二次函數(shù)的應(yīng)用第2課時(shí)拋物線型問(wèn)題課件北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

2.4二次函數(shù)的應(yīng)用第2課時(shí)拋物線型問(wèn)題九年級(jí)下

北師版1.會(huì)建立二次函數(shù)的模型，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題．2.利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問(wèn)題．3.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．學(xué)習(xí)目標(biāo)難點(diǎn)重點(diǎn)生活中我們可以看到很多拋物線形的物體，比如拱橋、噴泉、隧道等.新課引入將一個(gè)物體拋向空中，時(shí)間與高度將成二次函數(shù)關(guān)系，那么你想知道該物體最多可以拋多高嗎？一

利用二次函數(shù)解決實(shí)物拋物線形問(wèn)題例1如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m.水面下降1m，水面寬度增加多少？新知學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù).怎樣建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式更簡(jiǎn)單？Oy=ax2+bxy=ax2+bxy=ax2y=ax2+c(2,2)(4,0)O(-2,-2)(2,-2)O(-2,2)(-4,0)O(-2,0)(2,0)(0,2)怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？以拱頂為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系y=ax2O(-2,-2)(2,-2)解：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2.當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為－3.當(dāng)

y=-3時(shí)，-x2=-3,解得

x1=，x2=-(舍去).這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝－x2.由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

2,-2

)，可得-2＝a×22，a＝-所以當(dāng)水面下降

1m

時(shí)，水面寬度為

m.水面下降

1m，水面寬度增加

m.O(-2,-2)(2,-2)歸納解決拱橋問(wèn)題的一般步驟：(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)把已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理設(shè)出函數(shù)解析式；(4)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(5)根據(jù)求得的解析式進(jìn)一步分析、判斷并進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形

OABC的長(zhǎng)是12m，寬是4m，按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y＝-

x2+2x+c表示．（1）請(qǐng)寫(xiě)出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；解：（1）根據(jù)題意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝﹣x2+2x+c得c＝4，所以拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+4.（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？∴這輛貨車(chē)能安全通過(guò).（2）拋物線解析式為y＝

x2+2x+4

＝

(x﹣6)2+10，∴對(duì)稱軸為x＝6，由題意得貨運(yùn)汽車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為(2,0)或(10,0)，當(dāng)x＝2或

x＝10時(shí)，y＝>6，2.

如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬AB=20m，當(dāng)水位上升3m時(shí)，水面寬CD=10m.（1）按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2（a不等于0），橋拱最高點(diǎn)O到水面CD的距離為h米.則D（5，-h），B（10，-h-3），

∴拋物線的解析式為y=解得（2）有一條船以5km/h的速度向此橋徑直駛來(lái)，當(dāng)船距離此橋35km時(shí)，橋下水位正好在AB處，之后水位每小時(shí)上漲0.25m，當(dāng)水位達(dá)到CD處時(shí)，將禁止船只通行.如果該船的速度不變，那么它能否安全通過(guò)此橋？（2）由題意，得船行駛到橋下的時(shí)間為：35÷5=7小時(shí)，水位上升的高度為：0.25×7=1.75米.當(dāng)h=-4＋1.75=-2.25米時(shí)，∴-2.25=

,∴x=±7.5，-7.5不符合題意，（舍去），∴2x=15>10.∴水面寬是15米，它能安全通過(guò)此橋.二

利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中拋物線型問(wèn)題可以借助函數(shù)圖象解決這個(gè)問(wèn)題．畫(huà)出函數(shù)h＝30t－5t2(0≤t≤6)的圖象(如圖)．t/sh/mO1234562040h=30t-5t2可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分．這條拋物線的頂點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)，也就是說(shuō)，當(dāng)t取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值．因此，當(dāng)t＝

時(shí)，h有最大值

也就是說(shuō)，小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3s時(shí)，小球最高．小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是45m.一般地，當(dāng)a＞0（a＜0）時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是最低（高）點(diǎn)，也就是說(shuō)，當(dāng)x=時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最?。ù螅┲滴覀?cè)賮?lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題吧例2如圖,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從點(diǎn)O正上方2米的點(diǎn)A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(米)與運(yùn)行的水平距離x(米)滿足解析式y(tǒng)=a(x-6)2+h,已知球網(wǎng)與點(diǎn)O的水平距離為9米,高度為2.43米,球場(chǎng)的邊界距點(diǎn)O的水平距離為18米.(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的函數(shù)解析式.分析：利用h=2.6,球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,將點(diǎn)(0,2)代入解析式求出即可.解：∵h(yuǎn)=2.6，球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,∴拋物線y=a(x-6)2+h過(guò)點(diǎn)(0,2)，

∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a=-,故y與x的函數(shù)解析式為y=-(x-6)2+2.6.(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過(guò)球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：利用當(dāng)x=9時(shí),y=-(x-6)2+2.6=2.45,當(dāng)y=0時(shí),-(x-6)2+2.6=0,分別得出結(jié)果.所以球能過(guò)球網(wǎng);

故會(huì)出界.解：當(dāng)x=9時(shí),y=-(x-6)2+2.6=2.45>2.43,當(dāng)y=0時(shí),-(x-6)2+2.6=0,解得:x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),(3)若球一定能越過(guò)球網(wǎng),又不出邊界.則h的取值范圍是多少?分析：根據(jù)當(dāng)球正好過(guò)點(diǎn)(18,0)時(shí),拋物線y=a(x-6)2+h還過(guò)點(diǎn)(0,2),以及當(dāng)球剛能過(guò)網(wǎng),此時(shí)函數(shù)圖象過(guò)(9,2.43),拋物線y=a(x-6)2+h還過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)分別得出h的取值范圍,即可得出答案.(3)當(dāng)球正好過(guò)點(diǎn)(18,0)時(shí),拋物線y=a(x-6)2+h還過(guò)點(diǎn)(0,2),當(dāng)球剛能過(guò)網(wǎng),此時(shí)函數(shù)圖象過(guò)(9,2.43),拋物線y=a(x-6)2+h還過(guò)點(diǎn)(0,2),代入解析式得代入解析式得此時(shí)二次函數(shù)解析式為y=-(x-6)2+,此時(shí)球若不出邊界，則h≥

；故若球一定能越過(guò)球網(wǎng),又不出邊界,h的取值范圍是:h≥.此時(shí)球要過(guò)網(wǎng)，則h≥,1.如圖，某學(xué)生推鉛球，鉛球出手（點(diǎn)A處）的高度是0.6m，出手后的鉛球沿一段拋物線運(yùn)行，當(dāng)運(yùn)行到最高3m時(shí)，水平距離x=4m．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；解：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得0.6=a（0-4）2+3，解得針對(duì)訓(xùn)練(2)該同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？解：當(dāng)y=0時(shí)，解得（舍去）.答：該男同學(xué)把鉛球推出去(4+2)m遠(yuǎn)．2.跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．一名運(yùn)動(dòng)員起跳后，他的飛行路線如圖所示，當(dāng)他的水平距離為15m時(shí)，達(dá)到飛行的最高點(diǎn)C處，此時(shí)的豎直高度為45m，他落地時(shí)的水平距離（即OA的長(zhǎng)）為60m，求這名運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的豎直高度（即OB的長(zhǎng)）．∵與x軸交于點(diǎn)A(60,0)，解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x﹣h)2+k，根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(15,45)，∴y＝a(x-15)2+45，∴0＝a(60-15)2+45，∴這名運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的豎直高度為40米．解得：a＝-∴解析式為

y＝-

(x﹣15)2+45，令x