高中立體幾何題型分類訓(xùn)練(附詳細(xì)復(fù)習(xí)資料)

立體幾何題型分類解答第一節(jié)空間簡潔幾何體的結(jié)構(gòu)與三視圖、直觀圖與其表面積和體積一、選擇題1．(2009年綿陽月考)下列三視圖所對(duì)應(yīng)的直觀圖是()2．(2010年惠州調(diào)研)下列幾何體(如下列圖)各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④3．如下圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)正確的是()①長方體②圓錐③三棱錐④圓柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④4．(2009年常德模擬)用單位立方塊搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如下圖所示，則它的體積的最小值與最大值分別為()A．9與13B．7與10C．10與16D．10與155．(2009年山東卷)一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．2π＋2\r(3)B．4π＋2\r(3)C．2π＋\f(2\r(3),3)D．4π＋\f(2\r(3),3)二、填空題6．在下列圖的幾何體中，有個(gè)是柱體．7．(2009年全國卷)直三棱柱－A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若＝＝1＝2，∠＝120°8．一個(gè)長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別為\r(2)、\r(3)、\r(6)，這個(gè)長方體對(duì)角線的長是．三、解答題9.如右圖所示，在正三棱柱—A1B1C1中，＝3，1＝4，M為1的中點(diǎn)，P是上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱1到M的最短路途長為\r(29)，設(shè)這條最短路途與1的交點(diǎn)為N.求：(1)該三棱柱的側(cè)面綻開圖的對(duì)角線長；(2)和的長．10.一幾何體的表面綻開圖如右圖，則這個(gè)幾何體是哪一種幾何體？選擇適當(dāng)?shù)慕嵌?，畫出它水平放置時(shí)的直觀圖與三視圖．并計(jì)算該幾何體的體積．參考答案1．C2．解析：正方體的三視圖都相同，而三棱臺(tái)的三視圖各不相同，正確答案為D.答案：D3．A456．解析：柱體包括棱柱與圓柱，圖中第①，③，⑤，⑦個(gè)幾何體都是柱體．答案：47．解析：在△中＝＝2，∠＝120°，可得＝2\r(3)，由正弦定理，可得△外接圓半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在△′中，易得球半徑R＝\r(5)，故此球的表面積為4πR2＝20π.答案：20π8．解析：不妨設(shè)三棱長為a，b，c，則＝\r(2)，＝\r(3)，＝\r(6)，解得＝\r(6)從而a＝\r(2)，b＝1，c＝\r(3)，其對(duì)角線長為\r(a2＋b2＋c2)＝\r(6).答案：\r(6)9．解析：(1)該三棱柱的側(cè)面綻開圖為一邊長分別為4和9的矩形所以對(duì)角線長為\r(42＋92)＝\r(97)；(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱1綻開，如右圖，設(shè)的長為x，則2＝2＋(＋x)2，因?yàn)椋絓r(29)，＝2，＝3，所以x＝2即的長為2，又因?yàn)椤嗡診f()＝\f()即\f(2,5)＝\f(,2)，所以＝\f(4,5).留意：幾何體中，沿側(cè)面上的最短線路問題?？紤]幾何體的側(cè)面綻開圖或表面綻開圖來考慮．10．解析：該幾何體為四棱錐，底面是正方形，有一條側(cè)棱與底面垂直，(直觀圖，三視圖略)其體積為：\f(1,3)×6×6×6＝723.其次節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理一、選擇題1．下列四個(gè)命題：①分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線②和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條③和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面④若a與b是異面直線，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線其中是真命題的個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．2．以下命題中：①點(diǎn)A，B，C∈直線a，A，B∈平面α，則C∈α；②點(diǎn)A∈直線a，a?平面α，則A∈α；③α，β是不同的平面，a?α，b?β，則a，b異面；④三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；⑤空間有四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中無三點(diǎn)共線．真命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．23．對(duì)于空間三條直線，有下列四個(gè)條件：①三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．(2008年四川延考)在正方體－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點(diǎn)，則A1B與D1E所成角的余弦值為(\f(\r(5),10)\f(\r(10),10)\f(\r(5),5)\f(\r(10),5)5．(2008年全國卷Ⅱ)已知正四棱錐S－的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是的中點(diǎn)，則，所成的角的余弦值為()\f(1,3)\f(\r(2),3)\f(\r(3),3)\f(2,3)二、填空題6．空間內(nèi)五個(gè)點(diǎn)中的隨意三點(diǎn)都不共線，由這五個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)只構(gòu)造出四個(gè)三棱錐，則這五個(gè)點(diǎn)最多可以確定個(gè)平面．7．在長方體－A1B1C1D1中，經(jīng)過其對(duì)角線1的平面分別與棱1、1相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則四邊形1的形態(tài)8．P是直線a外肯定點(diǎn)，經(jīng)過P且與直線a成30°角的直線有條．三、解答題9.如右圖所示，在三棱錐A－中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，，的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若＝，求證：四邊形是菱形；(3)當(dāng)與滿意什么條件時(shí)，四邊形是正方形．10.如右圖所示，已知四邊形為直角梯形，∥，∠＝90°，⊥平面，且＝＝＝1，＝2.(1)求的長；(2)求異面直線與所成角的余弦值的大?。畢⒖即鸢?．D2．解析：只有①⑤為真命題．答案：C3．B4．解析：連結(jié)D1C答案：B5．解析：連接、交于O，連接，因∥.所以∠為所求．設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在△中，＝1，＝\r(2)，＝\r(22－1)＝\r(3)，于是∠＝\f(\b\\(\\)(\a\4\\1(\r(3)))2＋12－\r(2)2,2×\r(3)×1)＝\f(1,\r(3))＝\f(\r(3),3).答案：C6．77.平行四邊形8．解析：多數(shù)條，它們組成一個(gè)以P為頂點(diǎn)的圓錐面．答案：多數(shù)9．解析：(1)證明：在△中，E，F(xiàn)分別是邊，中點(diǎn)，所以∥，且＝\f(1,2)，同理有∥，且＝\f(1,2)，∴∥且＝，故四邊形是平行四邊形；(2)證明：仿(1)中分析，∥且＝\f(1,2)，若＝，則有＝，又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，∴四邊形是菱形?3)由(2)知，＝(四邊形是菱形，欲使是正方形，還要得到∠＝90°，而∠與異面直線，所成的角有關(guān)，故還要加上條件⊥.∴當(dāng)＝且⊥時(shí)，四邊形是正方形．10．解析：(1)因?yàn)椤推矫?，⊥，∴⊥，即∠?0°，由勾股定理得＝\r(2＋2)＝\r(2).∴＝\r(2＋2)＝\r(6).(2)如右圖所示，過點(diǎn)C作∥交的延長線于E，連結(jié)，則∠為異面直線與所成的角或它的補(bǔ)角．∵＝＝\r(2)，且＝\r(2＋2)＝\r(10).∴由余弦定理得∠＝\f(2＋2－2,2·)＝－\f(\r(3),6).∴與所成角的余弦值為\f(\r(3),6).第三節(jié)空間圖形的平行關(guān)系一、選擇題1．α、β是兩個(gè)不重合的平面，a、b是兩條不同直線，在下列條件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直線a、bB．α內(nèi)有三個(gè)不共線點(diǎn)A、B、C到β的距離相等C．a(chǎn)、b是α內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥βD．a(chǎn)、b是兩條異面直線且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β2．(2009年濱州模擬)給出下列命題：①若平面α內(nèi)的直線l垂直于平面β內(nèi)的隨意直線，則α⊥β；②若平面α內(nèi)的任始終線都平行于平面β，則α∥β；③若平面α垂直于平面β，直線l在平面α內(nèi)，則l⊥β；④若平面α平行于平面β，直線l在平面α內(nèi)，則l∥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．4B．3C．2D．3．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于點(diǎn)A，C，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于點(diǎn)B，D，且＝6，＝9，＝8，則的長為()A．16B．24或\f(24,5)C．14D．204．a(chǎn)、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是()A．過A有且只有一個(gè)平面平行于a、bB．過A至少有一個(gè)平面平行于a、bC．過A有多數(shù)個(gè)平面平行于a、bD．過A且平行a、b的平面可能不存在5．給出下列關(guān)于互不相同的直線m，l，n和平面α，β的四個(gè)命題：①若m?α，l∩α＝A，點(diǎn)A?m，則l與m不共面；②若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m；③若l?α，m?α，l∩m＝點(diǎn)A，l∥β，m∥β，則α∥β；④m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥l.其中為假命題的是()A．①B．②C．③D．④二、填空題6．設(shè)D是線段上的點(diǎn)，∥平面α，從平面α外肯定點(diǎn)A(A與分居平面兩側(cè))作、、分別交平面α于E、F、G三點(diǎn)，＝a，＝b，＝c，則＝.7．在正四棱柱－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱1、C1D1、D1D、的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形與其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿意條件時(shí)，有∥平面B118．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條相互垂直的直線；③同一條直線；④一條直線與其外一點(diǎn)．在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是．(寫出全部正確結(jié)論的編號(hào))三、解答題9.(2009年柳州模擬)如右圖所示，－A1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱的中點(diǎn)．(1)求證：1∥平面C1；(2)求三棱錐D－D1的體積．10.(2009年寧夏模擬)如右圖所示，在四棱錐P—中，底面是矩形，⊥底面，＝＝1，＝\r(3)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上移動(dòng)．(1)求三棱錐E—的體積；(2)當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，試推斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(3)證明：無論點(diǎn)E在邊的何處，都有⊥.參考答案1．解析：A錯(cuò)，若a∥b，則不能斷定α∥β；B錯(cuò)，若A、B、C三點(diǎn)不在β的同一側(cè)，則不能斷定α∥β；C錯(cuò)，若a∥b，則不能斷定α∥β；D正確．答案：D2．B3．解析：利用△與△相像可得，當(dāng)α，β在點(diǎn)P的同側(cè)時(shí)，為\f(24,5)；α，β在點(diǎn)P的異側(cè)時(shí)，為24.答案：B4．解析：過點(diǎn)A可作直線a′∥a，b′∥b，則a′∩b′＝A.∴a′、b′可確定一個(gè)平面，記為α.假如a?α，b?α，則a∥α，b∥α.由于平面α可能過直線a、b之一，因此，過A且平行于a、b的平面可能不存在．答案：D5．解析：本題考查線線，線面與面面位置關(guān)系的判定．答案：B6\f(－)7．點(diǎn)M在線段上8．解析：如右圖所示，A1D與1在平面上的射影相互平行；1與1在平面上的射影相互垂直；1與1在平面上的射影是一條直線與其外一點(diǎn)．答案：①②④9．解析：(1)證明：連接D1C交1于F，連結(jié)∵—A1B1C1D1∴四邊形1D1為矩形，∴F為D1C在△1B中，∵E為中點(diǎn)，∴∥D1B.又∵D1B?面C1，?面C1，∴1∥平面C1.(2)連結(jié)，－D1＝1－，∵′是正四棱柱，∴D1D⊥面.∵＝＝2，∴S△＝\f(1,2)×2×2＝2.1－＝\f(1,3)·S△·D1D＝\f(1,3)×2×1＝\f(2,3).∴三棱錐D－D1的體積為\f(2,3).10．解析：(1)三棱錐E—的體積V＝\f(1,3)·S△＝\f(1,3)·\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)·))＝\f(\r(3),6).(2)當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行．∵在△中，E、F分別為、的中點(diǎn)，∴∥，又?平面，而?平面，∴∥平面.(3)證明：∵⊥平面，?平面，∴⊥，又⊥，∩＝A，，?平面，∴⊥平面，又?平面，∴⊥，又＝＝1，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴⊥又∵∩＝B，，?面，∴⊥面，∵?面，∴⊥.第四節(jié)空間圖形的垂直關(guān)系一、選擇題1．(2008年安徽卷)已知m、n是兩條不同直線，α、β、γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n2．(2009年浙江卷)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則l?βB．若l∥α，α∥β，則l?βC．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥α，α⊥β，則l⊥β3．(2009年廣東卷)給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同始終線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4．關(guān)于直線m、n與平面α與β，有下列四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n；其中真命題的序號(hào)是()A．①②B．③④C．①④D．②③5．已知兩條直線m、n，兩個(gè)平面α、β，給出下面四個(gè)命題①m∥n，m⊥α?n⊥α②α∥β，m?α，n?β?m∥n③m∥n，m∥α?n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號(hào)是()A．①③B．②④C．①④D．②③二、填空題6．下列命題中，設(shè)α、β、γ為不同平面，a、b為不同直線，下列命題是真命題的有．①a⊥α，a⊥β?α∥β.②a⊥α，a∥b?b⊥α.③α⊥β，a?α，b?β?a⊥b.④a⊥α，a⊥b?b∥α.7．設(shè)三棱錐P－的頂點(diǎn)P在平面上的射影是H，給出以下命題：①若⊥，⊥，則H是△的垂心②若、、兩兩相互垂直，則H是△的垂心③若∠＝90°，H是的中點(diǎn)，則＝＝④若＝＝，則H是△的外心其中正確命題的命題是．8．(2009年浙江)如下圖，在長方形中，＝2，＝1，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△沿折起，使平面⊥平面.在平面內(nèi)過點(diǎn)D作⊥，K為垂足．設(shè)＝t，則t的取值范圍是．三、解答題9.如右圖所示，四棱錐P－的底面是邊長為1的正方形，⊥，＝1，＝\r(2).(1)求證：⊥平面；(2)求四棱錐P－的體積．10．如右圖，A、B、C、D為空間四點(diǎn)．在△中，＝2，＝＝\r(2).等邊三角形以為軸運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)平面⊥平面時(shí)，求；(2)當(dāng)△轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總