導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：回顧物理問題：跳水運(yùn)動員起跳后的速度問題幾何問題：拋物線的切線斜率問題切線斜率割線斜率瞬時(shí)速度平均速度瞬時(shí)變化率平均變化率取極限取極限取極限逼近導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義1.平均變化率的定義對于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，則函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時(shí)，x的變化量為?x，y的變化量為?y＝f(x0＋?x)－f(x0).?y?x2.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)的定義導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).(1)f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同；(2)f′(x0)與?x的具體取值無關(guān)；(3)瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱。2.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)的定義

利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)理解可導(dǎo)的含義思考：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義判斷，函數(shù)f(x)=|x|在x=0處是否可導(dǎo)?理解導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)的意義例2.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。已知在第xh時(shí)，原油的溫度(單位:°C)為f(x)=x2－7x＋15(0≤x≤8).計(jì)算第2h與第6h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.故在第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3℃/h與5℃/h.意義：在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；

在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.f

'(x0)(0≤x0≤8)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的升降變化情況例3.一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度(單位:m/s)為v(t)=﹣t2+6t＋60，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義.故在第2s與第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別為2℃/h與－6℃/h.意義：在第2s附近，汽車速度大約以2

m/s的速率增加；

在第6s附近，汽車速度大約以6

m/s的速率減少.v'(t0)(t0≥0)反映了汽車速度在時(shí)刻t0附近的增減變化情況補(bǔ)充：利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義由圖可知，點(diǎn)P0處的切線P0T比任何一條割線更貼近“點(diǎn)P0附近的曲線”BA切線斜率割線斜率4.以直代曲的思想將點(diǎn)P0附近的曲線不斷放大，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P0附近的曲線越來越接近于直線.可以用點(diǎn)P0處的切線P0T近似代替點(diǎn)P0附近的曲線y=f(x).作用：借助導(dǎo)數(shù)，可以大致畫出函數(shù)y=f(x)對應(yīng)的曲線.

通過逼近，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線的方法，適用于各種曲線.

這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)．

要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:(1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);(2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解．如有極限,則在此點(diǎn)有切線，且切線是唯一的；如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;(3)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多個(gè).例4.如圖是高臺跳水運(yùn)動中運(yùn)動員的重心相對于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)=﹣4.9t2+4.8t+11的圖象.根據(jù)圖象請描述、比較曲線h(t)在t=t0,t1,t2附近的變化情況.t1ht0O??t2?tl2l1l0(1)當(dāng)t=t0時(shí),曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸,h'(t0)=0.這時(shí),在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.(2)當(dāng)t=t1時(shí),曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h'(t1)<0.這時(shí),在t=t1附近曲線下降,

即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)t=t2時(shí),曲線h(t)在t=t2處的切線l1的斜率h'(t2)<0.這時(shí),在t=t2附近曲線下降,

即函數(shù)h(t)在t=t2附近單調(diào)遞減.直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度,這說明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢.5.導(dǎo)函數(shù)的定義(1)“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”，就是在該點(diǎn)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限，它是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)．“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系概念理解：練習(xí)：已知函數(shù)y＝f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程是(

)A．x＋y－1＝0

B．x－y－1＝0C．x＋y－2＝0

D．x－y－2＝0例6.已知曲線方程y＝x2.(1)求在點(diǎn)A(2,4)處的曲線的切線方程；(2)求過點(diǎn)B(3,5)處的曲線的切線方程．例6.已知曲線方程y＝x2.(1)求在點(diǎn)A(2,4)處的曲線的切線方程；(2)求過點(diǎn)B(3,5)處的曲線的切線方程．練習(xí).已知曲線C：f(x)＝x3.(1)求曲線C上橫坐