專題03 母子型（解析版）（北師大版）

專題03母子型【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當(dāng)時，，則有．【例題精講】例1．（基本模型）在等腰中，頂角，點D在一腰上，連接，線段與底邊的長相等．若．則；若，則．【答案】6【分析】根據(jù)等邊對等角和外角的性質(zhì)證明∠ABD=∠A，得到AD=BD=BC=6；設(shè)AD=x，再證明△ABC∽△BDC，得到，解之即可．【詳解】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=72°，∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=72°-36°=36°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，∵BD=BC=6，∴AD=6；若AB=AC=6，設(shè)AD=x，則BD=BC=x，∴CD=6-x，∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，即，解得：x=或（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗：x=是原方程的解，∴AD=，故答案為：6，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解分式方程和一元二次方程，解題的關(guān)鍵是靈活運用等邊對等角，從而證明三角形相似．例2．（作輔助線構(gòu)造）如圖，在中，，，，，，則CD的長為．【答案】5【分析】在CD上取點F，使，證明，求解再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.【詳解】解：在CD上取點F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗：符合題意，．故答案為：5．本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.例3．（培優(yōu)綜合）如圖，在等邊三角形的邊上各取一點P，Q，使，相交于點O，若，，則的長為，的長為．【答案】4【分析】證明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP為60°角，再證△AOP相似于△BAP，通過對應(yīng)邊成比例即可求得AP長；過A作AG⊥OP，在Rt△AOG和Rt△APG中，通過勾股定理得到等式，求出OG長，即可得到結(jié)論．【詳解】∵在△AQC和△BAP中，∴，∵，，∴，，過作的垂線與OP交于點G，在△中，設(shè)OG=x，則AO=2x，在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2，在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2，∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=，，故答案為：4，．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．例4．（最值問題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F在邊BC，CD上運動，且滿足BE=CF，連接AE，BF交于點G，連接CG，則CG的最小值為；當(dāng)CG取最小值時，CE的長為【答案】2-2；；【分析】在正方形中，易證，可得，則點的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓弧，因此當(dāng)、、在同一條直線上時，取最小值，根據(jù)勾股定理可得的最小值為，根據(jù)，則有可得，得到：，則，設(shè)，則，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合題意，舍去），從而得到的長為．【詳解】解：如圖示：在正方形中，在和中，，，∴∵∴即有：點的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓弧，因此當(dāng)、、在同一條直線上時，取最小值，∵,∴∴，∴的最小值為，∵，∴∴，∴∴,設(shè)，則，∴，∴又∵，，∴∴,即：解之得：，（不合題意，舍去），∴，故答案是：，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（與函數(shù)綜合）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（a、b），且a、b滿足a2+4a+4＝，點B為x軸上動點，過點P作PC⊥y軸于點C．（1）求O、P兩點間的距離；（2）如圖1，點A為y軸上一點，連接PA、PB、AB，若B（﹣4，0），且∠APB＝45°+∠PAC，求點A的坐標(biāo)；（3）如圖2，過點P作PD⊥PB交y軸正半軸于點D，點M為BD的中點，點N（﹣1，0），則MN的最小值為（請直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）2；（2）A（0，）；（3）．【分析】（1）連接OP，根據(jù)二次根式的性質(zhì)可求得b＝4，a＝﹣2，運用勾股定理即可求得OP；（2）過點B作BD⊥CP交CP延長線于點D，作BE⊥AP于點E，易證四邊形OBDC是正方形，根據(jù)∠APB＝45°+∠PAC，可得PB平分∠APD，由角平分線性質(zhì)可得BD＝BE＝4，設(shè)OA＝x，分兩種情況進行討論：①當(dāng)點A在x軸上方時，②當(dāng)點A在x軸下方時，分別運用三角形面積公式和正方形面積公式計算即可；（3）設(shè)M（x，y），根據(jù)點M是BD中點，可得出B（2x，0），D（0，2y），根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得出MP＝BD，由勾股定理或兩點間距離公式可得出y＝x+，即點M的運動軌跡是直線y＝x+，根據(jù)點到直線距離垂線段最短即可求得答案．【詳解】解：（1）如圖1，連接OP，∵a2+4a+4＝，∴（a+2）2＝，∵，∴b＝4，∴a＝﹣2，∴P（﹣2，4），∵PC⊥OC，∴PC＝2，OC＝4，∴OP＝；（2）如圖2，過點B作BD⊥CP交CP延長線于點D，作BE⊥AP于點E，∵B（﹣4，0），C（0，4），∴OB＝OC＝4，∵∠BOC＝∠OCD＝∠BDC＝90°，∴四邊形OBDC是正方形，∴BD＝OB＝OC＝4，∵∠APB＝45°+∠PAC，∴2∠APB＝90°+∠PAC，∵∠BPD+∠APB＝90°+∠PAC，∴∠BPD＝∠APB，即PB平分∠APD，∵BD⊥PD，BE⊥PA，∴BD＝BE＝4，設(shè)OA＝x，①當(dāng)點A在x軸上方時，AC＝4﹣x，∴PA＝，∵S△ABP＝S正方形OBDC﹣S△BDP﹣S△APC﹣S△AOB，∴××4＝4×4﹣×4×2﹣×2（4﹣x）﹣×4x，解得：x1＝4（舍去），x2＝，經(jīng)檢驗：符合題意，∴A（0，）；②當(dāng)點A在x軸下方時，AC＝4+x，∴PA＝，∵S△ABP＝S正方形OBDC﹣S△BDP﹣S△APC+S△AOB，∴××4＝4×4﹣×4×2﹣×2（4+x）+×4x，解得：x1＝﹣4（舍去），x2＝﹣（舍去），綜上所述，點A的坐標(biāo)為：（0，）；（3）如圖3，設(shè)M（x，y），∵點M是BD中點，點B、D分別在x軸、y軸上，∴B（2x，0），D（0，2y），∵∠DPB＝90°，DM＝BM，∴MP＝BD，∴，化簡，得：y＝x+，∴點M的運動軌跡是直線y＝x+，∴MN的最小值即為點N（﹣1，0）到直線y＝x+的距離，過點N作直線y＝x+的垂線，垂足為Q，設(shè)直線交y軸于點H，交x軸于點G，則OG＝5，OH＝，∵∠GQN＝∠GOH＝90°，∠NGQ＝∠HGO，∴△NGQ∽△HGO，∴，即QN?GH＝GN?OH，∵GN＝OG﹣ON＝4，GH＝＝，∴QN×＝4×，解得：QN＝，∴MN的最小值為．故答案為．【點睛】本題主要考查了二次根式性質(zhì)，勾股定理，兩點間距離公式，正方形判定和性質(zhì)，角平分線判定和性質(zhì)，三角形面積公式，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識，靈活運用轉(zhuǎn)化思想將求MN最小值轉(zhuǎn)化為點到直線距離是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．2．已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）證明△EAB∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H.在Rt△CDG中利用已知條件求得DG、OG的長，再根據(jù)△CDE的面積為6，可求得DE的長，在△ABH中求得BH、AH的長，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的長，由S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）證明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴，∴．（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H，∵CD＝5，cos∠ADC＝，∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝，由（1）得△ECG∽△EAH，∴，∴EH＝，∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．【點睛】本題考查的主要是解直角三角形知識和三角形相似問題，解直角三角形可以為我們提供三角形中邊的條件和角的條件，利用三角形相似可以建立方程，表達(dá)出變量之間的關(guān)系；這種類型的題目給出的條件中有三角函數(shù)和邊長，在解題時就應(yīng)該利用三角函數(shù)和已知的邊長求出另外的邊長，繼而進行解題；三角函數(shù)的計算要在直角三角形中進行，因此借助輔助線構(gòu)造直角三角形就是解決這種類型題目的關(guān)鍵．3．定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解；(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當(dāng)在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當(dāng)在上時，，對應(yīng)邊成比例即可求長度；不可能在上．（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當(dāng)時，，，，即是邊上的高，當(dāng)時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D為BC邊的中點，點E是CA延長線上一點，把ACDE沿DE翻折，點C落在處，與AB交于點F，連接．當(dāng)時，BC’的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接CC′，過點C′作C′H⊥EC于H．設(shè)AB交DE于N，過點N作NT⊥EF于T，過點D作DM⊥EC于M．證明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接CC′，過點C′作C′H⊥EC于H．設(shè)AB交DE于N，過點N作NT⊥EF于T，過點D作DM⊥EC于M．∵∠FAE=∠CAB=90°，，∴EF：AF：AE=5：4：3，∵C′H∥AF，∴△EAF∽△EHC′，∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，設(shè)EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，則CH=2k，由翻折可知，∠AEN=∠TEN，∵NA⊥EA，NT⊥ET，∴∠NAE=∠NTE，∵NE=NE，∴△NEA≌△NET（AAS），∴AN=NT，EA=ET，設(shè)AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，則AE=ET=3m，TF=2m，在Rt△FNT中，F(xiàn)N2=NT2+FT2，∴（4mx）2=x2+（2m）2，解得：，∵AC=AB=，∠CAB=90°，∴BC=AC=，∴CD=BD=，∵DM⊥CM，∠DCM=45°，∴CM=DM=，∵AN∥DM，∴，∴，∴EM=，∴EC=，∴，∴CH=，C′H=，∴CC′=，∵DC=DC′=DB，∴∠CC′B=90°，∴BC′=，故選：D．【點睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．5．如圖，在中，AB=AC=4，，點D為邊AC上一動點（點C除外），將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至ED，連接CE，則面積的最大值為【答案】【分析】設(shè)CD=x，過A作與Z，過B作的延長線于N，過E作的延長線于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，證出，即可得出結(jié)果；【詳解】設(shè)CD=x，過A作與Z，過B作的延長線于N，過E作的延長線于M，如圖所示：∵AB=AC，∴，∵AC=4，∴，又∵，∴，∴，∴，解得，根據(jù)勾股定理得，∴，根據(jù)題意可得，即可得到,線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至ED，∴，∴ME=DN=CN-CD=，∴，∴面積最大時，，此時．【點睛】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活應(yīng)用，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖，在中，平分在延長線上，且，若，，則的長為．【答案】【分析】通過證，得到求出BF=2，，，進而求出CF的長，進而得到∠BAD=∠DFC，從而證CFD∽CAB，得到，將證得邊的關(guān)系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，DE=BD∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD∴∠DBC=∠AED如圖，在BC上取點，使BF=AE則在與中，∴∴AE=BF=2，，∴CF=BC-BF=8-2=6∵∠BAD=，∠DFC=∴∠BAD=∠DFC又∵∠C=∠C∴CFD∽CAB∴∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∠BAD=∠DFC∴∵，∴∴DF=FC=6，則AD=DF=6，∴CA=6+CD又∵CF=6，BC=8，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題考查的全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是中考綜合性題目，而且還要會解一元二次方程，用方程法解幾何問題．解答此題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系．2．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．【答案】【分析】延長到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．3．已知：如圖，中，平分，的垂直平分線交于點，交于點，交于點，交的延長線于點，求證：．【答案】見解析【分析】連接AF，先利用垂直平分定義以及角平分線性質(zhì)，求證，所以，所以【詳解】證明：如圖所示，連，∵垂直平分，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，又公共，∴，∴，∴，∴.【點睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)，能夠靈活運用三角形判定定理是解題關(guān)鍵4．如圖，已知中，，是邊的中點，是邊上一動點，與相交于點．（1）如果，，且為的中點，求線段的長；（2）連接，如果，且，，求的值；（3）連接，如果，且，，求線段的長．

【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知條件得到CP=4，求得BP=2，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，過點B作BF∥CA交CD的延長線于點F，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，求得，設(shè)CP=k，則PA=3k，得到PA=PB=3k根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=AB，推出△PBD∽△ABP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵為的中點，，∴∵，，∴∵是邊的中點，為的中點，∴點是的重心∴（2）過點作交的延長線于點∴∵，∴，∵，，則，∴∴∴，∴，設(shè)，則∵，是邊的中點，∴∴，∴，∵∴（3）∵，是邊的中點∴∵∴∵，∴∴∵，∴，∵，，∴∵，，∴【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②【分析】（1）由已知易證，利用可求得AD的長；（2）①由（1）和已知易證，進而證得；②過作，與的延長線交于，易證：、和均為等腰三角形，進而得到AC=BG，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)即可得證．【詳解】解：（1）∵在中，，平分，∴，又∠A=∠A，∴，∴，∵，，∴；（2）①∵交于，于，∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴，∵，，∴；②過作，與的延長線交于，∵，∴，∴、和均為等腰三角形，∴，∵在等腰中，于，∴，即，∴的值為．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，會借助作平行線，用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)解決問題是解答的關(guān)鍵．6.（1）如圖，點在線段上，點在直線的同側(cè)，，求證：；（2）如圖，點在線段上，點在直線的同側(cè)，，，，，求的值；（3）如圖，中，點在邊上，且，，，點在邊上，連接，，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）要證，可證，根據(jù)可得，即可證得；（2）根據(jù)，，可得到，從而求出相應(yīng)的線段長度，得到的值；（3）根據(jù)，可得到，可求出的長，再根據(jù)已知條件證得即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴．(2)解：如解圖，與交于點，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，設(shè)，∴，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，解得，∴；（3）解：如解圖，∵，，∴，∴，∴，解得，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出相關(guān)的線段長度，最后一問以EC為腰作等腰三角形為解題關(guān)鍵．7．如圖：在矩形ABCD中，，，動點Р以的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t秒．（1）______m，______m，_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似？（3）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1），，；（2）或；（3）四邊形ABQP與CPQ的面積不相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)，計算得，結(jié)合題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程并求解，即可得到答案；（3）過點P作，交