第35練 直線的方程、兩直線的位置關(guān)系-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練（新高考地區(qū)）（解析版）

第35練直線的方程、兩直線的位置關(guān)系

課本變式練+考點分類練+最新模擬練+高考真題練+綜合提升練

一、課本變式練

1.（人A選擇性必修一P57習(xí)題2.1T3變式）過點A（l,2）、8（-1,0）的直線的傾斜角為（）

A.45°B.135°C.1D.-1

【答案】A

2-0

【解析】過A、8的斜率為左=LTK=1,則該直線的傾斜角為45。，故選A.

2.（人A選擇性必修一P57習(xí)題2.1T1變式）設(shè)直線/的斜率為火，且-6<241,則直線/的傾斜角a的取

值范圍是（）

A［。?，卅7i~|（R2K）B.「,、兀）［3兀）

兀2兀、f71371

c-L^Tjd-li'T

【答案】A

【解析】因為直線/的斜率為％,且-⑺<上41,.?.-gvtanaWl,因為。40,兀），

???^^（彳,兀）」°,a.故選A.

3.（人A選擇性必修一P67習(xí)題2.2T7變式）已知直線辦+丫-2+。=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則實數(shù)。=

（）

A.1B.-1C.-2或1D.2或1

【答案】D

【解析】當(dāng)。=0時，直線y=2,此時不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)a=2時，直線/：2x+y=0,在x軸與y軸上

的截距均為0,符合題意；當(dāng)axO且由直線/:or+y-2+a=0可得：橫截距為縱截距為2-〃.

a

由2土—￡ci=2-4,解得：。=1.故。的值是2或1.故選D

a

4.（人A選擇性必修一P67習(xí)題2.2T9變式）已知ABC的三個頂點的坐標(biāo)為A（3,3）、8（2,-2）、C（-7,l）,

試求：

（DBC邊上的高所在的直線方程;

（2）ABC的面積.

-2-11

【解析】（1）因為的°=不大？=一三，則3C邊上的高的斜率為3,又經(jīng)過A點，故方程為>一3=3（%-3）,

化簡得3x-y-6=0.

（2）BC=7（2+7）2+（-2-1）2=3710,直線BC方程為y+2=-g（x-2）,整理得x+3y+4=0,則A到BC

的距離為叫"3：4|=4,貝k的面積為3廂*提=24.

VI+32VI02V10

二、考點分類練

（一）直線的傾斜角與斜率及直線方程

5.如圖，設(shè)直線4，/4的斜率分別為尢，網(wǎng)，內(nèi)，則勺，右，勺的大小關(guān)系為（）

A.k}<k2<k3B.kx<k3<k2

C.&<4v%D.k?<k2Vk、

【答案】A

【解析】由斜率的定義可知，.故選A.

6.直線/過點P（2,l）,且x軸正半軸、y軸正半軸交于AB兩點，當(dāng)AQB面積最小時，直線/的方程是（）

A.X+y-3=0B.2x+y-5=0

C.x+2y-4=0D.4x+y-9=0

【答案】c

【解析】根據(jù)題意，直線/不與X軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為4,則々<0,因此，直線/：y=Mx-2）+l,

令X=O則有％=1-2火，則8（0,l-2k）,令y=o則有/=2-：，則A（2-：,o]

此，S…料|0卸=:悶閭=3％=；（「2%）（2一：卜2—2"拼2+2卜吁蜀=4

當(dāng)且僅當(dāng)-2火=-:即女=時取等（舍去4=；）,-AC?面積最小值為4,此時/:y=-：（x-2）+l,即

/:x+2y-4=0.故選C.

（二）直線平行問題

7.若直線4：x-y+i=o與直線仆X+小y=0互相平行，則加的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】若宜線4：x-y+i=o與直線4：X+畋=0互相平行，?二解得m=-i

故選A.

8.（多選）已知直線/:mr+y-w+l=0M（l,2）,B（3,4）（則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在實數(shù)m,使得直線I與直線AB垂直

B.存在實數(shù)機，使得直線/與直線AB平行

C.存在實數(shù)m,使得點A到直線/的距離為4

D.存在實數(shù)m,使得以線段AI3為直徑的圓上的點到直線/的最大距離為J萬+夜

【答案】ABD

【解析】.直線/：”+y-m+l=0，41,2）,8（3,4）,.?.直線/的斜率為-〃?，直線A8的斜率為1,

故當(dāng)機=1時，直線/與直線垂直：當(dāng)機=T時，直線/與直線48平行，故AB正確；

（工一]=0/x—1

直線/:儂+），-m+1=0,即〃心=l）+y+l=0,令1-求得《"「可得直線經(jīng)過定點P（1,T）,

[y+l=0[y=-l

由于AP=3,故點A到直線/的最大距離為3,故C錯誤；

由于A（l,2）,B（3,4）,AB=J4+4=20，故以AB為宜徑的圓的圓心。（2,3）,

APC?=71716=717,故圓的半徑為&,圓心。到直線/的最大距離為J/，

故以線段A8為直徑的圓上的點到直線/的最大距離為JF7+近，故D正確，故選ABD.

9.若直線h2x+ay-2=0與直線3x-y+a=0平行，則直線4與4之間的距離為.

【答案】受

2

【解析】??,直線4與4平行，，彳2a-2解得。=一2,???直線小x—y—1=0,直線4：x—y—2=0,

1-1a

...直線4與12之間的距離d=士.

V1+12

（三）直線垂直問題

10.過點P（-1,2）且與直線x-2y+l=0垂直的直線方程為（）

A.2x+y+4=0B.2x+y=0

C.x+2>--3=0D.x-2y+5=0

【答案】B

【解析】直線x-2y+l=0的斜率號=；，因為/，/，，故/，的斜率即=-2,故直線「的方程為y-2=—2（x+l）,

即2x+y=。，故選B.

II.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距

離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知ABC的頂點4（2,0）,3（0,1）,且

AC^BC,則，ABC的歐拉線的方程為（）

A.2x+4y—3=0B.x—2y—3=0

C.2x-y-3=0D.4x-2y-3=0

【答案】D

【解析】：4C=BC,結(jié)合題意可知-ABC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線，的中點為

斜率G=-g,則48垂直平分線的斜率左=2,則一43c的歐拉線的方程為y-g=2（x-l）,即4x-2y-3=0

故選D.

12.（多選）已知兩點A（T,3）,B（2,l）,曲線C上存在點「滿足|網(wǎng)=|PB|,則曲線C的方程可以是（）

A.3%-y+l=0B.x2+y2=4

r2

C.---y2=\D./=3x

2）

【答案】BC

【解析】由解=|罔，知點P一定在的垂直平分線/上，如=-；，左/=-13=3

因為線段A8的中點坐標(biāo)為（T,2）,所以/的方程為y-2=3（x+l）=y=3x+5.則滿足條件的曲線C要與/有

交點.3x-y+l=0與/平行，故無交點，選項A錯誤；r+V=4是圓心為（0,0）,半徑r=2的圓，圓心到直

,|5|回、代—=1

線/的距離為"=/；,=丁<2,故有線與圓相交，故B正確;把直線/與雙曲線進行聯(lián)立，2>

4（T）+3-[y=3x+5

得17丁+60彳+52=0，A=3600—4x17x52=3600—3536>0,所以/與雙曲線存在交點.故選項C正確；

將直線/的方程代入V=3x,得丁=>_5,方程無實數(shù)解.故拋物線V=3x與直線/無交點.故選項D錯誤；

故選BC.

(四)距離問題

13.已知4-2,0),B(4,a)兩點到直線/:3x-4y+l=0的距離相等,則“=()

9Q

A.2B.-C.2或-8D.2或―

22

【答案】D

【解析】因為A(-2,0),B(4,a)兩點到直線/：3x—4y+l=0的距離相等,

|3x(-2)+0x(-4)+l|_|3x4-4o+l|..o

所以有=|13-4a|=5=>q=2,或a.故選D

732+M)2的+㈠產(chǎn)

14.已知三條直線4：2》-曠+〃=03>0),/2：-4》+2丫+1=0和小方+丫-1=0,且《與/，的距離是撞.

'10

⑴求〃的值；

(2)能否找到一點P,使同時滿足下列三個條件：①點尸是第一象限的點；②點尸到4的距離是點P到4的距

離的③點P到4的距離與點P到4的距離之比是血:石，若能，求點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

【解析】(1)因為/,可化為2x-y-1=0,所以4與/，的距離為〃“一775.

2公君再=而

因為。>0,所以a=3.

(2)設(shè)存在點P(%,%)滿足，則點尸在與4，4平行直線/'：2x-y+c=o上.

且I。-3|_1\+2|,即。="或c=U.

函=5方26

B11

所以滿足條件②的點滿足為-%+萬=°或+不=0.

|2%—%+3|=0區(qū)+%-1|

若點尸滿足條件，由點到直線的距離公式，有

Vs一石&

所以玉,-2%+4=0或3%+2=0,因為點尸在第一象限，所以3%+2=0不成立.

x=-3

13°011

聯(lián)立方程2%)-%+彳=0和%-2%+4=0,解得.1（舍去），聯(lián)立方程2x（）—%+二~=0和

%=26

X。=—

I'所以「137

-=0,解得即為同時滿足條件的點.

9,18

(五)對稱問題

15.(2022屆湖北省龍泉中學(xué)、宜昌一中、荊州中學(xué)等四校高三下學(xué)期一模)已知從點(-5,3)發(fā)出的一束光

線，經(jīng)X軸反射后，反射光線恰好平分圓：(》-1)2+()，-1)2=5的圓周，則反射光線所在的直線方程為()

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3x-2y+l=0D.3x—2y—1=0

【答案】A

【解析】設(shè)點A的坐標(biāo)為(-5,3),圓(了-1)2+(丫-1)2=5的圓心坐標(biāo)為8。,1),設(shè)C(x,0)是x軸上一點，因為

反射光線恰好平分圓(x-l)2+(y-l>=5的圓周，所以反射光線經(jīng)過點8(1,1),由反射的性質(zhì)可知：

怎c+凝0=0=與9+尸=0=》=-2,于是&c=17T=§，所以反射光線所在的直線方程為：

-5-x\-x2

21

y=-(x+-)=>2x-3y+1=0,故選A

42345

16.已知(a+x)(l+x)=a0+ayx+a2x+a3x+a4x+a5x,若點(1,-1)關(guān)于直線x+y=4的對稱點坐標(biāo)為

(5,a),貝?。輖+%+%=.

【答案】32

【解析】若點(1,-1)關(guān)于直線x+y=4的對稱點坐標(biāo)為(5,〃),所以兩點的中點(+,言@)在直線x+y=4

上，所以H—=4，解得。=3.所以(a+x)(l+X)，=4+qx+//+//+為/+為x\

4是X的系數(shù),4是七的系數(shù)，的是內(nèi)的系數(shù)，對于(1+X『第,項為

令k=0或攵=1時，有C4-x°-X+3C]-x1=x+12x=13x,

所以4=13;令％=2或％=3時,有3。1工2._￥+3。：./=12工3+6/=19/,

所以％=18；令憶=4時，有C：?/.x=d,所以〃§=1；所以4+°3+。5=13+18+1=32.

17.在直線I：3x-y-l=0上求點P和Q,使得

⑴點P到點A（4,l）和B（0,4）的距離之差最大；

⑵點Q到點A（4』）和C（3,4）的距離之和最小.

【解析】（1）如圖所示，設(shè)點8關(guān)于/的對稱點夕的坐標(biāo)為（。，b）,

h_A

則"8也=-1,即3x——=-1,；.a+3b—12=0.①

a

線段BE的中點坐標(biāo)為（名號）且中點在直線,上，

/.3x---------1=0,即3。一h-6=0.②

22

解①?得。=3,》=3,二夕（3,3）.

于是直線A夕的方程為三一=三，即2x+y-9=0.

3-13-4?

（"3x-y-l=0（x=2_-

解工c八得（c即/與直線AB，的交點坐標(biāo)為尸（2,5），且此時點尸到點A,B的距離之差最大.

[2x+y-9=0[y=5

（2）如圖所示，設(shè)點C關(guān)于/的對稱點為C,

（324、

求出C的坐標(biāo)為所在直線的方程為19x+17），-93=0,

解得直線AC和/交點坐標(biāo)為[9,半），故。點坐標(biāo)為[9,T），且此時點「到點A，C的距離之和最小.

三、最新模擬練

18.（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學(xué)期診斷）已知直線4：2x+y+2=0,，2：2x+y=0,則4與4間的

距離為（）

A.巫B.叱C.72D.正

552

【答案】A

【解析】由平行線間的距離公式可知，4與4間的距離為-■匕一。，=攣.故選A.

V22+l25

19.（2022屆浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知點M（L2）是圓C:/+）,2=/內(nèi)一點，直線

/是以例為中點的弦所在的直線，直線機的方程為2x-y=/,那么（）

A.加且根與圓C相切B.”/機且小與圓C相切

C./_1，"且加與圓（7相離D./〃加且根與圓C相離

【答案】C

【解析】由點加（1,2）是圓C:x2+y2=z^R-點得戶＞5.所以圓心C（0,0）到直線m：2x-y=產(chǎn)的距離為

廠廠9—0

4=方＞#=r.故直線m與圓C相離.另一方面，直線CM的斜率為冷=2,而直線/以M為中點,

故直線CMJJ.又直線山的斜率也是2,所以CM//W,所以/J_m.故選C.

20.（2022屆湖北省襄陽市第五中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試）過點P（l,2）作曲線C：y=g的兩條切線，切

點分別為A,B,則直線AB的方程為（）

A.2x+y-8=0B.2x+y-4=0

C.2x+y-4=0D.x+2y—4=0

【答案】A

A4

【解析】設(shè)A（A,，X）,以町必），y'=-W，所以在A點處的切線方程為y-y=—-（x-xJ,將尸（1,2）代

xx]

44

入得2-乂=一百（1-%），因為％=工，化簡得2再+乂一8=0,同理可得2々+%—8=0,所以直線AB的方

程為2x+y-8=0,故選A.

21.（多選）（2022屆廣東省廣州市鐵一中學(xué)等三校高三三模）下列說法正確的是（）

「乃]「5萬、

A.直線xcos6+百y+2=0的傾斜角的范圍是0,—U—，^

66）

B.直線（3+間x+4y—3+3m=0（機ER）恒過定點（-3,-3）

C.曲線￡：/+丁2+2工=。與曲線。2.?/+'2一4x-8y+m=0恰有三條公切線，則〃?=4

D.方程師工777-后討77=6表示的曲線是雙曲線的右支

【答案】ACD

【解析】對于A,直線的斜率欠=-冬05同半坐，.??直線的傾斜角的范圍是[0,久）年㈤，故A正確；

[x+3=0[x=—3

對于B：直線方程整理為：zn（x+3）+（3x+4y-3）=0,由?！啊０?，解得。，故該直線恒

[3x+4y-3=0[y=3

過定點（-3,3）,故B錯誤；對于C,\?曲線￡:。+1＞+丫2=1曲線C”（x-2）2+（y_4）2=20-機有三條公切線,

兩條曲線均為圓，故20一機>0,即,〃<20,且兩圓的位置關(guān)系為外切，故圓心距

22

J=|C,C2|=X/（2+1）+4=5=720^+1,解得：m=4,故C正確：對于D,設(shè)P（x,y）,A（-4,0）,8（4,0）,

則方程等價為I尸川-|尸8|=6<|筋|=8,則根據(jù)雙曲線的定義可知，P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右

支，故D正確；故選ACD.

22.（多選）（2022屆重慶市中學(xué)高三二診）己知圓M:（x+cos6）2+（），-sine）2=l,直線/：y="，

下面四個命題，其中真命題是（）

A.對任意實數(shù)％與。，直線/與圓M相切

B.對任意實數(shù)A與6,直線/與圓M有公共點

C.對任意實數(shù)。，必存在實數(shù)3使得直線/與圓M相切

D.對任意實數(shù)火，必存在實數(shù)0,使得直線/與圓M相切

【答案】BD

【解析】由題意知，圓心坐標(biāo)（-cos。,sin。），半徑為1,圓心M到直線/的距離為

,|一人cos。一sin0|Jl+公|sin（6+a）|..zz,.,,/廿~,、口--，-缶小,皿，,八，八一

d=-----,--------=------,---------二|sin（6+a）|”1（其中tana=Z）,所以對任意頭數(shù)％與直線/與

Vi+FVi+F

圓M有公共點，且對任意實數(shù)h必存在實數(shù)，，使得直線/與圓M相切.故選BD.

23.（2022屆上海市徐匯區(qū)高三二模）已知meR,若直線小，nx+y+l=0與直線4：9x+my+2機+3=0平

行，則>=.

【答案】3

[w2-9xl=0

【解析】因為直線4：，依+y+l=0與直線，2：9X+,町+2機+3=0平行，所以，小Q,,解得帆=3

[1x（2機+3）工〃?xl

24.（2022屆江西省九江市高三第一次高考模擬）若a,匕為正實數(shù)，直線2x+（2a-4）y+l=0與直線

26x+y-2=0互相垂直，則外的最大值為.

【答案】|

【解析】由兩直線垂直得劭+為—4=0,即2=。+?22缶^，ab<^,當(dāng)艮僅當(dāng)。=1,人=；時，等號成

立，故湖的最大值為g.

四、高考真題練

2

25.（2018高考全國卷乙）已知雙曲線C:土-丁=],。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為1C的右焦點，過F的

3

直線與C的兩條漸近線的交點分別為N.若AOMN為直角三角形，則

）

3

A.-B.3C.273D.4

2

【答案】B

x2

【解析】雙曲線C:一一V?=1的漸近線方程為:y^±—x,漸近線的夾角為：60，不妨設(shè)過尸（2,0）

3'

了=百（》-2）y=6（X-2）

的直線為：y=G（x-2）,則＜外解得：7V（3,-V3）,則

百解得M

y=——xy=----x

I33

2

1網(wǎng)=卜|I+=3，故選B.

26.（2022新高考全國卷I）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),/14',89,比',。。'是桁,相鄰桁的水平距離

稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。A，CG，8綜是舉,

DD.ncCC,,BB,,AA,

。2，。6，。片,氏41是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為奈=0.5,號=匕,聚=內(nèi),工；=女3.已知

（JD、￡/C|C/）|n/i|

%段,％成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則/=

【答案】D

【解析】設(shè)。。=34=1,則=內(nèi),朋=%，因為匕，&，/成公差為01的等差

DE),+CC,+BB,+AA,-

數(shù)列，所以勺=&-0.2,乂=&-0.1.因為OA的斜率為0.725,所以鼠)/0；=0.725.

L)

UU}+UC|++A]

所以0.5+弘3-。3=0725故卜=0.9，故選D.

4

五、綜合提升練

27.當(dāng)用變化時，不在直線(1-/)x+2,町，-2八〃-2=0上的點構(gòu)成區(qū)域G,尸(x,y)是區(qū)域G內(nèi)的任意一點，

373

則22)的取值范圍是

y/iy/x2+y2

A.(1,2)B.C.(；，l)D.(2,3)

【答案】C

【解析】令x=1,y=石，代入直線方程有1-/-2=0而+1=o,無解，故(1,⑹是區(qū)域G內(nèi)的點，將(1,6)

32^,63r:(/r\

代入值為坦，故排除AD選項.若［［彳)'=1,不妨設(shè)x=1,代入解得y=叱，將L-

6.&+92行&+y231J

代入直線方程化簡得蘇+竽加+1=0,其判別式為A=與-4>0,有解，故",不在區(qū)域G內(nèi)，故

36

—X+—V

22.-一排除8選項.綜上所述，故選C.

y/3-^x2+y2

28.(2022屆重慶市縉云教育聯(lián)盟高三第二次診斷性檢測)設(shè)直線系M:xcosO+(y-2)sin6=l(0“42;r),

則下列命題中是真命題的個數(shù)是()

①存在一個圓與所有直線相交；

②存在一個圓與所有直線不相交；

③存在一個圓與所有直線相切；

④M中所有直線均經(jīng)過一個定點；

⑤不存在定點戶不在M中的任一條直線上；

⑥對于任意整數(shù)〃(“23),存在正“邊形，其所有邊均在W中的直線上；

⑦M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】根據(jù)直線系"：xcos6+（y-2）sine=l（O40V2萬）得至U，

所有直線都為圓心為（0,2）,半徑為1的圓的切線.

對于①，可取圓心為（0,2）,半徑為2的圓，該圓與所有直線相交，所以①正確；

對于②，可取圓心為（0,2）,半徑為3的圓，該圓與所有直線不相交，所以②正確；

對于③，可取圓心為（0,2）,半徑為1的圓，該圓與所有直線相切，所以③正確；

對于④，所有的直線與一個圓相切，沒有過定點，所以④錯誤；

對于⑤，存在（0,2）不在M中的任一條直線上，所以⑤錯誤；

對于⑥，可取圓的外接正三角形，其所有邊均在M中的直線上，所以⑥正確；

對于⑦，可以在圓的三等分點做圓的三條切線，把其中一條切線平移到過另外兩個點中點時，也為正三角

形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯誤；

故①②③⑥正確，④⑤⑦錯，所以真命題的個數(shù)為4