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文檔簡介

2023-2024學(xué)年山東平陰一中高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.2.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.64.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.5.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實數(shù)的最小值為()A. B. C. D.6.在聲學(xué)中,聲強級(單位:)由公式給出,其中為聲強(單位:).,,那么()A. B. C. D.7.若,,,點C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.8.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.9.已知實數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C. D.10.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.311.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.412.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記等差數(shù)列和的前項和分別為和,若,則______.14.已知命題:,,那么是__________.15.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,點P是上底面三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點的直角坐標.18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期;(II)若α∈(π6,π)且f(19.(12分)已知圓,定點,為平面內(nèi)一動點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,設(shè)動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程(2)過點的直線與交于兩點,已知點,直線分別與直線交于兩點,線段的中點是否在定直線上,若存在,求出該直線方程;若不是,說明理由.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.21.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點,且與軸相交于點.(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求證:.(2)討論函數(shù)的極值;(3)是否存在實數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

首先由題意得,當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.2、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因為恒成立,故可以推出且,若成立,當時,有,當時,有,因為恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先求出,再由,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得.【詳解】由題可知,因為,所以有,得,故選:C.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題,涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式,向量垂直的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題目.4、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標運算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.5、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值.【詳解】因為不等式有正整數(shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當時,,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當時,,故,解得.故選:A.【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.6、D【解析】

由得,分別算出和的值,從而得到的值.【詳解】∵,∴,∴,當時,,∴,當時,,∴,∴,故選:D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.8、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù).9、C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對于實數(shù),,不成立對于不成立.對于.利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點睛】利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法.10、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當時,令,得;當時,令,得,故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1.考點:程序框圖.12、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項公式,進而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當時,取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以,即,又,所以公差,所以,即,因為函數(shù),在時,單調(diào)遞減,且;在時,單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式及等差中項的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、真命題【解析】

由冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】已知命題:,,因為在上單調(diào)遞增,則,所以是真命題,故答案為:真命題【點睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題16、π.【解析】

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O',分別取AC、A1C1的中點O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題,根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

利用極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為,所以,所以曲線的直角坐標方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化,考查學(xué)生的計算能力,是一道容易題.18、(I)π;(II)-【解析】

(I)化簡得到fx(II)f(α2)=2sin【詳解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π),故α+故α+π12∈sin(2α+【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期,三角恒等變換,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1);(2)存在,.【解析】

(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點為,取關(guān)于軸的對稱點,連接,計算得到,故軌跡為橢圓,計算得到答案.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程得到,,計算,得到答案.【詳解】(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點為,則,取關(guān)于軸的對稱點,連接,故,所以點的軌跡是以為焦點,長軸為4的橢圓,其中,曲線方程為.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),直線的方程為,同理,所以,即,聯(lián)立,所以,代入得,所以點都在定直線上.【點睛】本題考查了軌跡方程,定直線問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1),;(2).【解析】

(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標方程;(2)聯(lián)立極坐標方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標方程為:.轉(zhuǎn)換為極坐標方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為:,化為一般式得化為極坐標方程為:.

(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.21、(1)或;(2)見解析【解析】

(1)由已知條件利用點斜式設(shè)出直線的方程,則可表示出點的坐標,再由的關(guān)系表示出點的坐標,而點在橢圓上,將其坐標代入橢圓方程中可求出直線的斜率;(2)設(shè)出兩點的坐標,則點的坐標可以表示出,然后直線的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程,消元后得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,再結(jié)合直線的方程,化簡可得結(jié)果.【詳解】(1)由條件可知直線的斜率存在,則可設(shè)直線的方程為,則,由,有,所以,由在橢圓上,則,解得,此時在橢圓內(nèi)部,所以滿足直線與橢圓相交,故所求直線方程為或.(也可聯(lián)立直線與橢圓方程,由驗證)(2)設(shè),則,直線的方程為.由得,由,解得,,當時,,故直線恒過定點.【點睛】此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過定點問題,計算過程較復(fù)雜,屬于難題.22、(1)證明見解析;(2)見解析;(3)存在,1.【解析】

(1),求出單調(diào)區(qū)間,進而求出,即可證明結(jié)論;(2)對(或)是否恒成立分類討論,若恒成立,沒有極值點,若不恒成立,求出的解,即可求出結(jié)論;(3)令,可證恒成立,而,由(2)得,在為減函數(shù),在上單調(diào)遞減,在都存在,不滿足,當時,設(shè),且,只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【詳解】(1),,,當時,,當時,,∴,故.(2)由題

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