應(yīng)用舉例課件人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

28.2.2應(yīng)用舉例

——第二十八章銳角三角函數(shù)教學(xué)目標01.了解俯角、仰角、方位角、坡度、坡角等相關(guān)概念

重點02.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并運用解直角三角形求解

重難點

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解直角三角形，在Rt△ABC中除直角外的五個元素之間有什么聯(lián)系？（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°

（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（3）邊角之間的關(guān)系：上節(jié)課我們還對除直角外的五個元素中知道幾個元素可以解直角三角形進行了討論在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一個是邊），可求出其余的未知元素（知二求三）下面我們開始本節(jié)課的學(xué)習(xí)，解直角三角形在實際問題中的應(yīng)用2012年6月18日，“神州”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接.“神州”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行.如圖，當組合體運行到離地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少（地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)）？探究一【問題1】這個實際問題可以抽象成數(shù)學(xué)圖形嗎？可以抽象為以地球中心為圓心、地球半徑為半徑的⊙O的有關(guān)問題.【問題2】當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點是視線與地球相切時的切點，即點Q.【問題3】在圖中，最遠點與P點的距離可以用什么表示？【分析】從組合體中能直接看到的地球表面最遠點，是視線與地球相切時的切點．如圖，本題可以抽象為以地球中心為圓心、地球半徑為半徑的⊙O的有關(guān)問題：其中點F是組合體的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點Q是從組合體中觀測地球時的最遠點，

的長就是地球表面上P，Q兩點間的距離．為計算

的長需先求出∠POQ(即α)的度數(shù)OFPQFQ是☉O的切線，∠FQO為直角.最遠點求PQ的長，要先求∠POQ的度數(shù)⌒解：設(shè)∠POQ=α

，F(xiàn)Q是☉O的切線，△FOQ是直角三角形.∴的長為熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？探究二【提問】什么是俯角、仰角？眼睛水平線視線視線仰角俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角.俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的是俯角熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？探究二【分析】在圖中，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC．探究二解：如圖，a=30°，β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.【歸納】解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題的方法：根據(jù)仰角、俯角的定義畫出水平線、視線，找準仰角、俯角，結(jié)合題意，從實際問題情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形的方法進行解答.探究三如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處.這時，B處距離燈塔P有多遠（結(jié)果取整數(shù))？65°34°PBCA【提問】同學(xué)們對方向角有什么了解？方向角：指北或指南的方向線與目標線所成的小于90°的角叫做方向角.如圖所示30°45°BOA東西北南45°45°西南O東北東西北南西北東南探究三65°34°PBCA解：如圖，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130nmile．如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形ABCD，AF=DE=6m.斜面坡度i=1：1.5是

指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比，斜面坡度i=l：3是指DE與CE

的比.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求：

（1）坡角α和β的度數(shù)；

（2）斜坡AB的長（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.探究四αlhi=h:l1.坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角，一般用字母α，β，γ表示2.坡度(或坡比)坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，通常用i表示，

即i=h:l

.坡面水平面坡度等于坡角的正切值，即,坡度越大，則坡角越大，山坡就越陡【提問】什么是坡角？什么是坡度？探究四【分析】利用坡度等于坡角的正切值即可求出坡角α和β的度數(shù)；在Rt△ABF中，由勾股定理或三角函數(shù)定義可得AB的長.解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°（2）∵AF=6m∴BF=1.5×6=9m在Rt△AFB中，≈10.8∴斜坡AB的長為10.8m.【歸納】利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般步驟（1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)問題中的條件，選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；