運(yùn)籌學(xué)緒論、第1章碩士

管理運(yùn)籌學(xué)汪賢裕2009.081緒論一、什么是運(yùn)籌學(xué)二、運(yùn)籌學(xué)模型三、運(yùn)籌學(xué)分析的主要步驟四、管理運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)組織2一、什么是運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)是對系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)的定量分析，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的哲學(xué)方法論。運(yùn)籌學(xué)研究“事”的內(nèi)在規(guī)律，對“事”的內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行形式化、定量化的描述，運(yùn)籌學(xué)是管理科學(xué)中的最重要的組成部分。3二、運(yùn)籌學(xué)模型1.運(yùn)籌學(xué)研究的模型主要是抽象的數(shù)學(xué)模型。其優(yōu)點(diǎn)有：1.1建模的過程中，能對系統(tǒng)進(jìn)行深入的了解和分析，1.2建模對系統(tǒng)的描述，可以找出和揭示出一些內(nèi)在的聯(lián)系和特征，1.3利用模型，可以對系統(tǒng)進(jìn)行多種試驗(yàn)分析。42.運(yùn)籌學(xué)模型的分類：2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，2.2圖與網(wǎng)絡(luò)模型，2.3對策論模型，2.4排隊(duì)論模型，2.5決策論模型，2.6存貯論模型，2.7排序與統(tǒng)籌方法2.8計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)。3.運(yùn)籌學(xué)模型大多是優(yōu)化模型。5三、運(yùn)籌學(xué)分析的主要步驟發(fā)現(xiàn)和定義待研究的問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，尋找模型優(yōu)化的結(jié)果，通過應(yīng)用這些結(jié)果對系統(tǒng)進(jìn)行分折和改善系統(tǒng)的運(yùn)行。6真實(shí)系統(tǒng)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備系統(tǒng)分析問題描述模型建立與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托g(shù)解與檢驗(yàn)結(jié)果分析與實(shí)施7四、管理運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)組織教學(xué)大綱學(xué)分和學(xué)時(shí)數(shù)教材課件8投票博弈例1：一個(gè)董事會有4位董事，其中董事長有3票，副董事長有2票，剩余2名董事各有1票，進(jìn)行投票表決。表決的規(guī)則是：超過半數(shù)票，討論的提案通過。問：1.副董事長的權(quán)力和1個(gè)董事的權(quán)力有多大的差異？2.若表決的規(guī)則是：超過2/3票，討論的提案通過。副董事長的權(quán)力和1個(gè)董事的權(quán)力有多大的差異？9定義1.設(shè)投票博弈中，參加投票人的集合為N=｛1,2,……,n｝。N的一個(gè)子集S稱為一個(gè)聯(lián)盟。定義2.設(shè)投票博弈中,若對某一個(gè)聯(lián)盟S滿足：（1）.投票人i在S中，（2）.S中的投票人一致同意，則提出的議案通過；且S\｛i｝中的投票人一致同意，則提出的議案不能通過。則該聯(lián)盟S稱為投票人i的一個(gè)擺盟。10定義3.用

i表示第i個(gè)投票人的擺盟數(shù)，則記

i=i

/（

1+2+……+n）i=1，2,…,n

β=(β1,β2,…,βn)稱為Banzhaf勢指標(biāo)。一般情況下，可用Banzhaf勢指標(biāo)來表示投票人的權(quán)力大小。11例1解：投票人集合：N=｛1，2，3，4｝。設(shè)Si為投票人i的擺盟，i=1,2,3,4。S1：｛1,2｝、｛1,3｝、｛1,4｝、｛1,2,3｝、｛1,2,4｝、｛1,3,4｝S2：｛2,1｝、｛2,3,4｝S3：｛3,1｝、｛3,2,4｝S4：｛4,1｝、｛4,2,3｝擺盟數(shù)為：

1=6,2=2,3=2,4=2.勢指標(biāo)為：1=1/2,2=3=4=1/612例1(續(xù))若表決的規(guī)則改為：達(dá)到或超過2/3時(shí)，提出的議案通過。解：投票人集合：N=｛1,2,3,4｝。設(shè)Si為投票人i的擺盟，i=1,2,3,4。S1：｛1,2｝,｛1,2,3｝,｛1,2,4｝,｛1,3,4｝,｛1,2,3,4｝S2：｛2,1｝、｛2,1,3｝、｛2,1,4｝S3：｛3,1,4｝S4：｛4,1,3｝擺盟數(shù)為：

1=5,2=3,3=1,4=1.勢指標(biāo)為：1=5/10，2=3/10,3=4=1/1013方案序號董事長有3票副董事長有2票董事有1票董事有1票方案1（達(dá)到半數(shù)）3/61/61/61/6方案2（達(dá)到2/3)5/103/101/101/1014例2一個(gè)董事會由4位股東組成，每位股東依次擁有股份為：40%，30%，20%，10%。在董事會投票時(shí)，每位股東的票數(shù)與他所擁有的股份成正比。當(dāng)投票規(guī)則為：（1）嚴(yán)格超過一半，提出的議案通過；（2）只要達(dá)到一半，提出的議案通過；（3）達(dá)到或超過2/3，提出的議案通過。試進(jìn)行三種投票規(guī)則下，每位股東的權(quán)力比較分析。15解：設(shè)投票人集合為：N=｛1,2,3,4｝，每人依次擁有股份為：40%,30%,20%,10%.（1）每個(gè)投票人的擺盟分別為：S1:{1,2},{1,3},{1,2,3},{1,2,4},｛1,3,4｝;S2:{2,1},{2,3,4},{2,1,4};S3:{3,1},{3,1,4},{3,2,4};S4:{4,2,3}.擺盟數(shù)分別為：

1=5,2=3,3=3,4=1;勢指標(biāo)分別為：1=5/12,2=3/12,3=3/12,4=1/1216（2）(此時(shí)只需要50%就可以通過）每個(gè)投票人的擺盟分別為：S1:｛1,2｝、｛1,3｝、｛1,4｝、｛1,2,4｝、｛1,3,4｝S2:｛2,1｝、｛2,3｝、｛2,3,4｝S3:｛3,1｝、｛3,2｝、｛3,2,4｝S4:｛4,1｝每個(gè)投票人的擺盟數(shù)分別為：

1=5,2=3,3=3,4=1勢指標(biāo)分別為：

1=5/12,2=3/12,3=3/12,4=1/12.17（3）（此時(shí)需66.67%就可以通過）每個(gè)投票人的擺盟分別為：S:｛1,2},｛1,2,3},｛1,2,4},｛1,3,4},｛1,2,3,4｝S:｛2,1｝,｛2,1,3｝,｛2,1,4｝S:｛3,1,4｝S:｛4,1,3｝每個(gè)投票人的擺盟數(shù)分別為：=5,=3,=1,=1勢指標(biāo)分別為：=5/10,=3/10,=1/10,=1/1018方案序號股東1（40%股份）股東2（30%股份）股東3（20%股份）股東4（10%股份）方案1（超過半數(shù)）5/123/123/121/12方案2（達(dá)到半數(shù)）5/123/123/121/12方案3（達(dá)到2/3）5/103/101/101/1019博弈承包基數(shù)的確定博弈的一方委托人---資產(chǎn)所有者，博弈的另一方代理人----生產(chǎn)經(jīng)營者。雙方對承包基數(shù)的確定發(fā)生沖突：（委托人要求數(shù)為：D，委托人要求D大。代理人自報(bào)數(shù)為：S，代理人要求S小.）20委托人提出基數(shù)確定三原則:1.委托人和代理人共同誦確定承包基數(shù)。最終合同基數(shù)C是委托人要求數(shù)D和代理人自報(bào)數(shù)S的加權(quán)平均：C=（1–W）?D+W?SW∈（0,1）合同基數(shù)C全部歸委托人，即“基數(shù)全交”。不妨取:W=1/2.2.當(dāng)期未的實(shí)際完成數(shù)A>C時(shí)，超過部份的Q1將作為獎(jiǎng)勵(lì)歸代理人；若A<C時(shí)，則不足部份以相同比例由代理人補(bǔ)足。不妨取:Q1=80%.3.當(dāng)期未的實(shí)際完成數(shù)A>S時(shí)，將對代理人收取“少報(bào)罰金”。少報(bào)罰金的數(shù)量為（S-A）?Q2。不妨取:Q2=60%.21承包基數(shù)確定范例表：代理人自報(bào)數(shù)的5種情況一二三四五(1)代理人的自報(bào)數(shù)：S60708090100(2)委托人的要求數(shù)：D6060606060(3)合同確定數(shù):C=（D+S）/26065707580(4)代理人實(shí)行完成數(shù):A8080808080(5)超基數(shù)獎(jiǎng)勵(lì):（A-c）?0.81612840(6)少報(bào)罰金:（S-A)?0.6（A>S時(shí)）-12-6000(7)代理人凈收益=（5）+（6）468*4022結(jié)論：代理人以完成數(shù)作為自報(bào)數(shù)，即講真話，可以得到最大凈收益。下面我們分析在這種機(jī)制下，代理人的凈收益：23代理人凈收益圖示分析：N(S)0AS上述“講真話”機(jī)制的充分條件為：

Q2–W?Q1>0（上例中的數(shù)字是滿足充分條件的）24第1章線性規(guī)劃與單純形法線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法，世界500強(qiáng)最大的企業(yè)中，有85%的企使用過線性規(guī)劃來解決管理中遇到的問題。線性規(guī)劃在應(yīng)用中用得最成功的是解決稀缺資源的最優(yōu)分配問題。線性規(guī)劃最常用于討論利益（利潤）的最大（max）和成本（支出）的最?。╩in）.25例：設(shè)有一根長為L果的鐵絲，要圍成一個(gè)矩形。問矩形的長和寬各為多少，使所圍成的矩形面積最大？解：設(shè)圍成矩形的長為x米，寬為y米。由矩形的特征有：x＋y=L/2，y=L/2－x。問題等價(jià)求x滿足：Maxs=x·ys.t.x＋y=L/20<x<L/2,0<y<L/2（對該問題中學(xué)求觧：最大化二次函數(shù)：s=x·(L/2－x))這個(gè)簡單的問題就是數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。

數(shù)學(xué)規(guī)劃問題有三個(gè)組成部分：1.決策變量（一般是多個(gè)決策變量）；2.含決策變量的目標(biāo)函數(shù)；3.對決策變量的約束條件。261.1線性規(guī)劃的基本概念1.1.1線性規(guī)劃模型一、線性規(guī)劃模型舉例例1.1生產(chǎn)計(jì)劃問題

已知某家俱廠在計(jì)劃期生產(chǎn)桌子和椅子，不考慮其它情況，只考慮勞動力情況如下。如何安排生產(chǎn)有最多的銷售收入？單位產(chǎn)品用料桌子椅子可用資源木工4小時(shí)3小時(shí)120油漆工2小時(shí)1小時(shí)50單位產(chǎn)品售價(jià)50元/個(gè)30元/個(gè)27解：設(shè)生產(chǎn)桌子x個(gè)，生產(chǎn)椅子y個(gè)（決策變量為2個(gè)）.要達(dá)到銷售收入最大：Maxz=50x＋30y（目標(biāo)函數(shù)）。工時(shí)要求：4x＋3y120,2x＋y50.（約束條件）變量取值要求：x0,y0.（約束條件）。線性規(guī)劃模型為：maxz=50x＋30ys.t.4x＋3y1202x＋y50x0,y0.28例1.2營養(yǎng)配餐問題要求配餐中至少應(yīng)有熱量3000kcal,蛋白質(zhì)55g，鈣300mg。問應(yīng)怎樣配餐成本最低？序號食品名稱熱量（kcal）蛋白質(zhì)（g）鈣（mg）價(jià)格（元)1豬肉100050400142雞蛋8006020063大米9002030034白菜20010500229解：設(shè)每天配入豬肉x1千克、雞蛋x2千克、大米x3千克、白菜x4千克。（決策變量）則配餐問題的線性規(guī)劃模型如下：Minz=14x1＋6x2＋3x3＋2x4（目標(biāo)函數(shù))s.t.1000x1＋800x2＋900x3＋200x4300050x1＋60x2＋20x3＋10x455400x1＋200x2＋300x3＋500x4800xi0i=1,2,3,4.（s.t.后全是約束條件）30二、線性規(guī)劃的一般形式三要素：1.有一組決策變量；2.有一個(gè)與決策變量有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，并是決策變量的線性函數(shù)，需要解決max或min問題；3.有一組與決策變量有關(guān)的約束限制，用線性等式或線性不等式表示。31線性規(guī)劃模型的一般形式32三、線性規(guī)劃的隱含假定1.比例性假定；2.可加性假定；3.連續(xù)性假定；4.確定性假定。331.1.2兩變量線性規(guī)劃的圖解法例：yMaxz=50x+30ys.t.4x+3y1202x+y50x0,y0.

max10010x34圖解法的步驟1.畫出直角坐標(biāo)系。2.畫出可行域，即滿足約束條件的全部（x,y）點(diǎn)。3.對目標(biāo)函數(shù)z給任意兩個(gè)常數(shù)，畫出兩條目標(biāo)函數(shù)等值線，確定目標(biāo)出函數(shù)的方向。沿這一方向，平移目標(biāo)函數(shù)等值線到可行域的邊界，確定最優(yōu)解。4.求解過最優(yōu)解點(diǎn)的兩個(gè)約束等式組成的線性方程組，求出最優(yōu)解的數(shù)值。5.代最優(yōu)解數(shù)值到目標(biāo)出函數(shù)中，得出最優(yōu)值。35例1.3Max

z=1500x1

+2500x2

s.t.3x1+2x2

≤65(A)2x1+x2

≤40(B)3x2

≤75(C)

x1,x2

≥0(D,E)Max361.1.3圖解法的幾點(diǎn)討論一、概念1.可行解——滿足全部約束條件的某一點(diǎn)；2.可行域——可行解的全體；3.最優(yōu)解——使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)極值的可行解；4.最優(yōu)值——最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)后的目標(biāo)函數(shù)值。37二、最優(yōu)解的個(gè)數(shù)1.唯一最優(yōu)解；2.有無窮多個(gè)解；3.無解：（1）可行域?yàn)榭占?）因目標(biāo)函數(shù)值無界。38三、線性規(guī)劃的基本定理1.線性規(guī)劃的可行域是凸集。2.線性規(guī)劃可行域的極點(diǎn)與基本可行解一一對應(yīng)。3.線性規(guī)劃若有最優(yōu)解，一定可以在可行域的極點(diǎn)達(dá)到。391.2線性規(guī)劃應(yīng)用舉列1.2.1《調(diào)和問題》例1.4.汽油組分的質(zhì)量和成本數(shù)據(jù)汽油產(chǎn)品的質(zhì)量和價(jià)格數(shù)據(jù)求如何安排各種品牌汽油生產(chǎn)，使總利潤最大？序號原料辛烷值含硫量%成本（元/噸）可用量（噸/月）1直餾汽油621.560020002催化汽油780.890010003重整汽油900.21400500序號產(chǎn)品辛烷值含硫量%銷售價(jià)（元/噸）170#汽油701900280#汽油8011200390#汽油900.6150040解：設(shè)第j種產(chǎn)品對原料i使用為xi,j產(chǎn)品j原料i70#汽油（1）80#汽油（2）90#汽油（3）原料總用量1.直餾汽油x1,1x1,2x1,3

2.催化汽油x2,1x2,2x2,3

3.重整汽油x3,1x3,2x3,3

產(chǎn)品總量

41線性規(guī)劃模型為：Maxz=（900－600)x1,1+(1200－600)x1,2+(1500－600)x1,3＋(900－900)x2,1+(1200－900)x2,2+(1500－900)x2,3+(900－1400)x3,1+(1200－1400)x3,2+(1500-1400)x3,3s.t.1.產(chǎn)品辛烷值應(yīng)滿足要求：(62x1,1＋78x2,1＋90x3,1)70(x1,1＋x2,1＋x3,1)(62x1,2＋78x2,2＋90x3,2)80(x1,2＋x2,2＋x3,2)

(62x1,3＋78x2,3＋90x3,3)90(x1,3＋x2,3＋x3,3)422.產(chǎn)品含硫量應(yīng)滿足要求：(1.5%x1,1＋0.8%x2,1＋0.2%x3,1)/(x1,1＋x2,1＋x3,1)1%(1.5%x1,2＋0.8%x2,2＋0.2%x3,2)/(x1,2＋x2,2＋x3,2)1%(1.5%x1,3＋0.8%x2,3＋0.2%x3,3)/(x1,3+x2,3＋x3,3)0.6%3.原料可用量應(yīng)滿足要求：(x1,1＋x1,2＋x1,3)2000(x2,1＋x2,2＋x2,3)1000(x3,1＋x3,2＋x3,3)5004.生產(chǎn)中原料使用量的非負(fù)要求：xi,j0,i=1,2,3.j=1,2,3.431.2.2《生產(chǎn)工藝優(yōu)化問題》例1.5佳麗化工廠生產(chǎn)洗衣粉和洗滌劑。生產(chǎn)原料可以從市場上以每千克5元的價(jià)格買到。處理1千克原料可生產(chǎn)0.5千克普通洗衣粉和0.3千克普通洗滌劑。普通洗衣粉和普通洗滌劑可分別以每千克8元和12元的價(jià)格在市場上出售。工廠設(shè)備每天最多可處理4噸原料，每加工1千克原料的成本為1元。為生產(chǎn)濃縮洗衣粉和高級洗滌劑，工廠還可繼續(xù)對普通洗衣粉和普通洗滌劑進(jìn)行精加工。處理1千克洗衣粉可得0.5千克濃縮洗衣粉，處理1千克普通洗滌劑可得0.25千克高級洗滌劑。加工示意圖如下。濃縮洗衣粉的市場價(jià)格為每千克24元，高級洗滌劑的價(jià)格為每千克55元。每千克精加工產(chǎn)品的成本為3元。如果產(chǎn)品市場和原料供應(yīng)設(shè)有限制，向該工廠如何生產(chǎn)能使其利潤最大？44y千克原料0.3y千克洗滌劑0.5y千克洗衣粉x1千克普通洗衣粉x2千克濃縮洗衣粉x3千克普通洗滌劑x4千克高級洗滌劑8元/千克24元/千克12元/千克55元/千克原料5元/千克加工能力：4噸加工成本1元/千克成品率0.5產(chǎn)品成本：3元/千克成品率:0.25產(chǎn)品成本：3元/千克成品率：0.3成品率：0.545解：設(shè)x1為普通洗衣粉的產(chǎn)量，x2為濃縮洗衣粉的產(chǎn)量，x3為普通洗滌劑的產(chǎn)量，x4為高級洗滌劑的產(chǎn)量，y為原料的供應(yīng)量。工廠利潤=8x1+12x3+24x2+55x4－3x2－3x4－（5+1）y平衡關(guān)系：0.5y=x1+x2/0.50.3y=x3+x4/0.25加工能力：y<=4000線性規(guī)劃模型為：Max8x1+21x2+12x3+52x4－6ys.t.0.5y－x1－2x2=00.3y－x3－4x4=0y<=4000x1，x2，x3，x4>=046

1.2.3《多周期動態(tài)生產(chǎn)計(jì)劃問題》例1.6華津機(jī)器制造廠專門為拖拉機(jī)廠配套生產(chǎn)柴油機(jī)，今年頭四個(gè)月收到的訂單數(shù)量分別為3000臺，4500臺，3500臺，5000臺柴油機(jī)。該廠正常生主少每月可生立了3000臺柴油機(jī)，利同加班還可生產(chǎn)1500臺。正常生產(chǎn)的成本為每臺5000元，加班生產(chǎn)還要追加成本1500元，庫存成本為每臺每月200元。華津廠如何組織生產(chǎn)才能使生產(chǎn)成本最低？47解：設(shè)xi為第i月正常生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)，yi為第i月加班生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)，zi為第i月月初產(chǎn)品的庫存數(shù)。若令di為第i月的需求，第一個(gè)月初的庫存數(shù)為零，則模型的目標(biāo)函數(shù)為：約束的一般形式為：Z1=Z5=048

1.2.4《投資證券組合的選擇》

例1.7某人有一筆50萬元的資金可用于長期投資，可供選擇的投資機(jī)會包含下列7種。不同的投資方式的具體參數(shù)見下表。投資者希望投資組合的平均年限不超過5年，平均期望收益率不低于13%，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)不超過4，收益的增長潛力不低于10%。問在滿足上述要求的前提下，投資者該如何選擇投資組合，使平均年收益率最高？49序號投資方式年收益率（%）投資期限（年）風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)增長潛力（%）1國庫券113102公司債券15103153房地產(chǎn)2568304股票2026205短期定期存款101156長期保值儲蓄1252107現(xiàn)金存款3000要求≤5≤4≥1050例1.8《生產(chǎn)計(jì)劃安排問題》益民食品廠用三種原料生產(chǎn)兩種糖果。至少生產(chǎn)600千克高級奶糖，800千克水果糖。求在計(jì)劃期應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使總利潤最大。成分售價(jià)品種原科A（奶粉）原料B（可可粉）原料C（糖）元/千克高級奶糖≥50%≥25%≤10%24.0水果糖≤15%≤15%≥60%15.0原料原料可供量（千克）成本（元/千克）A50020.00B75012.00C6258.0051解：變量假設(shè)：生產(chǎn)高級奶糖用原料A、B、C各為：x1,1，x2,1,x3,1生產(chǎn)水果糖用原料A、B、C各為：x1,2,x2,2,x3,2.

利潤函數(shù)為（略）原料A原料B原料C產(chǎn)品總量高級奶糖x1,1x2,1x3,1x1,1＋x2,1＋x3,1水果糖x1,2x2,2x3,2x1,2＋x2,2＋x3,2原料總量x1,1＋x1,2x2,1＋x2,2x3,1＋x3,252某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)數(shù)如下：

例1.9《人力資源分配的問題》設(shè)司機(jī)分別在各時(shí)間段一開始時(shí)上班，并連續(xù)工作8h，問該公交線路怎樣安排司機(jī)，既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)?53解：設(shè)xi表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

約束條件：s.t.

x1+x6≥60

x1+x2≥70

x2+x3≥60

x3+x4≥50

x4+x5≥20

x5+x6≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

《人力資源分配的問題》54

明興公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如下表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？例1.10

《生產(chǎn)計(jì)劃的問題》（I）55解：設(shè)x1,x2,x3

分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5分別為由外協(xié)鑄造再由本公司機(jī)加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。

《生產(chǎn)計(jì)劃的問題》（I）56求xi的利潤:利潤=售價(jià)-各成本之和可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利潤分別為15、10、7、13、9元。這樣我們建立如下數(shù)學(xué)模型：

目標(biāo)函數(shù):Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5

約束條件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0《生產(chǎn)計(jì)劃的問題》（I)57永久機(jī)械廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過A、B兩道工序加工。假設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成A工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；Ⅱ可在任意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對B工序,只能在B1設(shè)備上加工；Ⅲ只能在A2與B2設(shè)備上加工；數(shù)據(jù)如下表。問：為使該廠獲得最大利潤，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？例1.11

《生產(chǎn)計(jì)劃的問題》（II）58解：產(chǎn)品I有6種生產(chǎn)方式：A1B1,A1B2,A1B3,A2B1.A2B2.A2B3,其生產(chǎn)量分別設(shè)為x1,x2,x3,x4,x5,x6;產(chǎn)品II有2種生產(chǎn)方式：A1B1,A2B1其生產(chǎn)量分別設(shè)為x7,x8;產(chǎn)品III有1種生產(chǎn)方式,A2B2其生產(chǎn)量分別設(shè)為x9,

利潤=[（銷售單價(jià)-原料單價(jià)）×產(chǎn)品件數(shù)]之和–(每臺時(shí)的設(shè)備費(fèi)用×設(shè)備實(shí)際使用的總臺時(shí)數(shù)）之和。

《生產(chǎn)計(jì)劃的問題（II）》59《生產(chǎn)計(jì)劃的問題（II）》這樣對第I種產(chǎn)品生產(chǎn)總量為：x1+x2+x3+x4+x5+x6第II種產(chǎn)品生產(chǎn)總量為：x7+x8，第III種產(chǎn)品生產(chǎn)總量為：x9

。設(shè)備A1用于生產(chǎn)：x1,x2,x3,x7，其單位臺時(shí)費(fèi)為：300/6000;設(shè)備A2用于生產(chǎn)：x4,x5,x6,x8,x9，其單位臺時(shí)費(fèi)為：321/10000;設(shè)備B1用于生產(chǎn)：x1,x4,x7,x8，其單位臺時(shí)費(fèi)為：50/4000;設(shè)備B2用于生產(chǎn)：x2,x5,x9,，其單位臺時(shí)費(fèi)為：783/7000;設(shè)備B3用于生產(chǎn)：x3,x6。，其單位臺時(shí)費(fèi)為：200/4000;60我們建立如下的數(shù)學(xué)模型:《生產(chǎn)計(jì)劃的問題（II）》61某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如下表。問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤收入為最大？例1.12《配料問題》62《配料問題》

解：設(shè)xij表示第i種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料j的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮：

對于甲：x11，x12，x13；對于乙：x21，x22，x23；對于丙：x31，x32，x33；對于原料1：x11，x21，x31；對于原料2：x12，x22，x32；對于原料3：x13，x23，x33；63目標(biāo)函數(shù)：

利潤最大，利潤=收入-原料支出

約束條件：規(guī)格要求4個(gè)；供應(yīng)量限制3個(gè)。

Max

z=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

s.t.

0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超過25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0原材料2不超過50%）

x11+x21+x31≤100(供應(yīng)量限制）

x12+x22+x32≤100(供應(yīng)量限制）

x13+x23+x33≤60(供應(yīng)量限制）xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,364s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超過25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超過50%）

x11+x21+x31≤100(供應(yīng)量限制）

x12+x22+x32≤100(供應(yīng)量限制）

x13+x23+x33≤60(供應(yīng)量限制）xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3《配料問題》65某部門現(xiàn)有資金200萬元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資。已知：項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%；項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬元；項(xiàng)目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元；項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。

例1.13《投資問題》66據(jù)測定每萬元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如下表：《投資問題》問：

a）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？

b）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最?。?/p>

67《投資問題》

解：1）確定決策變量：連續(xù)投資問題設(shè)xij(i=1—5，j=1、2、3、4)表示第i年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下決策變量：A

x11x21x31x41x51

B

x12x22x32x42

C

x33

D

x2468

2）約束條件：

第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是：

x11+x12=200

第二年：B次年末才可收回投資故第二年年初的資金為1.1x11，于是：

x21+x22+x24=1.1x11

第三年：年初的資金為1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12第四年：年初的資金為1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22

第五年：年初的資金為1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32

B、C、D的投資限制：

xi2≤30(i=1，2，3，4)，x33≤80，x24≤100《投資問題》69a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24=1.1x11

x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12

x41+x42=1.1x31+1.25x22

x51=1.1x41+1.25x32

xi2≤30(i=1、2、3、4)，

x33≤80，x24≤100xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）3）目標(biāo)函數(shù)及模型：《投資問題》70b)Min

f=（x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.

x11+x12≤200

x21+x22+x24≤1.1x11

x31+x32+x33≤1.1x21+1.25x12

x41+x42≤1.1x31+1.25x22

x51≤1.1x41+1.25x32

xi2≤30(i=1、2、3、4)，

x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）《投資問題》711.3單純形法1.3.1線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型72線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣表示：Maxz=cXs.t.AX=b