聞=6種安排方法.故搭配方案共有

國(guó).團(tuán)=36種.

典型例題六

例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有4所重點(diǎn)院校，每所院校

有3個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇.若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒(méi)有重復(fù)，同一學(xué)校的

專業(yè)也沒(méi)有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？

學(xué)校業(yè)

112

212

312

分析：填寫(xiě)學(xué)校時(shí)是有順序的，因?yàn)檫@涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿

的問(wèn)題；同一學(xué)校的兩個(gè)專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè).因此這是

一個(gè)排列問(wèn)題.

解：填表過(guò)程可分兩步.第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出

3所并加排列，共有團(tuán)種不同的排法；第二步，從每所院校的3個(gè)專業(yè)中選出2個(gè)專

業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有用種.綜合以上兩

步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：團(tuán).用〃；?團(tuán)=5184種.

典型例題七

例57名同學(xué)排隊(duì)照相.

(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？

(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，

有多少種不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？

(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面

的排法？

分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有用種排法；

第二步，剩下的4人排在后排，有引種排法，故一共有㈤=團(tuán)種排法.事實(shí)上排

兩排與排成一排一樣，只不過(guò)把第4?7個(gè)位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是用，

相當(dāng)于7個(gè)人的全排列.(2)優(yōu)先安排甲、乙.(3)用“捆綁法(4)用“插空法

解:(1)團(tuán).—=禺=5040種.

典型例題八

例8從2、3、4、5、6五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位

數(shù)的和.

分析：可以從每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來(lái)分析，例如“2”，當(dāng)它位于個(gè)位時(shí)，即形

如國(guó)銅的數(shù)共有用個(gè)(從3、4、5、6四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)填入前面的兩個(gè)空)，當(dāng)這些數(shù)相

加時(shí)，由“2”所產(chǎn)生的和是團(tuán).2.當(dāng)2位于十位時(shí)，即形如困2國(guó)的數(shù)也有痣，那

么當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)后的和應(yīng)是用210.當(dāng)2位于面位時(shí)，可同理分析.然

后再依次分析3、4、5、6的情況.

解：形如田羽的數(shù)共有用個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)生的和是團(tuán).2;形如

困溷的數(shù)也有用個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)生的和是團(tuán).2.10;形如EE圖的數(shù)

也有用個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是用2100.這樣在所有三位數(shù)的

和中，由"2”產(chǎn)生的和是團(tuán)2111.同理由3、4、5、6產(chǎn)生的和分別是團(tuán)3111,團(tuán)4111,

4-5-111,石6111,因此所有三位數(shù)的和是團(tuán).111.(2+3+4+5+6)=26640.

說(shuō)明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問(wèn)題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來(lái)

解決.如“由1,4,5,x四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各

數(shù)位上的數(shù)字之和為288,求數(shù)x”.本題的特殊性在于，由于是全排列，每個(gè)數(shù)字

都要選用，故每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)了用=24次，故有24x(l+4+5+x)=288,得x=2.

典型例題九

例9計(jì)算下列各題：

A>n-\An~m

(I)4；(2)公(3)生幡吟

A-i

ion1

(4)1!+2-2!+3-3!+…+小〃！(5)—+—+—+■??+—

2!3!4!〃！

解：(1)4=15x14=210;

(2)4=61=6x5x4x3x2x1=720;

(3)原式二一空兒一.(…)!?一^

[H-l-(w-l)!](H-1)!

II

(?-l)!,1

=------(zn-m)A!-----=1;

(tt-w)!(M-1)!

(4)原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+...+[(〃+1)!-〃!]

=(H+1)!-1;

(5)?.?*4=」----L,

n!(w-1)!n!

說(shuō)明：準(zhǔn)確掌握好排列公式是順利進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵.

本題計(jì)算中靈活地用到下列各式：

〃!=〃（〃-1）!；〃〃!=（〃+1）!-〃??；---=——----—;使問(wèn)題解得簡(jiǎn)單、快捷.

n!（〃一1）!〃！

典型例題十

例10a”,c,a,e,/六人排一列縱隊(duì)，限定4要排在b的前面（。與b可以相鄰,

也可以不相鄰），求共有幾種排法.對(duì)這個(gè)題目，A,8、C、。四位同學(xué)各自給出

了一種算式：/的算式是3用；3的算式是（4+￡+a+禺+4）.用；。的算式是4；;

。的算式是上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說(shuō)明理由.

解：/中很顯然，在6前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“b在a前的六人縱隊(duì)”

排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和.這表明：/的算

式正確.

6中把六人排隊(duì)這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然

后用乘法求出總數(shù)，注意到。占位的狀況決定了b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)a占

據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，b占位方法數(shù)是4；當(dāng)a占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，6占位的方法數(shù)是

A\;……;當(dāng)a占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，6占位的方法數(shù)是/：,當(dāng)a,b占位后,再排其

他四人，他們有用種排法，可見(jiàn)8的算式是正確的.

。中々可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓c,d,e,/占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位

置依前后順序應(yīng)是明b的.因此C的算式也正確.

D中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù)C；,這兩個(gè)位置讓a,b占據(jù)，顯然，

占據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種（。要在b的前面），這時(shí)，再排其余四人，

又有用種排法，可見(jiàn)。的算式是對(duì)的.

說(shuō)明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)。的解法.

典型例題十一

例11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同

一排，共有多少種安排辦法？

解法1:可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,

12

甲坐在前排的八人坐法”兩類情況.應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙

丙坐下，，、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可

有如下算法：

^-4-4+4-4-4=8640（種）.

解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法.把“甲坐在第一

排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是在這種前提下，不合題意

的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法.”這個(gè)數(shù)目是耳ciaz：］；.其

中第一個(gè)因數(shù)㈤表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法

數(shù)，a表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)㈤則表示乙、丙中沿未

安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，w就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為

心耳-心以送Y-W=8640（種）.

說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí).

典型例題十二

例12計(jì)劃在某畫(huà)廊展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，

排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起，并且不彩畫(huà)不放在兩端，那么不

同陳列方式有（）.

A.4,4B.團(tuán).4：.4；C.C；Y.6D.號(hào).4；Y

解：將同一品種的畫(huà)“捆”在一起，注意到水彩畫(huà)不放在兩端，共有另種排列.但

4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)本身還有排列順序要求.所以共有空?團(tuán)種陳列方式.

，應(yīng)選D.

說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問(wèn)題，一般使用“捆綁”法，也就是將

相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；

然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列.本例題就是一個(gè)典

型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題.

典型例題十三

例13由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位

數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）.

A.210B.300C.464D.600

解法1:（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有5.國(guó)種，所以其

中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有:5?=300個(gè).

解法2:（間接法）：取0,1,…,5個(gè)數(shù)字排列有成，而0作為十萬(wàn)位的排列有W，

所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有:（應(yīng)-啰）=300（個(gè)）.

，應(yīng)選B.

說(shuō)明：（1）直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直

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接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩,

這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解.

(2)”個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩

類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問(wèn)題還有6個(gè)人排隊(duì)照像

時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法.

典型例題十四

例14用1,2,3,4,5,這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有

().

A.24個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.60個(gè)

分析：本題是帶有附加條件的排列問(wèn)題，可以有多種思考方法，可分類，可分

步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷.

解法1:分類計(jì)算.

將符合條件的偶數(shù)分為兩類.一類是2作個(gè)位數(shù)，共有用個(gè)，另一類是4作個(gè)

位數(shù)，也有團(tuán)個(gè).因此符合條件的偶數(shù)共有用+%=24個(gè).

解法2:分步計(jì)算.

先排個(gè)位數(shù)字，有a種排法，再排十位和百位數(shù)字，有團(tuán)種排法，根據(jù)分步計(jì)

數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有〃卜團(tuán)=24個(gè).

解法3：按概率算.

用1-5這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有用=60個(gè)，其中偶點(diǎn)其中

的|.因此三位偶數(shù)共有60x：=24個(gè).

解法4:利用選擇項(xiàng)判斷.

用1-5這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有團(tuán)=60個(gè).其中偶數(shù)少于

奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于30個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有N符合條件.

應(yīng)選力.

典型例題十五

例15(1)計(jì)算4+2屆+3團(tuán)+…+8團(tuán).

⑵求S,=1!+2!+3!+…+〃！(〃210)的個(gè)位數(shù)字.

分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從

和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮.在(1)中，項(xiàng)可抽象為

〃啰=(〃+1-1)啰=(〃+1)h(2)中，項(xiàng)為〃!=〃(〃一1)(〃—2)…3?24，當(dāng)〃25

時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2,積的個(gè)位數(shù)為0,在加法運(yùn)算中可不考慮.

解：⑴由〃4；=(〃+1)!-〃！

...原式=2!-1!+3!-2!+…+9!-8!=9!-1!=362879.

(2)當(dāng)“25時(shí)，M!=M(?-1)(?-2)---3-21的個(gè)位數(shù)為0,

S.=1!+2!+3!+.??+〃！(〃210)的個(gè)位數(shù)字與1!+2!+3!+4!的個(gè)位數(shù)字相同.

而1!+2!+3!+4!=33,...S”的個(gè)位數(shù)字為3.

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說(shuō)明：對(duì)排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，比如：求證:

/我們首先可抓等式右邊的

n_〃+1-1_n+11__J_____1_

(n+1)!—(〃+1)!一(〃+1)!(〃+1)!一〃!(/?+1)!'

?二左邊=1----+-------4...?+--1--------1------=,]-1-----------:=右邊.

2!2!3!〃！(/?+!)!(〃+1)!

典型例題十六

例16用0、1、2、3、4、5共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，（1）可以組成多

少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？

分析：3位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0,由于個(gè)位用或者不用數(shù)字

0,對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用0或者用2、4進(jìn)行分類.一個(gè)自

然數(shù)能被3整除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，

然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類.

解：（1）就個(gè)位用0還是用2、4分成兩類，個(gè)位用0,其它兩位從1、2、3、4中任取

兩數(shù)排列，共有團(tuán)=12（個(gè)），個(gè)位用2或4,再確定首位，最后確定十位，共有

2x4x4=32（個(gè)）,所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：