自動控制理論課件

課程特點高等數(shù)學(xué)積分變換自動控制理論現(xiàn)代控制理論其它專業(yè)課程

1、它是一門專業(yè)基礎(chǔ)課

2、理論實踐相結(jié)合理論性非常強但又和實際應(yīng)用緊密結(jié)合

3、內(nèi)容廣泛第一章引論3、自動控制理論能為解決實際控制問題提供理論和方法學(xué)習(xí)自動控制理論的重要性1、本課程是自動化專業(yè)承上啟下的課程2、自動控制技術(shù)是應(yīng)用非常廣泛的技術(shù)

電機控制、自動化生產(chǎn)線、火炮雷達控制、家用電器、機械、冶金、石油、化工、電力電子、航空、航海、航天、核反應(yīng)堆等。4、學(xué)分較多本課程學(xué)習(xí)方法1、打好基礎(chǔ)

高等數(shù)學(xué)（微積分）、積分變換（拉氏變換）2、做好預(yù)習(xí)3、聽好課講課的速度較快、了解課程內(nèi)容掌握基本理論和基本方法4、做好習(xí)題

應(yīng)用學(xué)到的基本理論和基本方法解決實際問題第一節(jié)開環(huán)控制和閉環(huán)控制一、什么是控制系統(tǒng)？ 舉例：家用空調(diào)控制器 功能：使房間的溫度控制在人體比較舒適的范（對象、物理量、控制設(shè)備）系統(tǒng)組成：控制對象房間交換設(shè)備壓縮機控制板傳感器執(zhí)行機構(gòu)測量元件控制單元家用空調(diào)系統(tǒng)框圖的簡化溫度設(shè)定比較單元控制單元執(zhí)行機構(gòu)控制對象測量元件控制器控制對象反饋比較控制指令1、什么叫系統(tǒng)？為了完成某項任務(wù)、按一定規(guī)律組成、具有一定功能的整體。2、什么叫控制系統(tǒng)？使被控對象的一個或多個物理量能夠在一定精度范圍按照給定的規(guī)律變化的系統(tǒng)。3、控制系統(tǒng)的兩種基本形式及特點兩種基本形式：開環(huán)閉環(huán)開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其特點：定義：只有正向作用，沒有反饋控制作用的控制系統(tǒng)。舉例：電機調(diào)速控制系統(tǒng)電機調(diào)速控制系統(tǒng)電位器放大電機功率放大負載控制器被控對象輸入量控制量輸出量開環(huán)系統(tǒng)的特點：

A、只有正向作用，沒有反饋作用；

B、控制精度取決于元器件的精度和系統(tǒng)調(diào)整精度；

C、沒有抑制內(nèi)、外干擾的能力；

D、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、成本低。閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其特點定義：既有正向作用，又有反饋控制作用的控制系統(tǒng)。舉例：電機調(diào)速控制系統(tǒng)電位器放大電機功率放大負載比較器測速電機控制器被控對象輸入量輸出量比較測量電路控制輸出量誤差信號反饋量閉環(huán)系統(tǒng)的特點

A、既有正向作用，又有反饋控制；

B、控制精度與元件精度、控制方法、調(diào)整精度有關(guān)，控制精度較高；

C、有抑制干擾的能力；

D、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本相對較高。第二節(jié)自動控制系統(tǒng)的類型自動調(diào)整系統(tǒng)特征：輸入信號為常數(shù)典型系統(tǒng)：液位、溫度、壓力、流量控制程序控制系統(tǒng)特征：輸入信號為預(yù)知的隨時間變化函數(shù)典型系統(tǒng)：熱處理爐控制系統(tǒng)、鏡片固化爐溫度控制、程序控制機床、灌裝生產(chǎn)線、自動生產(chǎn)流水線。隨動系統(tǒng)（伺服控制系統(tǒng)）特征：輸入信號未知的隨時間變化任意函數(shù)典型系統(tǒng)：魚雷飛行、炮瞄雷達、火炮自動瞄準、導(dǎo)彈制導(dǎo)。

按描述元件的動態(tài)方程分類

線性系統(tǒng)特征：元件是線性的、系統(tǒng)運動方程可用線性微分方程或差分方程描述非線性系統(tǒng)特征：系統(tǒng)中含有至少一個非線性元件、系統(tǒng)運動方程需用非線性方程或差分方程描述。典型非線性：飽和、死區(qū)、繼電器、傳動間隙。

按系統(tǒng)傳遞的信號分類

連續(xù)系統(tǒng)特征：系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間傳遞的信號均為時間的連續(xù)函數(shù)，一般用微分方程描述。離散系統(tǒng)特征：在信號傳遞過程中，至少有一處的信號是脈沖序列或數(shù)字編碼。

按輸入輸出信號數(shù)量分類

單輸入單輸出系統(tǒng)（單變量系統(tǒng)）特征：輸入輸出變量僅有一個。多輸入多輸出系統(tǒng)特征：輸入輸出變量多于一個。

按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的確定性分類確定系統(tǒng)特征：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是確定的、已知的，系統(tǒng)的輸入信號也是確定的，可以用解析式或圖表確切表示。不確定系統(tǒng)特征：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是不確定的或，系統(tǒng)的輸入信號是不確定的。

按系統(tǒng)微分方程分類

集中參數(shù)系統(tǒng)特征：能用常微分方程描述分布參數(shù)系統(tǒng)特征：至少有一個環(huán)節(jié)需要用偏微分方程描述。第三節(jié)自動控制理論概要一、對自動控制系統(tǒng)的要求穩(wěn)定性要求快速性要求準確性要求二、自動控制理論研究的問題自動控制建模問題控制系統(tǒng)分析控制系統(tǒng)設(shè)計三、控制系統(tǒng)建模問題描述方法傳遞函數(shù)建立方法理論推導(dǎo)、實驗法四、自動控制系統(tǒng)分析分析基礎(chǔ)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分析內(nèi)容穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)分析工具手工計算、計算機軟件五、自動控制系統(tǒng)的設(shè)計給定數(shù)學(xué)模型和技術(shù)指標情況下，希望有簡潔的方法解決以下問題：控制方案決定一種合適的控制規(guī)律及相應(yīng)參系統(tǒng)分析近似估計系統(tǒng)時域響改進建議當(dāng)系統(tǒng)性能不滿足要求時指明改善系統(tǒng)性能的途徑。設(shè)計手段控制系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計六、古典控制理論與現(xiàn)代控制理論古典控制理論研究對象：單輸入單輸出線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：微積分、積分變換系統(tǒng)描述方法：傳遞函數(shù)研究方法：時域法、頻率特性法、根軌跡法核心概念：輸出反饋適用系統(tǒng)：線性系統(tǒng)現(xiàn)代控制理論研究對象：多輸入多輸出線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：線性代數(shù)、矩陣理論系統(tǒng)描述方法：狀態(tài)空間表達式研究方法：時域法核心概念：狀態(tài)反饋適用系統(tǒng)：線性、非線性現(xiàn)代控制理論研究對象：多輸入多輸出線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：線性代數(shù)、矩陣理論系統(tǒng)描述方法：狀態(tài)空間表達式研究方法：時域法核心概念：狀態(tài)反饋適用系統(tǒng)：線性、非線性第二章、線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型概述

一、為什么要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？1、是定量分析、計算機仿真、系統(tǒng)設(shè)計的需要2、是尋找一個較好的控制規(guī)律的需要

二、什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？描述控制系統(tǒng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式

三、如何建立數(shù)學(xué)模型？1、提出合理的假設(shè)，忽略次要因數(shù)，抓住本質(zhì)。2、建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)描述3、非線性環(huán)節(jié)的處理

五、古典控制理論中控制系統(tǒng)模型描述方法

1、微分方程2、傳遞函數(shù)四、實際工程應(yīng)用中建立模型的一般步驟

1、把各部件盡可能地作線性化處理；

2、建立線性化的系統(tǒng)模型（近似模型）；

3、求系統(tǒng)的近似特性；

4、建立更復(fù)雜的模型，得到更精確的特性。六、建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般方法

1、機理分析法

2、實驗辯識法

第一節(jié)線性系統(tǒng)的輸入—輸出時間函數(shù)描述1、建立的目的：確定被控制量與給定輸入或擾動之間的關(guān)系，為分析和設(shè)計創(chuàng)造條件

2、建立輸入—輸出時間函數(shù)描述的方法分析系統(tǒng)的工作原理，作合理的假設(shè)；確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；根據(jù)物理或化學(xué)定律例寫描述系統(tǒng)運動的方程；（常用定律：基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。一、建立線性系統(tǒng)的輸入—輸出時間描述函數(shù)例1、彈簧阻尼系統(tǒng)，圖中質(zhì)量為m的物體受到外力F的作用，產(chǎn)生位移y，求該系統(tǒng)的輸入—輸出描述解：（1）分析物體m的受力情況，假設(shè)k為常數(shù)、f為常數(shù);（2）輸入量為F，輸出量為y;（3）根據(jù)牛頓定律列寫方程（4）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的微分方程。例2、如圖為兩個形式相同的RC電路串聯(lián)組成的濾波電路，建立輸入電壓為u,求電容C2兩端電壓uc為輸出的微分方程。解：

（1）分析電路的工作原理，假設(shè)電阻是理想電阻器，電容也是理想的電容器；（2）輸入量為u，輸出量為uc;（3）根據(jù)基爾霍夫定理列寫方程（4）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的微分方程。二、描述線性定常系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的微分方程一般形式：三、實驗法建立模型基本原理1、基本原理：設(shè)系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)，且t=0時系統(tǒng)的響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，則其響應(yīng)與輸入之間其次性和線性關(guān)系，即滿足2、脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)延遲單位脈沖函數(shù)3、實驗方法如果以單位脈沖函數(shù)作為輸入函數(shù)，則系統(tǒng)輸出為稱為單位脈沖響應(yīng)。

如果以脈沖強度為A的延遲脈沖函數(shù)作為輸入函數(shù)，將其施加于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，它將滿足第二節(jié)線性系統(tǒng)的輸入—輸出傳遞函數(shù)描述

R(S)—輸入函數(shù)的拉氏變換C(S)—輸出函數(shù)的拉氏變換S—拉氏算子說明:1、拉氏算子為復(fù)變量，單位為S-12、利用拉氏變換之后，卷積分公式變成代數(shù)方程，G（S）稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的象函數(shù)，在電路分析中也稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)；3、卷積分公式只適用于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)可定義為初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比；4、傳遞函數(shù)中的S算子可與角頻率ω聯(lián)系起來，傳遞函數(shù)也稱為頻域描述。5、得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法實驗法、分析法用分析法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)假設(shè)通過對系統(tǒng)機理模型分析得到n階系統(tǒng)的微分方程為假設(shè)初始條件為零??！對等式兩邊取拉氏變換可得：極點：零點：代數(shù)方程式的根由方程式的結(jié)構(gòu)與其各項系數(shù)確定，系統(tǒng)極點和零點由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)確定。第三節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

1、什么叫非線性數(shù)學(xué)模型的線性化？在一定條件下將非線性系統(tǒng)近似的視為線性系統(tǒng)

2、典型非線性—發(fā)電機激磁特性3、小范圍線性化的概念和原理

假設(shè)對于一般的非線性系統(tǒng)，其輸入量為r,輸出量為c=f(r),并設(shè)在給定的工作點c0=f(r0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，則可以展開成泰勒級數(shù)：在處理線性化問題時，要注意以下幾點：

（1）工作點不同，線性化方程的參數(shù)不同；（2）當(dāng)輸入量變化范圍較大時，用上述方法建立模型時會會引入較大誤差；（3）本質(zhì)非線性，不能采用上述線性化方法，小范圍線性化只適用于非線性不很嚴重的非線性系統(tǒng)；（4）線性化后得到的微分方程，是增量方程，但為了簡化方程，一般略去增量符號

作業(yè)

2、P432—1RC網(wǎng)絡(luò)

3、P432—3電動機

第四節(jié)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型什么是典型環(huán)節(jié)?

不同的物理系統(tǒng)是由許多元件、按不同結(jié)構(gòu)和不同運動原理構(gòu)成的。但拋開具體的結(jié)構(gòu)和物理特點，研究其運動規(guī)律和數(shù)學(xué)模型的共性可以劃分成為數(shù)不多的幾種典型的數(shù)學(xué)模型，稱為典型環(huán)節(jié)。常見典型環(huán)節(jié):比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和遲后環(huán)節(jié)。一、比例環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系為固定比例關(guān)系傳遞函數(shù)：常見物理系統(tǒng)：杠桿（無彈性形變的）、放大器（非線性和時間延遲可忽略）、測速電機電壓與轉(zhuǎn)速關(guān)系、傳動鏈之速度比等等。二、慣性環(huán)節(jié)

特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列微分方程

傳遞函數(shù)：—時間常數(shù)—比例系數(shù)單位階躍響應(yīng)：在單位階躍輸入信號的作用下，慣性環(huán)節(jié)的輸出是非周期的指數(shù)函數(shù)。當(dāng)t=3τ—4τ時輸出量才接近穩(wěn)態(tài)值。常見物理系統(tǒng)：直流電機的勵磁回路—激磁回路電感—激磁回路電阻—輸入電壓—勵磁電流三、積分環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：常見物理系統(tǒng)：電機拖動系統(tǒng)—齒輪減速比設(shè)以電動機的轉(zhuǎn)速為n轉(zhuǎn)/分為輸入量，以減速齒輪帶動負載運動的軸角位移θ（單位為rad)為輸出量，則四、微分環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：常見物理系統(tǒng)：RC電路微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合實際上是一個比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的并聯(lián)組合五、振蕩環(huán)節(jié)

特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程單位階躍響應(yīng)：令K=1

傳遞函數(shù)：—時間常數(shù)—阻尼系數(shù)（阻尼比）令：振蕩環(huán)節(jié)的單位響應(yīng)是有阻尼的正弦曲線。振蕩程度與阻尼比有關(guān)，阻尼比越小，則振蕩越強；阻尼比為零時，出現(xiàn)等幅振蕩；阻尼比越大，則震蕩衰減越快。常見物理系統(tǒng)：彈簧阻尼系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)RLC電路六、純滯后環(huán)節(jié)特點：輸入量輸出量之間的關(guān)系滿足下列方程

傳遞函數(shù)：常見物理系統(tǒng)：1、傳輸延遲測量點與混合點之間信號延遲2、軋鋼板的厚度控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：延遲單位脈沖函數(shù)相似系統(tǒng)1、什么是相似系統(tǒng)？2、相似變量3、了解相似變量和相似系統(tǒng)的意義注意：1、典型環(huán)節(jié)與元件并非一一對應(yīng)的。2、控制系統(tǒng)模型與典型環(huán)節(jié)對比，即可知其有什么樣的典型環(huán)節(jié)組成，由于典型環(huán)節(jié)的特性是熟知的，可為系統(tǒng)分析提供方便。3、典型環(huán)節(jié)只適用于線性定常系統(tǒng)。作業(yè)1、P452—5非線性系統(tǒng)線性化第五節(jié)建立數(shù)學(xué)模型的試驗方法簡介第六節(jié)框圖及其化簡方法結(jié)構(gòu)方框圖一、方框圖的組成要素1信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。

2信號引出點（線）/測量點

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。

3函數(shù)方框(環(huán)節(jié))

函數(shù)方塊具有運算功能4求和點（比較點、綜合點）1.用符號“

”及相應(yīng)的信號箭頭表示2.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號

注意量綱和符號!!相鄰求和點可以互換、合并、分解。

代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律。求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的!!脫離了物理系統(tǒng)的模型!!系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式!!形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。依據(jù)信號的流向，將各元件的方塊連接起來組成整個系統(tǒng)的方塊圖。二、方框圖的畫法

任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示。求和點函數(shù)方框引出線函數(shù)方框信號線三、方框圖的運算規(guī)則1、串聯(lián)運算規(guī)則

幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。例：隔離放大器串聯(lián)的RC電路同向環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。并聯(lián)運算規(guī)則反饋運算規(guī)則1、基于方框圖的運算規(guī)則四、方框圖的等效變換2、基于比較點的簡化3、基于引出點的簡化4、方框圖簡化法—求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1）觀察系統(tǒng)中是否存在相互交錯的局部反饋回路；（2）確定系統(tǒng)中的輸入輸出量把輸入量到輸出量的一條線路列成方塊圖中的前向通道。（3）通過比較點和引出點的移動消除交錯回路；（4）先求出并聯(lián)環(huán)節(jié)和具有局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，然后求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?；喪纠?化簡示例2只有一條前向通道的多回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（梅遜公式）閉環(huán)系統(tǒng)輸入量到輸出量間的串聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)即前向通路傳遞函數(shù)的乘積。n

閉環(huán)系統(tǒng)所具有的反饋回路的總數(shù)i各反饋回路的序號閉環(huán)系統(tǒng)中各交錯反饋或多環(huán)局部反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)即每個反饋回路的傳遞函數(shù)的乘積。-正反饋+負反饋5、公式法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)梅遜公式法直接求取傳遞函數(shù)示例6、代數(shù)法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關(guān)系（輸入/輸出）。對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。五、物理系統(tǒng)的方框圖繪制方法例：二階RC電氣網(wǎng)絡(luò)

作業(yè)1、P452—82、P452—9

一、信號流圖及其術(shù)語二、信號代數(shù)運算法則三、根據(jù)微分方程繪制信號流圖四、根據(jù)方框圖繪制信號流圖五、信號流圖梅遜公式第七節(jié)系統(tǒng)信號流圖

信號流圖起源于梅遜（S.J.MASON）利用圖示法來描述一個和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點表示變量或信號，其值等于所有進入該節(jié)點的信號之和。支路連接兩個節(jié)點的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系。支路相當(dāng)于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。通路沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。一、信號流圖的組成要素及其術(shù)語輸入節(jié)點只有輸出的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸入變量。輸出節(jié)點只有輸入的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸出變量。輸出節(jié)點輸入節(jié)點混合節(jié)點既有輸入又有輸出的節(jié)點。若從混合節(jié)點引出一條具有單位增益的支路，引出信號為輸出節(jié)點。前向通路從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。回路起點與終點重合且通過任何節(jié)點不多于一次的閉合通路?；芈分兴兄吩鲆嬷朔e稱為回路增益，用Lk表示。不接觸回路相互間沒有任何公共節(jié)點的回路X2、X3X3、X4X5二、信號代數(shù)運算法則取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo(s)作為信號流圖的節(jié)點Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點三、根據(jù)微分方程繪制信號流圖四、根據(jù)方框圖繪制信號流圖方塊圖轉(zhuǎn)換為信號流圖示例1方塊圖轉(zhuǎn)換為信號流圖示例2Pk—第k條前向通路的傳遞函數(shù)（通路增益）—第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式?，將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的?即為?k。?kG—系統(tǒng)總傳遞函數(shù)?—流圖特征式—所有不同回路的傳遞函數(shù)之和—每兩個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和

—每三個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和—任何m個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和五、信號流圖梅遜公式

一個前向通道的情況只有一條前向通路三個不同回路L1、L2不接觸P1與L1、L2、L3均接觸多個前向通道的情況一、系統(tǒng)傳遞函數(shù)

僅控制量作用下

僅擾動量作用下控制量和擾動共同作用下二、系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)僅擾動量作用下控制量和擾動共同作用下§2—7控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)

前向通道：R(s)到C(s)的信號傳遞通路反饋通道：C(s)到B(s)的信號傳遞通路系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋回路接通后，輸出量與輸入量的比值。單獨處理線性疊加系統(tǒng)對控制量R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)對擾動量N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)工作在開環(huán)狀態(tài)，反饋通路斷開。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。

(反饋信號B(s)和偏差信號(s)之間的傳遞函數(shù))系統(tǒng)的開環(huán)傳遞數(shù)函數(shù)假設(shè)擾動量N(s)=0控制量R(S)作用假設(shè)R(s)=0擾動的影響將被抑制!!!擾動量N(S)作用控制量與擾動量同時作用

以誤差信號E(s)為輸出量，以控制量R(s)或攏動量R(s)為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)。二、系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)擾動量N(s)=0控制量R(S)作用假設(shè)R(s)=0擾動量N(S)作用控制量與擾動量同時作用系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的特征多項式1+G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的固有特性與輸入、輸出的形式、位置均無關(guān)；同一個外作用加在系統(tǒng)不同的位置上，系統(tǒng)的響應(yīng)不同，但不會改變系統(tǒng)的固有特性。閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點相同。主要內(nèi)容：

典型輸入信號線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)控制系統(tǒng)時域響應(yīng)的性能指標一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

第三章線性系統(tǒng)的時域分析根據(jù)時域響應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型先行系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)小參量對閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)時域響應(yīng)的計算機輔助分析第一節(jié)典型輸入信號當(dāng)A=1時稱為單位階躍函數(shù),其數(shù)學(xué)表達式為階躍函數(shù)當(dāng)A=1時稱為單位斜坡函數(shù),其數(shù)學(xué)表達式為斜坡函數(shù)當(dāng)A=1/2時稱為單位拋物線函數(shù),其數(shù)學(xué)表達式為拋物線函數(shù)當(dāng)A=1時稱為單位脈沖函數(shù),其數(shù)學(xué)表達式為脈沖函數(shù)正弦函數(shù)

第二節(jié)線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)時域響應(yīng)的概念控制系統(tǒng)模型建立后，就可以分析控制系統(tǒng)的性能。時域分析就是研究系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，動態(tài)性能可以通過在典型輸入信號控制系統(tǒng)的過渡性能來評價。穩(wěn)態(tài)性能則是根據(jù)在典型輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差來評價。微分方程的解齊次方程通解特解

電網(wǎng)絡(luò)分析

網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)（暫態(tài)分量）+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)分量）系統(tǒng)響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)利用拉氏變換解微分方程單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：如給定輸入r(t)為單位階躍函數(shù),系統(tǒng)的輸出即為單位階躍響應(yīng)，一般用h(t)表示。單位脈沖響應(yīng)：如給定輸入r(t)為單位脈沖函數(shù),系統(tǒng)的輸出即為單位脈沖響應(yīng)，一般用g(t)表示。單位脈沖響應(yīng)單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)單位階躍響應(yīng)的特點：

階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴格的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍作用下的動態(tài)性能滿足要求，系統(tǒng)在其它輸入信號作用下，其動態(tài)性能一般滿足要求。

單位脈沖響應(yīng)的特點：

系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)中只有暫態(tài)響應(yīng)，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)總是為零，也就是說不存在與輸入相對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所以系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)更能反映系統(tǒng)的暫態(tài)性能。第三節(jié)控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的性能指標系統(tǒng)的階躍響應(yīng):1.強烈振蕩過程2.振蕩過程3.單調(diào)過程4.微振蕩過程時間響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號作下，其輸出量從初始狀態(tài)到進入穩(wěn)定狀態(tài)前的響應(yīng)過程。一、暫態(tài)響應(yīng)的概念評價系統(tǒng)快速性的性能指標評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標評價系統(tǒng)準確性的性能指標二、暫態(tài)響應(yīng)性能指標評價系統(tǒng)快速性的性能指標上升時間tr:(1)響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。(2)對無超調(diào)系統(tǒng)，響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。峰值時間tp:響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。調(diào)整時間ts:響應(yīng)曲線到達并保持在允許誤差范圍

（穩(wěn)態(tài)值的±2%或±5%）內(nèi)所需的時間。最大超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分數(shù)表示：振蕩次數(shù)N：在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標ISE

（平方誤差積分）ITSE

（時間乘平方誤差的積分）IAE

（絕對誤差積分）ITAE

（時間乘絕對誤差的積分）評價系統(tǒng)準確性的性能指標第四節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

一階系統(tǒng)的形式閉環(huán)極點(特征根)：-1/T一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)性質(zhì)：

1）T

暫態(tài)分量

瞬態(tài)響應(yīng)時間

極點距離虛軸

2）T

暫態(tài)分量

瞬態(tài)響應(yīng)時間

極點距離虛軸

時間增長，無穩(wěn)態(tài)誤差t=Tc(t)=63.2%

實驗法求Tt=3Tc(t)=95%

允許誤差5%

調(diào)整時間ts=3Tt=4Tc(t)=98.2%

允許誤差2%

調(diào)整時間ts=4T一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的斜率:判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)ln[1-c(t)]與時間t成線性關(guān)系:一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)性質(zhì)：1）經(jīng)過足夠長的時間(≥4T)，輸出增長速率近似與輸入相同；2）輸出相對于輸入滯后時間T；3）穩(wěn)態(tài)誤差=T。只包含瞬態(tài)分量?。?！一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)閉環(huán)極點（特征根）：-1/T衰減系數(shù)：1/T對于一階系統(tǒng)輸入信號微分響應(yīng)微分輸入信號積分響應(yīng)積分積分時間常數(shù)由零初始條件確定。線性定常系統(tǒng)的一個性質(zhì)例：水銀溫度計近似可以認為一階慣性環(huán)節(jié)，用其測量加熱器內(nèi)的水溫，當(dāng)插入水中一分鐘時才指示出該水溫的98%的數(shù)值（設(shè)插入前溫度計指示0度）。如果給加熱器加熱，使水溫以10度/分的速度均勻上升，問溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差是多少？解：一階系統(tǒng)，對于階躍輸入，輸出響應(yīng)達98%，費時4T=1分，則T=0.25分。一價系統(tǒng)對于單位斜波信號的穩(wěn)態(tài)誤差是T，故當(dāng)水溫以10度/分作等速變換，穩(wěn)態(tài)指示誤差為10T=2.5度。二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)第五節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階閉環(huán)系統(tǒng)模型

具有零點的二階系統(tǒng)的響應(yīng)

二階欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)指標系統(tǒng)的特征方程閉環(huán)特征方程根（閉環(huán)極點）欠阻尼：0<<1

臨界阻尼：=1

過阻尼：>1

無阻尼：=0一、二階閉環(huán)系統(tǒng)模型二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 4、無阻尼：=0 1、欠阻尼：0<<1 2、臨界阻尼：=1 3、過阻尼：>1 6、幾點結(jié)論 5、負阻尼：<0欠阻尼：0<<1(t0)阻尼自然頻率無穩(wěn)態(tài)誤差；含有指數(shù)衰減振蕩項:

其振幅衰減的快慢由ξ和ωn決定振蕩幅值隨ξ減小而加大。衰減系數(shù)：無阻尼：

=0(t0)無阻尼的等幅振蕩穩(wěn)定邊界：無阻尼自然頻率臨界阻尼：

=1(t0)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。過阻尼：

>1(t0)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，無穩(wěn)態(tài)誤差。負阻尼（ξ<0）

-1<ξ<0極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。ξ<-1振蕩發(fā)散單調(diào)發(fā)散幾點結(jié)論：1）二階系統(tǒng)的阻尼比ξ決定了其振蕩特性：ξ<0

時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；ξ=0時，出現(xiàn)等幅振蕩0<ξ<1時，有振蕩，ξ愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快，ξ≥1

時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；2）ξ一定時，ωn越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速

系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。3）控制系統(tǒng)的阻尼比選擇

工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。過阻尼：

>1(t0)欠阻尼：0<<1無阻尼：

=0臨界阻尼：

=1三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)過阻尼：

>1(t0)欠阻尼：0<<1臨界阻尼：

=1無阻尼：

=0四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)上升時間峰值時間調(diào)整時間五、二階欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)指標最大超調(diào)量振蕩次數(shù)小結(jié)上升時間trξ一定時，ωn越大，tr越??；ωn一定時，ξ越大，tr越大。(t0)峰值時間tp峰值時間等于阻尼振蕩周期的一半ξ一定時，ωn越大，tp越??；ωn一定時，ξ越大，tp越大。最大超調(diào)量Mp：僅與阻尼比ξ有關(guān)。ξ越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好ξ=0.4~0.8

Mp=25.4%~1.5%。調(diào)整時間ts包絡(luò)線實際的ωnts—ξ曲線當(dāng)ξ由零增大時，ωnts先減小后增大，?=5%，ωnts的最小值出現(xiàn)在ξ＝0.78處；?=2%，ωnts的最小值出現(xiàn)在ξ＝0.69處；出現(xiàn)最小值后，ωnts隨ξ幾乎線性增加。結(jié)論：當(dāng)ξ增加到0.69或0.78時，調(diào)整時間ts為最小。設(shè)計二階系統(tǒng)，一般選ξ=0.707,為最佳阻尼比,此時不但調(diào)整時間ts為最小,而且超調(diào)量也不大。當(dāng)0<ξ<0.7時當(dāng)

一定時，ωn越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。振蕩次數(shù)NN僅與ξ有關(guān):

越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。1、二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和ξ決定。2、增加ξ

降低振蕩，減小超調(diào)量Mp

和振蕩次數(shù)N，

系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；3、ξ一定，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。4、Mp、N僅與ξ有關(guān)，而tr、tp、ts與ξ、ωn有關(guān)，通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定ξ。ξ一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整ωn以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。小結(jié)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標由兩個慣性環(huán)節(jié)構(gòu)成的二階系統(tǒng)系統(tǒng)是一個過阻尼系統(tǒng)，最大超調(diào)量=0系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K

系統(tǒng)的最大超調(diào)量

二階系統(tǒng)的慣性時間常數(shù)T

（由過阻尼變?yōu)榍纷枘幔?/p>

試分析：1）該系統(tǒng)能否正常工作？

2）若要求

=0.707，系統(tǒng)應(yīng)作如何改進？

=0

無阻尼等幅不衰減振蕩工作不正常為S平面上零點和極點到虛軸距離之比六、

具有零點的二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)當(dāng)a=

時，即為無零點的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。當(dāng)其它條件不變時，附加一個閉環(huán)零點：超調(diào)量

上升時間

、峰值時間

閉環(huán)零點 影響瞬態(tài)分量的初始幅值和相位； 不影響衰減系數(shù)和阻尼振蕩頻率。附加的閉環(huán)零點從左側(cè)極 點靠近。α

附加零點的影響

=0.5時，若α>4，則零點可忽咯不計。串聯(lián)比例微分對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響增加了系統(tǒng)的阻尼比!!結(jié)論:1、在欠阻尼二階系統(tǒng)的前向通道中加入比例微分環(huán)節(jié)后，將使系統(tǒng)的阻尼比增加，有效地減小原二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量。2、由于閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中加入了一個零點，縮短了調(diào)整時間。三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)閉環(huán)主導(dǎo)極點第六節(jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一、三階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)一階因子引起的非周期指數(shù)衰減二階因子引起的阻尼振蕩其中：1）當(dāng)

=，系統(tǒng)即為二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線；2）附加一個實數(shù)極點（0<<），原二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 超調(diào)量上升時間峰值時間例

>1,

即1/T>n

呈二階系統(tǒng)特性；實數(shù)極點P3距離虛軸遠；共軛復(fù)數(shù)極點p1、p2距離虛軸近特性主要取決于p1、p2。

<1,即1/T<n

呈一階系統(tǒng)特性；實數(shù)極點P3距離虛軸近；共軛復(fù)數(shù)極點p1、p2距離虛軸遠特性主要取決于p3。假設(shè)系統(tǒng)極點互不相同：R(s)=1/sa,aj為C(s)在極點s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與C(s)在極點處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。二、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3）極點的性質(zhì)決定瞬態(tài)分量的類型；

實數(shù)極點非周期瞬態(tài)分量；

共軛復(fù)數(shù)極點阻尼振蕩瞬態(tài)分量。1）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。2）如果所有閉環(huán)極點都在

s平面的左半平面，則隨著時間t→∞，c(∞)=a。，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。極點距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠衰減越快；（衰減系數(shù)pj、

k

k）系統(tǒng)零點分布對時域響應(yīng)的影響 1）系統(tǒng)零點影響各極點處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強度），如果在某一極點附近存在零點，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強度將變小。一對靠得很近的零點和極點其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。 2）通常如果閉環(huán)零點和極點的距離比其模值小一個數(shù)量級，則該極點和零點構(gòu)成一對偶極子，可以對消。主導(dǎo)極點：

（距虛軸最近、實部的絕對值為其它極點實部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點的閉環(huán)極點）對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點，就可以忽略其它遠離虛軸的極點和偶極子的影響，近似為一階或二階系統(tǒng)進行處理?。。?！三、閉環(huán)主導(dǎo)極點三階系統(tǒng)二階系統(tǒng)第七節(jié)根據(jù)時域響應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型階躍響應(yīng)曲線類型與數(shù)學(xué)模型從階躍響應(yīng)曲線確定慣性時間常數(shù)的方法一、階躍響應(yīng)曲線類型與數(shù)學(xué)模型慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)并有滯后環(huán)節(jié)具有振蕩環(huán)節(jié)的高階系統(tǒng)1、慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)階躍響應(yīng)的特點：（１）階躍響應(yīng)是隨時間單調(diào)增長的非周期曲線；（２）如果系統(tǒng)是由一個慣性環(huán)節(jié)組成，在t=0處的斜率最大。（３）如果系統(tǒng)是由多個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，在t=0處的斜率為０。結(jié)論：

如果階躍響應(yīng)曲線是隨時間單調(diào)增長的非周期曲線，且在t=0處的斜率為最大，則系統(tǒng)是一個慣性環(huán)節(jié)；在t=0處的斜率為０，則系統(tǒng)由多個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成２、慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)并有滯后環(huán)節(jié)３、具有振蕩環(huán)節(jié)高階系統(tǒng)確定參量的方法：第一步從實驗曲線中確定ＭＰ和tp第二步由ＭＰ確定阻尼比第三步確定時間常數(shù)二、從階躍響應(yīng)曲線確定慣性時間常數(shù)的方法１、半對數(shù)法２、切線法（１）一階非周期環(huán)節(jié)參量的確定（２）高階非周期環(huán)節(jié)參量的確定（１）一階非周期環(huán)節(jié)參量的確定在半對數(shù)坐標紙上，以C(∞)-C(t)的對數(shù)比例尺為縱坐標，t為橫坐標畫出上式表示的直線，直線斜率為：求法：在縱坐標上找到對應(yīng)的點Ｎ，過此點引水平線與直線交于Ｍ點，過Ｍ作垂線，即可求出時間常數(shù)τ（２）高階非周期環(huán)節(jié)參量的確定依照前法可確定時間常數(shù)τ１依照前法可確定時間常數(shù)τ２２、切線法切線方程：與穩(wěn)態(tài)值交點Ｂ的時間值為：求法：第一步找出階躍響應(yīng)曲線的拐點Ａ第二步過Ａ點作垂線求出時間常數(shù)τ第三步過Ａ點作階躍響應(yīng)曲線的切線第四步得到與穩(wěn)態(tài)值的交點Ｂ第五步過Ｂ點作垂線求出３τＢ第六步比較τ與τＢ的大小，當(dāng)τ與τＢ接近表明系統(tǒng)是由兩個時間常數(shù)非常接近的慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時間常數(shù)為τ；否則，系統(tǒng)是由兩個時間常數(shù)相差較大的慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，時間常數(shù)改用半對數(shù)法確定。第九節(jié)勞斯—赫爾維茨判據(jù)穩(wěn)定性的基本概念勞斯判據(jù)赫爾維茨判據(jù)勞斯判據(jù)的應(yīng)用一、穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定的必要條件例1穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺例2無限放大直到飽和無輸入時因干擾直至飽和穩(wěn)定性的定義控制系統(tǒng)在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)攏動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復(fù)到原來的初始平衡狀態(tài)。(a)外加擾動注意：以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。(b)穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。大范圍穩(wěn)定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。(a)大范圍穩(wěn)定(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。注意：對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定

大范圍穩(wěn)定。(a)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。穩(wěn)定的充要條件假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當(dāng)t→∞時，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。

穩(wěn)定的條件：理想脈沖函數(shù)作用下

R(s)=1。對于穩(wěn)定系統(tǒng),t

時,輸出量

c(t)=0。由上式知：如果pi和

i均為負值,

當(dāng)t

時,c(t)0。自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。注意：穩(wěn)定性與零點無關(guān)S平面系統(tǒng)特征方程例結(jié)果：共軛復(fù)根，具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)特征各項系數(shù)具有相同的符號，且無零系數(shù)。設(shè)系統(tǒng)特征根為p1、p2、…、pn-1、pn各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積全部根具有負實部某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為被控對象水箱的傳遞函數(shù)； 為執(zhí)行電動機的傳遞函數(shù)；K1為進水閥門的傳遞系數(shù)；Kp為杠桿比；H0為希望水位高；H為實際水位高。由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

令 ,為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，則特征方程展開寫為為三階系統(tǒng),但缺少s項，即對應(yīng)的特征多項式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)二、勞斯判據(jù)勞斯(routh)判據(jù)勞斯陣列勞斯(routh)判據(jù)的特殊情況勞斯陣列性質(zhì)：第一列符號改變次數(shù)==系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)。特征方程：

勞斯陣列：

勞斯(routh)判據(jù)如果符號相同

系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零

系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同

符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)

系統(tǒng)不穩(wěn)定。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號。“第一列中各數(shù)”注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。勞思判據(jù)判定穩(wěn)定性勞斯(routh)判據(jù)的特殊情況特殊情況1：第一列出現(xiàn)0特殊情況2：某一行元素均為0特殊情況1：第一列出現(xiàn)0特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)

代之。特殊情況2：某一行元素均為0特殊情況：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程。各項系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)得:例如：勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根三、赫爾維茨判據(jù)赫爾維茨行列式赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)例赫爾維茨行列式系統(tǒng)的n階赫爾維茨行列式取各階主子行列式作為1階~（n-1）階赫爾維茲行列式赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)a0>0時，各階赫爾維茨行列式

1、2、…、n均大于零。一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)

a0>0時,a1>0(全部系數(shù)數(shù)同號)

a0>0時,a1>0,a2>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a0>0時a0>0時三階系統(tǒng)a0>0時,a1>0,a2>0,a3>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a0>0時

a1a2>a0a3

四階系統(tǒng)a0>0時,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0

(全部系數(shù)數(shù)同號)a0>0時

一階系統(tǒng)a1>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a1>0,a2>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a1>0,a2>0,a3>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系數(shù)數(shù)同號)歸納：a0>0時二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)四階系統(tǒng)例a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的穩(wěn)定范圍各項系數(shù)均為正數(shù)a0>0時,單位反饋系統(tǒng),已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下：判斷上述系統(tǒng)開環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并說明開環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。系統(tǒng)1的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)3的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)2的閉環(huán)特征方程為：K的穩(wěn)定域為：K的穩(wěn)定域為：結(jié)論：增加系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。由于特征方程缺項，不存在K的穩(wěn)定域。四、勞斯判據(jù)的應(yīng)用1、判定系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍2、根據(jù)給定穩(wěn)定裕度確定參數(shù)取值第十節(jié)小參量對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響一、小參量處理問題二、將小參量忽略不計使模型降階的分析三、處理小參量應(yīng)注意的問題小參量處理問題：在某種前提條件下，用各種方法，或?qū)⑵浜雎圆挥嫞驅(qū)⑵渥鲎兺ㄌ幚?，使?shù)學(xué)模型降階或簡化成易于應(yīng)用線性系統(tǒng)理論的近似形式。例如：

處理高階系統(tǒng)時，根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念，可將高階系統(tǒng)視為二階系統(tǒng)。研究小參量處理問題的目的和意義：

簡化數(shù)學(xué)模型、使系統(tǒng)的階次降低一、小參量處理問題二、將小參量忽略不計使模型降階的分析1、對于開環(huán)系統(tǒng)忽略小參量只需考慮系統(tǒng)的時間常數(shù)的數(shù)值相對大小這一條件即可。例如：開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2、對于閉環(huán)系統(tǒng)忽略小參量不僅需考慮系統(tǒng)的時間常數(shù)的數(shù)值相對大小，而且還必須考慮系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)（或開環(huán)增益）。閉環(huán)控制系統(tǒng)忽略小參量的前提條件：

（1）系統(tǒng)中時間常數(shù)相對值的大?。?）必須同時考慮系統(tǒng)的開環(huán)增益實質(zhì)：當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益比臨界開環(huán)增益小很多時，系統(tǒng)中時間常數(shù)相對值很小的參數(shù)可以近似為零。三、處理小參量應(yīng)注意的問題1、常見的近似式2、近似式成立的條件（1）存在相對較大的時間常數(shù)；（2）開環(huán)增益比臨界開環(huán)增益小很多；第十一節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的概念

網(wǎng)絡(luò)分析中穩(wěn)定的定義：系統(tǒng)達到不隨獨立變量而變化的一個定值狀態(tài)稱為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定定義：

時間趨于無窮大（足夠長）時的固定響應(yīng)稱為控制系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。區(qū)別：網(wǎng)絡(luò)分析中的定義要求：定值狀態(tài)；

控制系統(tǒng)的定義：時間、固定響應(yīng)。例如：系統(tǒng)的響應(yīng)經(jīng)過足夠長的時間后系統(tǒng)響應(yīng)為正弦波狀態(tài)，根據(jù)用兩種不同的定義分析系統(tǒng)穩(wěn)定性將會得到不同結(jié)果。

穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)系統(tǒng)在特定類型輸入信號作用下，達到穩(wěn)定狀態(tài)時系統(tǒng)精度的度量。說明：誤差產(chǎn)生的原因是多樣的，我們只研究由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參量、以及輸入信號的形式不同所引起的誤差。穩(wěn)態(tài)誤差分類：跟隨穩(wěn)態(tài)誤差：用于衡量隨動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。表示系統(tǒng)能以什么精度跟隨系統(tǒng)輸入信號的變化，用esr表示。擾動誤差：用于衡量恒值調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。表示系統(tǒng)在擾動信號作用下系統(tǒng)偏離平衡點的情況，用esn表示。穩(wěn)態(tài)誤差=跟隨穩(wěn)態(tài)誤差+擾動誤差

ess=esr+esn誤差:輸入信號作用下的系統(tǒng)響應(yīng)e(t)穩(wěn)態(tài)誤差：瞬態(tài)過程結(jié)束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量控制信號作用下擾動作用下線性定常系統(tǒng)的隨動（給定）誤差穩(wěn)態(tài)誤差：輸入信號作用下瞬態(tài)過程結(jié)束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量。誤差傳遞函數(shù)輸入拉氏變換開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差：擾動作用下瞬態(tài)過程結(jié)束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量線性定常系統(tǒng)的擾動誤差擾動誤差傳遞函數(shù)擾動拉氏變換開環(huán)傳遞函數(shù)例1解：sE(s)的極點不全部分布在[S]平面的左半部例2終值定理第十二節(jié)給定誤差和擾動誤差分析穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響誤差級數(shù)（動態(tài)誤差）擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差提高穩(wěn)態(tài)精度的措施1、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)單位階躍輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸入穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)2、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響V=0 Ⅰ型系統(tǒng)V=1 Ⅱ型系統(tǒng)V=2 Ⅲ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有差系統(tǒng)V=0I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一階有差系統(tǒng)V=1II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差二階有差系統(tǒng)V=2穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差（系統(tǒng)在控制信號作用下）減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差方法提高系統(tǒng)的開環(huán)增益增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性注意:(1)盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。(2)如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。(3)系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差誤差等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。例：I型單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)增益K=600s-1,系統(tǒng)最大跟蹤速度

max

=24/s，求系統(tǒng)在最大跟蹤速度下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差I(lǐng)型系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為例：閥控油缸伺服工作臺要求定位精度為0.05cm,該工作臺最大移動速度vmax=10cm/s，若系統(tǒng)為I型，試求系統(tǒng)開環(huán)增益。單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的開環(huán)增益引例定義長除法一般公式誤差性能指標3.誤差級數(shù)(動態(tài)誤差)引例在s=0的鄰域展開泰勒級數(shù)在s=0的鄰域

t

的鄰域動態(tài)誤差系數(shù)的定義動態(tài)位置誤差系數(shù)動態(tài)速度誤差系數(shù)動態(tài)加速度誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù)的長除法求取II型系統(tǒng)0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)動態(tài)誤差系數(shù)的一般公式I型系統(tǒng)例4.

擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差定義0型系統(tǒng)擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(V=k=l=0)1）只有三種值：0、常數(shù)（1/k1）、；2）擾動作用引起的常數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差只與增益K1有關(guān)。擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差表比例積分環(huán)節(jié)提高穩(wěn)態(tài)精度閉環(huán)回路提高穩(wěn)態(tài)精度輸入量補償?shù)膹?fù)合控制干擾補償?shù)膹?fù)合控制 5.提高穩(wěn)態(tài)精度的措施控制器G1(s)的放大系數(shù)擾動誤差

阻尼

振蕩

求在單位階躍擾動作用下的擾動誤差essn比例積分環(huán)節(jié)提高穩(wěn)態(tài)精度求在單位階躍擾動作用下的擾動誤差essn比較兩個系統(tǒng)，在單位階躍輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差。閉環(huán)回路提高穩(wěn)態(tài)精度如果穩(wěn)態(tài)增益G0（0）將隨時間消逝而偏離1，穩(wěn)態(tài)誤差不再等于0

須重新調(diào)整系統(tǒng)。單位階躍輸入下設(shè)在回路的傳遞函數(shù)中有如下的變化:K=10，

K=1單位階躍輸入下設(shè)在回路的傳遞函數(shù)中有如下的變化：K=10，

K=1，且有Kp=100/K若位置隨動系統(tǒng)：雷達跟蹤系統(tǒng)、船舵操縱系統(tǒng)。

輸入量補償?shù)膹?fù)合控制前饋/順饋若系統(tǒng)在控制信號作用下干擾量補償?shù)膹?fù)合控制前饋/順饋物理上難實現(xiàn)（分子階次高于分母的階次），近似取作業(yè)P903—1二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差P903—2誤差系數(shù)的求法P903—3穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)P913—4穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)P913—6系統(tǒng)參數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差一、ＭＡＴＬＡＢ中連續(xù)系統(tǒng)模型表示方法二、求連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)三、求連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)四、任意輸入下的響應(yīng)的仿真計算第十三節(jié)用ＭＡＴＬＡＢ求取瞬態(tài)響應(yīng)一、ＭＡＴＬＡＢ中連續(xù)系統(tǒng)模型表示方法１、連續(xù)系統(tǒng)多項式模型ＭＡＴＬＡＢ表示方法分子多項式num=[b0b1…bm-1bm]分母多項式den=[a0a1…an-1an]系統(tǒng)表示方法（num,den)２、連續(xù)系統(tǒng)零極點模型ＭＡＴＬＡＢ表示方法比例系數(shù)Ｋ＝k分子Z=[-z1,-z2,…,-zm]分母Ｐ=[-p1,-p2,…,-pm]系統(tǒng)表示方法（Z,P,K)模型轉(zhuǎn)換［num,den]=zp2tf（Z,P,K)二、連續(xù)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)例一：求如下系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)%example1num=[1.9691,5.0395]den=[1,0.5572,0.6106]impulse(num,den)end在ＭＡＴＬＡＢ的Ｅditor/Debugger輸入程序在ＴＯＯＬＳ菜單中選擇ＲＵＮ得到結(jié)果三、連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)%example２num=[1.9691,5.0395]den=[1,0.5572,0.6106]step(num,den)end例二：求如下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在ＭＡＴＬＡＢ的Ｅditor/Debugger輸入程序在ＴＯＯＬＳ菜單中選擇ＲＵＮ得到結(jié)果四、任意輸入下的響應(yīng)的仿真計算%example３num=[1.9691,5.0395];

den=[1,0.5572,0.6106];t=0:0.1:80;

period=20;u=(rem(t,period)>=period./2);

[y,x]=lsim(num,den,u,t);plot(t,u,'-b',t,y,'-r')end例三：求如下系統(tǒng)的在周期為２Ｓ的方波輸入時的響應(yīng)在ＭＡＴＬＡＢ的Ｅditor/Debugger輸入程序在ＴＯＯＬＳ菜單中選擇ＲＵＮ得到結(jié)果

主要內(nèi)容§4—1根軌跡的基本概念§4—2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則§4—3廣義根軌跡§4—4滯后系統(tǒng)的根軌跡§4—5利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能§4—6用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析§4—1根軌跡的基本概念系統(tǒng)特征根的圖解方法!!!根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)變化時，相應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根在s平面上的位置也隨之變化移動，一個根形成一條軌跡。廣義根軌跡:系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。狹義根軌跡（通常情況）：變化參數(shù)為開環(huán)增益K，且其變化取值范圍為0到∞。問題1:如何按希望性能將閉環(huán)極點合適的位置?閉環(huán)極點（即閉環(huán)特征方程根）閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、瞬態(tài)響應(yīng)特性問題2:當(dāng)系統(tǒng)的某些參數(shù)（如開環(huán)增益）變化時，反復(fù)求解，不方便,有沒有簡便分析方法?K＝0時兩個負實根K值增加相對靠近移動離開負實軸，分別s=-1/2直線向上和向下移動。一對共軛復(fù)根

根軌跡圖

系統(tǒng)的相關(guān)動靜態(tài)性能信息過阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程；臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程；欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。1）當(dāng)K值確定之后，根據(jù)閉環(huán)極點的位置，該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)指標便可求出。2）閉環(huán)極點不可能出現(xiàn)在S平面右半部，系統(tǒng)始終穩(wěn)定。!系統(tǒng)開環(huán)增益確定

閉環(huán)極點在S平面上的位置也確定。

閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點間的關(guān)系前向通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益前向通道增益開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益前向通道零點反饋通道零點前向通道極點反饋通道極點m個零點(m=f+l)n個極點(n=q+h)m個零點(m=f+l)n個極點(n=q+h)3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益=開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點=前向通道的零點+反饋通道的極點；2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及根軌跡增益均有關(guān)；

！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點和極點，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點。單位反饋系統(tǒng)（1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益；（2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點就是開環(huán)系統(tǒng)的零點?！?—2繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件二、繪制根軌跡的基本規(guī)則三、閉環(huán)極點的確定一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件根軌跡方程m個零點n個極點（nm）幅值條件1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；2）必要條件：幅角條件（k=0,1,2,…）1）幅角條件只與開環(huán)零、極點有關(guān)2）充要條件：

幅值條件K＝2幅值條件成立！不是根軌跡上的一點根軌跡上的一點必要條件：

S平面上的某一點s是根軌跡上的點，則幅值條件成立；

S平面上的任一點s滿足幅值條件，該點卻不一定是根軌跡上的點。幅值條件是必要條件開環(huán)極點（“×”）p1=0開環(huán)零點（“〇”）!!幅角均以反時針方向進行。如果幅角條件成立，則s1即根軌跡上的一個點。

1開環(huán)零點至s1的幅角

1、2、3、4：開環(huán)極點至s1的幅角。由幅值條件幅角條件繪制根軌跡，幅值條件定K值單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

一個開環(huán)極點P1=0

負實軸上點s1s2=-1-j負實軸上都是根軌跡上的點！

負實軸外的點都不是根軌跡上的點！

舉例二、繪制根軌跡的基本規(guī)則一、根軌跡的起點和終點二、根軌跡分支數(shù)三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性四、實軸上的根軌跡五、根軌跡的漸近線六、根軌跡的分離點

七、根軌跡的起始角和終止角八、根軌跡與虛軸的交點九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積一、根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點幅值條件s值必須趨近于某個開環(huán)極點

根軌跡起始于開環(huán)極點s值必須趨近于某個開環(huán)零點

根軌跡終止于開環(huán)零點二、根軌跡分支數(shù)n階系統(tǒng)，根軌跡有n個起始點，

系統(tǒng)根軌跡有n個分支2）實際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點一般多于開環(huán)零點，即n>m。m條終止于開環(huán)零點（有限值零點)；（n－m）條根軌跡分支終止于（n－m）個無限遠零點。1）系統(tǒng)特征方程的階次為n次特征方程有n個根

K變化(0到∞

),n個根隨著變化n條根軌跡。三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性根軌跡是連續(xù)曲線，且對稱于實軸。閉環(huán)特征方程的根在開環(huán)零極點已定的情況下，各根分別是K的連續(xù)函數(shù)；特征方程的根為實根或共軛復(fù)數(shù)根。僅需先畫出S平面上半部和實軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。四、實軸上的根軌跡如果實軸上某一區(qū)段的右邊的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實軸必是根軌跡。開環(huán)零點：z1開環(huán)極點：p1、p2、p3、p4、p5在實軸區(qū)段[p2，p3]上取試驗點s1每對共軛復(fù)數(shù)極點所提供的幅角之和為360°；s1左邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為0°。s1右邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為180°；？

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實軸上的根軌跡。[-1，-2]右側(cè)實零、極點數(shù)=3。[-4，-6]右側(cè)實零、極點數(shù)=7。五、根軌跡的漸近線當(dāng)系統(tǒng)n>m時，有（n－m）條根軌跡分支終止于無限遠零點。沿著漸近線趨于無限遠處，漸近線也對稱于實軸（包括與實軸重合）。漸近線與實軸的傾角（k=0，1，2，…）：漸近線與實軸交點的坐標值：證明長除法

K’

∞時，s

∞，取前兩項改寫為模和相角的形式兩邊開（n－m）次方牛頓二項式定理展開，由于s

∞，忽略分母為s的二次冪和二次冪以上各項

1）當(dāng)k值取不同值時，

a有（n－m）個值，而

a不變；2）根軌跡在s

∞時的漸近線為 （n－m）條與實軸交點為

a

、傾角

a為的一組射線。說明已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。漸近線與實軸正方向的夾角：三個開環(huán)極點：0、-1、-5一個開環(huán)零點：-4n-m=3-1=2漸近線與實軸交點：根軌跡的漸近線例一已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。四個開環(huán)極點：0、-1+j、-1-j、-4一個開環(huán)零點：-1n-m=4-1=3漸近線與實軸交點：漸近線與實軸正方向的夾角：根軌跡的漸近線例二六、根軌跡的分離點

分離點（或會合點）：根軌跡在S平面某一點相遇后又立即分開。分離點必然是為D(s)某一數(shù)值時的重根點。1、

b坐標值由分式方程解出證明例2、由極值點求解

b

坐標值由解出

b

證明例必要條件：當(dāng)解得多個s值時，其中k’值為正實數(shù)時才有效。3、重根法求解

b

證明由解出

b

分離點（或會合點）處的根軌跡的會合角（或分離角）會合（或分離）的根軌跡的條數(shù)分離點上的根軌跡的切線方向與實軸正方向的夾角例r重根

r>1含兩邊求導(dǎo)

b必要條件：!!當(dāng)解得多個s值時，其中k’值為正實數(shù)時才有效。[-1，-2]區(qū)間無根軌跡舍去由極值點求解

b坐標值由分式方程解出根軌跡在S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為s1，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有

或兩式相除或即得解出s1，即為分離點

b已知某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布，試概略畫出其根軌跡。規(guī)則1、2、3

根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點0、－2、－3，終止于一個開環(huán)有限零點－1和二個無限零點。根軌跡對稱于實軸。規(guī)則4

實軸上0到－1和－2到－3兩個區(qū)域段為根軌跡規(guī)則5

根軌跡有兩條漸近線（n－m＝2),令k=0

規(guī)則6

在實軸上有根軌跡分離點，且在區(qū)段－2到－3之間由極值點求解

b

假定s點沿實軸自p2點移向p1點,k’增益：從零開始逐漸增大， 到達

b點時為最大， 逐漸減小， 到p1點時k’為零。

根軌跡分離點處所對應(yīng)的k’增益具有極值

？！取在根軌跡上的解。規(guī)則1、2、3、4

根軌跡對稱于實軸，有四條根軌跡分支，分別起始于極點0，－4和－2±j4，終止于無限遠零點。實軸上0～－4區(qū)段為根軌跡。輻角條件

p3、p4的連接線為根軌跡根據(jù)規(guī)則5

根軌跡有四條漸近線根據(jù)規(guī)則6

求根軌跡的分離點p3、p4的連接線上七、根軌跡的起始角和終止角起始角

p:從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的一支根軌跡，在該極點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。根軌跡起始角的一般計算式(0～360°)k＝0，1，…

證明

終止角

z:進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。根軌跡終止角一般計算式(0～360°)

例根軌跡上，靠近起點p1處取一點s1相角方程s1

p1

起始角

p四條分支起始點p1＝0、p2、3＝―0.5+j1.5、p4＝―2.5終止點z1＝－1.5、z2，3

＝－2±j、－∞實軸上0～－1.5和－2.5～－∞兩區(qū)段是根軌跡取k＝0p3和p2為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡起始角對稱。或取k＝1z2和z3為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡終止角對稱。八、根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交

閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值K’，由K’值求出相應(yīng)的ω值例2）代數(shù)法代入特征方程聯(lián)立求解，

根軌跡與虛軸的交點ω值和相應(yīng)的臨界K’值。例系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點。閉環(huán)特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界K’值：K’=6陣列中s2行元素構(gòu)成輔助方程根軌跡與虛軸的交點

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點。代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式zi開環(huán)零點si閉環(huán)極點pi開環(huán)極點閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點）與特征方程的系數(shù)關(guān)系：1）(n-m)

2時，根之和與根軌跡增益K’無關(guān)，是個常數(shù)，且有2）根之和不變

K’增大，一些根軌跡分支向左移動，則一定會相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動。根軌跡增益K’=3K。根軌跡對稱于實軸，有四條根軌跡分支分別起始于開環(huán)極點0，－3，－1±j，終止于零點－2和另外三個無限遠零點。實軸上區(qū)段0～－2和－3～－∞為根軌跡。根軌跡有三條漸近線（n－m＝3），與實軸的傾角為取k＝0、1

＋60°、－