人教版高中數(shù)學(xué)必修四教案全套(表格式)

中學(xué)教案2020年月日周星期.

課題1.1.1任忌角

教知識(shí)目標(biāo)理解任意角的概念（包括正角、負(fù)角、零角）與區(qū)間角的概念

學(xué)

目會(huì)建立直角坐標(biāo)系討論任意角，能判斷象限角，會(huì)書寫終邊相同

能力目標(biāo)

標(biāo)角的集合；掌握區(qū)間角的集合的書寫

情感目標(biāo)1.提高學(xué)生的推理能力；2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)

教學(xué)重點(diǎn)任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫

教學(xué)難點(diǎn)終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫

主要教法

教學(xué)媒體

教學(xué)過程

一、引入：

1.回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的

圖形.

二、新課：

1.角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

②角的名稱：

③角的分類:

「正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

?零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

一負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角a”或“Na”可以簡化成“a

⑵零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a=0。；

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角.

⑤練習(xí)：請說出角a、6、Y各是多少度？

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在

第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.

例1.如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？

例2.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.

⑴60°；(2)120°；(3)240°；(4)300°；(5)420°；(6)480°；

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角a終邊相同的角，連同a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={P|P=a+k-360°,

kSZ),即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整個(gè)周角的和.

注意：

(1)kez

⑵a是任一角；

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個(gè)，它們相差

360°的整數(shù)倍；

⑷角a+k-720°與角a終邊相同，但不能表示與角a終邊相同的所有角.

例3.在0。到360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角.

(1)-120°；(2)640°；⑶-950°12'.

答:(1)240°，第三象限角；(2)280°，第四象限角;⑶129。48',第二象限角;

例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示).

解：{a|a=90°+n?180°,nGZ}.

例5.寫出終邊在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360°WB<720°的元素8寫出來.

4.課堂小結(jié)

①角的定義；

②角的分類：

「正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

-零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

I負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法.

5.課后作業(yè)：

①閱讀教材P「Ps；②教材Ps練習(xí)第1-5題：③教材P.9習(xí)題1.1第1、2、3題

(7

思考題：已知(I角是第三象限角，則2a,上各是第幾象限角？

2

解：???a角屬于第三象限，

k?360°+180°<a<k?3600+270°(kez)

因此,2k?360°+360°<2a<2k?360°+540°(kGZ)

即(2k+1)360°<2a<(2k+1)360°+180°(kez)

故2a是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

a

又k?180°+90°<—<k?180°+135°(kez).

2

n

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n(nGZ),則n?360°+90°<—<n?360°+135°(nSZ),

2

此時(shí)，4屬于第二象限角

2

a

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k=2n+1(nCZ),則n?360°+270°<—<n?360°+315°(nGZ),

2

此時(shí)，區(qū)屬于第四象限角

2

因此里屬于第二或第四象限角.

2

教學(xué)成敗得失及改進(jìn)設(shè)想：

課

后

反

思

中學(xué)教案2020年月日—周星期

課題1.1.2弧度制（一）

理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起一一

教知識(shí)目標(biāo)

對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù)

學(xué)

能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長公

目能力目標(biāo)

式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問題

標(biāo)通過新的度量角的單位制（弧度制）的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的

情感目標(biāo)精神；通過對(duì)弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對(duì)比，

讓學(xué)生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美

教學(xué)重點(diǎn)弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明

教學(xué)難點(diǎn)角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系

主要教法

教學(xué)媒體

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)角度制：

初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的？

規(guī)定把周角的」一作為1度的角，用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

360

二、新課：

1.引入：

由角度制的定義我們知道，角度是用來度量角的，角度制的度量是60進(jìn)制的，運(yùn)用起來不太方

便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度一弧度制，它是如何定義呢？

2.定義

我們規(guī)定，長度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧

度制.在弧度制下，1弧度記做1rad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

3.思考:

(1)一定大小的圓心角a所對(duì)應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？

(2)引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納：

弧度制的性質(zhì)：

7TV

①半圓所對(duì)的圓心角為二=②整圓所對(duì)的圓心角為一〉=2兀.

r

③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù).④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|=-1

r

4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：

①將角度化為弧度：

ITVITT

360°=2乃；180°=萬；1°=—?0.01745ratZ；n°=——rad.

180180

②將弧度化為角度:

2萬=360°；乃=180°；\rad=(―)°?57.30°=57°18f；〃=(1^)。.

71Jt

5.常規(guī)寫法：

①用弧度數(shù)表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少門的形式，不必寫成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度

OOOOOOOOOOO

27

弧717171713冗5萬3冗

0712萬

度~67~26

7.弧長公式

\a\=-=>l=r-\a\

弧長等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積.

例1.把67°30'化成弧度.

3

例2.把一萬rad化成度.

5

例3.計(jì)算：

TT

(l)sin—；(2)tan1.5.

4

例4.將下列各角化成。到2n的角加上2kn(keZ)的形式：

19%

(1)寧；(2)-315°.

例5.將下列各角化成2kn+a(kGZ,0Wa<2n)的形式，并確定其所在的象限.

⑴？⑵一號(hào).

36

&力小19萬八7〃

解：(1)---=2乃4----,

36

而二7乃是第三象限的角，194是第三象限角.

63

公、31%,5%3br口4a.e八

(2)*/-----=-6?H-----------是第一?象限角.

666

例6.利用弧度制證明扇形而積公式5=LR,其中/是扇形弧長R是圓的半徑

2

證法一：?.?圓的面積為成2,.?.圓心角為1rad的扇形面積為」-成2,又扇形弧長為I,半徑為R,

2〃

扇形的圓心角大小為'rad,...扇形面積S=',R2=LR.

RR22

證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為S="仁，又此時(shí)弧長/=?竺,

360180

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔

得多.

扇形面積公式：S=g/R=3同改

7.課堂小結(jié)①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系與區(qū)另I」.

8.課后作業(yè)：

①閱讀教材P6-P8；

②教材巴練習(xí)第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題.

教學(xué)成敗得失及改進(jìn)設(shè)想：

課

后

反

思

中學(xué)教案2020年月日周星期

課題4T.2.1任意角的三角函數(shù)（三）

1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號(hào)、及誘導(dǎo)公式；

教知識(shí)目標(biāo)2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；

3.利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的

學(xué)

范圍。

目

掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)

標(biāo)能力目標(biāo)

的定義域、值域有更深的理解。

情感目標(biāo)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神

教學(xué)重點(diǎn)正弦、余弦、正切線的概念

教學(xué)難點(diǎn)正弦、余弦、正切線的利用

主要教法

教學(xué)媒體

復(fù)習(xí)引入:

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導(dǎo)公式

sin(2Z?+a)=sina*GZ)

cos(2^+a)=cosa伏GZ)

tan(2&;r+a)=tana(keZ)

練習(xí)itan600"的值是____________.D

A.--B.—C.-V3D乖

33

練習(xí)2若sinOcos。>0,貝|夕在________.B

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D(zhuǎn)第二、四象限

姑EQ若cos"0,且sin26<0則〃的終邊在____0

舜6.C

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第二象限

二、講解新課：

當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)尸(羽切的坐標(biāo)滿足了=i時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表

示一一三角函數(shù)線。

i.有向線段：

坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P(x,y)，

過尸作x軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A(l,0)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向延

(Ill)(IV)

由四個(gè)圖看出：

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OM=x,MP=y,于是有

.>yixx.yMPAT._

sina=—=—=y=MP,cosa=—=—=x=OM,tana=—=-----=-----=AT

r1r1xOMOA

我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為〃的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸

上；正切線在過單位圓與了軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段

中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂

足；正切線由切點(diǎn)指向與a的終邊的交點(diǎn)。

(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與*軸或丁軸同向的為正值，與*軸或y軸反向的

為負(fù)值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

4.例題分析：

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

解：圖略。

JT

例2.若Ova<—,證明sina+cosa>1.

2

例3.比較大?。?/p>

2424

(1)sin-TZ^sin—4(2)cos—TZ^COS—九

3535

24

(3)tan—tan—TI

例4.在［0,2捫上滿足sinxzg的x的取值范圍埴)

n5萬Ti27r5萬

A.B.-9------C.—,—D.-----9TC

hi-66__63_.6.

例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍.

(1)sinx<——;(2)cosx>—.

答案：(1)-----F2%乃<x<------F2女》,k&Zi(2)------F2k兀<x<—F2%乃，kGZ；

6666

三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.三角函數(shù)線的定義；

2.會(huì)畫任意角的三角函數(shù)線；

3.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。

五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料

例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：

.2萬.4萬2萬一44

1°sin——與sin——2°tan——與tan——

3535

解：如圖可知：

.2乃.4乃2乃4萬

sin—>sin—tan—<tan—

3535

例2.利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

V3

1°sina》一2°tana>----

23

解：1°2°

3O°^a^l5O°

30°<a<90?；?10。<a<270。

補(bǔ)充：1.利用余弦線比較cos64,cos285的大?。?/p>

TTTT

2.若一<。<一,則比較sin。、cos。、tan。的大小；

42

3.分別根據(jù)下列條件，寫出角9的取值范圍：

(1)cos0<—；(2)tan&>—1；(3)sin0>----.

22

教學(xué)成敗得失及改進(jìn)設(shè)想：

課

后

反

思

中學(xué)教案2020年月日周星期.

課題4-1.2.1任意角的三角函數(shù)(1)

1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

知識(shí)目標(biāo)2.已知角a終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角a的各三角函數(shù)值；

3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式

教(1)理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函

學(xué)(2)

能力目標(biāo)數(shù)；

目

(3)通過對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，

標(biāo)提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。

(1)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自

變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式；

情感目標(biāo)

(2)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精

神

任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各

教學(xué)重點(diǎn)

象限的符號(hào))，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)

利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他

教學(xué)難點(diǎn)

們的集合形式表示出來

主要教法

教學(xué)媒體

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？

在RtAABC中，設(shè)A對(duì)邊為a,B對(duì)邊為b,C對(duì)邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為

si.nA.=—a,cosA,=—匕,t，anAA=—。.

ccb

角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。

二、講解新課：

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P(除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為(x,y),它

與原點(diǎn)的距離為r(r=J|x『+|y|2="犬+9>()),那么

(1)比值上叫做a的正弦，記作sina，即sina=）；

rr

Xx

(2)比值上叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=—；

rr

(3)比值上叫做a的正切,記作tana,即tanaJ；

XX

Xx

(4)比值士叫做a的余切，記作cot二，即cota=」；

yy

說明：①a的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，Q的終邊沒有表明a一定是正角或負(fù)角，以及Q的大

小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置;

②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a,四個(gè)比值不以點(diǎn)P(x,y)在a的終邊上的位置

的改變而改變大??；

TT

③當(dāng)a='+A)(ZeZ)時(shí)，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)X都等于0,

所以tana=2無意義；同理當(dāng)a=■(左eZ)時(shí)，cota=三無意義;

④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值a,比值工、土、上、二分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，

rrxy

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函

數(shù)。

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

2.三角函數(shù)的定義域、值域y=cosaR[-1,1]

71

y=tana{a\a^—+k7i,keZ}R

注意：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.

(2)a是任意角，射線0P是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與ox轉(zhuǎn)了幾圈,

按什么方向旋轉(zhuǎn)到0P的位置無關(guān).

(3)sina是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“a”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.

(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形的性

質(zhì)，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐

標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳

角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系

的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角

三角函數(shù)類比記憶.

3.例題分析

例1.求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值:(通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)

,、34

(1)0；(2)71；(3)——.

2

解：(1)因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，x=r,y=0,所以

sin0=0,cosQ=1,tan0=0,cot0不存在。

(2)因?yàn)楫?dāng)。=%時(shí)，x=-r,y=0,所以

sin〃=0,COSTT=-1,tan萬=0,cot"不存在,

(3)因?yàn)楫?dāng)a=—時(shí)，x=0,y=—廠，所以

2

sin網(wǎng)=-1,cos、,tan包不存在,3九八

cot—=0,

2222

例2.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(2,-3),求。的四個(gè)函數(shù)值。

解：因?yàn)閤=2,y=—3,所以r=j22+(—3)2=而,于是

-3_3713x22V13

sma=—COS6Z=—=—7==

rrV1313

2_3x2

tana-2：cola=—=——,

xy3

例3.已知角。的終邊過點(diǎn)3,20(。W0),求a的四個(gè)三角函數(shù)值。

解：因?yàn)檫^點(diǎn)(a,2a)(a。0),所以廠=布|。|,x=a,y=2a

八門4.y2a2a2逐xa45a

當(dāng)a>OHTT,sina=—=—J=——=—^=-----cosa=—=—^=-----

rV51a|y/5a5ryJ5a5

c1

tana=2；COt6Z=5；

天.y2a2a2石

當(dāng)<a<OHj,sma=—=—f=——=—r=-=-------；

ryJ5\a\-yJ5a5

xa\[5a八1

cosa=—=—r=-=-------；tana=2;cota=—；.

r-yJ5a52

4.三角函數(shù)的符號(hào)

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：

①正弦值上對(duì)于第一、二象限為正(y>0/>0),對(duì)于第三、四象限為負(fù)(y<0,r>0)；

Y

②余弦值上對(duì)于第一、四象限為正(x>0,r>0),對(duì)于第二、三象限為負(fù)(x<0,r>0)；

r

③正切值上對(duì)于第一、三象限為正(x,y同號(hào))，對(duì)于第二、四象限為負(fù)(x,y異號(hào)).

X

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

練習(xí)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

7111〃

(1)cos250；(2)sin(--)；(3)tan(-672)；(4)tan-^-.

例4.求證：若sina<0且tan。>0,則角。是第三象限角，反之也成立。

5.誘導(dǎo)公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

sin(a+2k/r)=sina,

cos(a+2ki)=cosa,其中ZEZ.

tan(a+2%萬)=tana,

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0?2冗間角的三角函數(shù)值問題.

9萬1ITT

例5.求下列三角函數(shù)的值：(1)cos——，(2)tan(------),

46

Icosjdtanx

例6.求函數(shù)y=J——^+一^的值域

cosx|tanx|

解：定義域：cosxM.??x的終邊不在x軸上又TtanxM，x的終邊不在y軸上

???當(dāng)x是第I象限角時(shí)，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2

.............II..............,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanxy=-2

.............IIIIV..........,|cosx|—cosx|tanx|=tanx/.y=0

x>0,y<011'

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.任意角的三角函數(shù)的定義；2.三角函數(shù)的定義域、值域；3.三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。

五、鞏固與練習(xí)

1、教材P15面練習(xí)；

2、作業(yè)P20面習(xí)題1.2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)題。

教學(xué)成敗得失及改進(jìn)設(shè)想：

課

后

反

思

中學(xué)教案2020年月日—周星期

課題4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它

教知識(shí)目標(biāo)們之間的聯(lián)系；

學(xué)2.熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的方法。

目牢固掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，并能靈活運(yùn)用于解題，提

能力目標(biāo)

標(biāo)高學(xué)生分析、解決三角的思維能力

情感目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

教學(xué)難點(diǎn)三角函數(shù)值的符號(hào)的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用

主要教法

教學(xué)媒體

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)角a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離為

r(r=J|xP+1y|2=Jx2+y2>0),那么：sintz=—,cosa=—,tana=—,

rrx

2.當(dāng)角a分別在不同的象限時(shí)，sina、cosa、tga的符號(hào)分別是怎樣的？

3.背景：如果sinA=2,A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函數(shù)值；

5

4.問題：由于a的三角函數(shù)都是由x、y、r表示的，則角a的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

二、講解新課：

(-)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

(板書課題：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系)

1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

(1)商數(shù)關(guān)系：tana='吧(2)平方關(guān)系：sir?a+2a=i

cona

說明：

①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如sin24c+cos24c=l等；

②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如

k冗

tanacota=l(aw——,keZ)；

2

③對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用(正用、反用、變形用)，如：

i.2.212sinoc心如

cosa=±Vl-snra,sina=l-cos~a,cosa=----等。

tana

2.例題分析：

一、求值問題

12

例1.(1)已知sina=一，并且a是第二象限角,求cosa,tana,cota.

13

4人.

(2)已知cosa=一1，sina.tana.

22175

解：(Dvsincr+cosa=l/.cos2a=1-sin2a=1-(一)2=(一)2

1313

又???。是第二象限角,coscr<0,即有cosa=,從而

13

sina1215

tana=------=-----cota=------=------

cosa5,tana12

(2)Vsin26z+cos2cr=1,/.sin2a=1-cos2a=1-

4八

又cosa=——<0，???a在第二或三象限角。

5

3sina3

當(dāng)a在第二象限時(shí)，即有sina>0,從而sina=Ltana=-----

5cosa4

3sina3

當(dāng)。在第四象限時(shí)，即有sina<0,從而sina=——,tana=

5cosa4

總結(jié):

1.已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確

定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一

種。

2.解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①?zèng)]有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開

平方時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根。

例2.已知tana為非零實(shí)數(shù)，用tana表示sina,cosa.

心??.o21sina

解：?snra+cos-a=l,tana=------

cosa

]

(cosa-tan6z)24-cos2a=cos26Z(1+tan2a)=1,艮有cos2a

1+tan2a

又「tana為非零實(shí)數(shù)，??.a為象限角。

Jl+tan%

當(dāng)a在第一、四象限時(shí)，即有cosa>0,從而cosa

1+tan2a

tanajl+tarra

sma=tanscosa=-------------

1+tana

V1+tan2a

當(dāng)a在第二、三象限時(shí)，即有cosavO,從而cosa

1+tan2a

tanezVl+tan2a

sina=tana?cosa

1+tan2a

/門，?csin(9f-4cosa

例3、已知sma=2cosa,求------------2---2

5sina+2cosa/272sina+2sinacosa-cosa.

解：vsina=2cosa「.tana=2

sina-4cosatana-4-2

5sina+2cosa5tana+2126

強(qiáng)調(diào)(指出)技巧：1。分子、分母是正余弦的一次(或二次)齊次式

注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以cosa,將分子、分母

轉(zhuǎn)化為tana的代數(shù)式；

2°“化1法”

可利用平方關(guān)系sin2a+cos2g=l,將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)系化歸

為tana的分式求值；

小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：

(1)盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；

(2)盡量使分母不含三角函數(shù)式；

(3)根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；

(4)能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常將式子中的“1”作巧妙的變

形，

二、化簡___________

練習(xí)1.化簡Jl—sin?440.

2

解：原式=msin?(360+80)=71-sin80=向西f=cos80.

練習(xí)2.化簡銬+JF擎

V1+cosVI-cos02

三、證明恒等式

1-sinxcosx

證法一：由題義知cosxwO,所以1+sin尤w0,l-sinxw0.

.cosx(l+sinx)cosx(l+sinx)l+sinx.

??左邊=-----------------=--------------=--------=右邊.

(1-sinx)(l+sinx)cos-xcosx

???原式成立.

證法二：由題義知cosx工0,所以1+$抽1工0」一5抽工工0.

又?:(l-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x-cosx-cosx,

.cosx1+sinx

；?----；—=-------.

1—sinxcosx

證法三：由題義知cosxwO,所以1+5皿1。0,1—$皿工工0.

cosx14-sinxcosx-cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x八

---------------=----------------------------=---------------=0,

1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx1+sinx

?.-------=--------?

l-sinxcosx

總結(jié)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常用的

方法有：(1)從一邊開始，證明它等于另一邊；

(2)證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；

(3)證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及成立的條件；

2.根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值；

五、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)第五課時(shí)

參考資料

化簡，1-2sin40cos40

解：原式=Jsin240+cos240-2sin40cos40

=J(sin40-cos40)2=|cos40-sin40|=cos40-sin40.

思考1.已知sina+cosa=2(0<0<n),求tan0及sin'。一cos'。的值。

解：10由sinacosa=-—,0<0<K,得：COS0<00G(—,71)

252

c497

由(sina-cosa)~=不，得：sin0-cos0=—聯(lián)立：

r.4

sin。+cos。=—sin0A=—

5八4A

已=>tan0=——

sin0-cos0=—cos。43

[515

3333

2°sin0-cos0=(-)-(-|)=哉

4—2m

2、已知sina=±±",cosa=—―a是第四象限角，求tana的值。

m+5JTZ+5

.?.(匕網(wǎng))()

解：Vsin'a+cos2a=12+—2=1

m+5m+5

化簡，整理得：根(m—8)=0m,=0,根2=8

42

當(dāng)m=0時(shí)，sina=-,cosa=--,(與a是第四象限角不合)

12512

當(dāng)m=8時(shí)，sina=-——，cosa=—,/.tana=-----

13135

教學(xué)成敗得失及改進(jìn)設(shè)想：

課

后

反

思

中學(xué)教案2020年月日—周星期

課題1.3誘導(dǎo)公式(一)

一

教知識(shí)目標(biāo)⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

學(xué)

目(1)能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

標(biāo)能力目標(biāo)(2)掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡以及

.簡單三角恒等式的證明

，卜主咸日去一通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維

'國，3日杯品質(zhì)以及孜孜以求的探索精神等良好的個(gè)性品質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)掌握誘導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭

公式.

教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明

主要教法

教學(xué)媒體

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+cz)=cosatan(360°k+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(180°+a)=-sincrcos(180°+a)=-cosatan(180°+a)=tana

誘導(dǎo)公式(三)

sin(-cr)=-sinacos(-a)=cosatan