等腰梯形（練習）-2022-2023學年八年級數(shù)學下冊同步滬教版詳解

22.5等腰梯形（分層練習）

【夯實基礎】

一、單選題

1.（2021春?上海徐匯?八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD中，AB//CD,AC=BD,下列判斷中的正確的

是（）

A.如果=那么四邊形ABCD是等腰梯形

B.如果那么四邊形A3CD是菱形

C.如果AC平分B。，那么四邊形ABCD是矩形

D.如果那么四邊形ABCD是正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理進行判斷即可.

【詳解】解：A.如果BC=AO,那么四邊形ABC?？赡苁堑妊菪危部赡苁蔷匦?，錯誤；

B.如果AO〃BC,那么四邊形A3C。是矩形，錯誤；

C.如果AC平分B。，那么四邊形ABC。是矩形，正確；

D.如果ACLBD,那么四邊形A3CD不一定是正方形，錯誤；

故選：C.

【點睛】此題考查等腰梯形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答.

2.（2022春?上海?八年級專題練習）如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,下底與上底AD的

差恰好等于腰長則440=（）

A.120°B.135°C.150°D.60°

【答案】A

【分析】首先過點A作AE//CD,交BC于點、E,易得四邊形AECD是平行四邊形，又由下底BC與上底AD

的差恰好等于腰長則可證得AABE是等邊三角形，繼而求得答案.

【詳解】解:過點A作AE//CD,交BC于點、E,

「等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD,

二?四邊形AECD是平行四邊形，

:.EC=AD,AE=CD,

AE=AB，

.?下底3C與上底AD的差恰好等于腰長AB,

:.BE=BC-EC=BC-AD=AB,

AB=AE=BE，

即/SABE是等邊三角形，

:.ZB=60°,

:.ZBAD=120°.

故選：A.

【點睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題難度

適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

3.（2022春?上海?八年級專題練習）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC=6cm,NA=60。,

3D平分-A5C,那么這個梯形的周長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰梯形性質(zhì)求出NCBA=ZA=60°,求出ZDBA=Z.CBD=30°,求出ZCDB=ZCBD,推出

DC=BC=6cm,求出NADF=90。，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB,即可求出答案.

【詳解】解：，等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC=6cm,ZA=60。，

:.ZCBA=ZA=6O°,NCDB=/DBA,

Q8D平分/ABC,

:.ZDBA=ZCBD=30°

:.ZCDB=ZCBD,

/.DC=BC=6cm

ZA=60°,ZDBA=30°,

:.ZADB=9Q°,

AB=2AD=12cm

，梯形ABC。的周長是AT>+QC+3C+AB=6+6+6+12=30cm,

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰梯形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定

的應用，關(guān)鍵是能求出OC和的長.

4.（2022春?上海?八年級專題練習）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,對角線AC13C,23=60。，

BC=2cm,則梯形A3CD的周長為（）

A.3V3cmB.6cmC.（6+2石卜mD.10cm

【答案】D

【分析】過點C作CE1AB,由已知可得NC4B=30。，根據(jù)直角三角形中30度所對的角是斜邊的一半可

求得A3,AC的長，再根據(jù)等腰梯形同一底的兩角相等可推出/ZMC=NDC4,從而可求得CO的長，進

而求出梯形ABCD的周長.

【詳解】解：過點C作CE/AB,

QAC1BC,/3=60。，

.?.ZGW=30°,

BC=2cm,

AB=4cm,

梯形ABC。是等腰梯形,

:.CD//AB,

.\ZB=ZDAB=60°,ZCAB=ZDCA=30°,

ZG4B=30°,

.\ZDAC=ZDCA=30°,

CD=AD=BC=2cm,

「?梯形A3CD的周長為AB+5C+CD+AZ）=4+2+2+2=10cm.

故選：D.

【點睛】本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)：①等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的中點的直

線；②等腰梯形同一底上的兩個角相等；③等腰梯形的兩條對角線相等，掌握等腰梯形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5.（2022春?上海?八年級專題練習）如圖：在等腰梯形相。中,4?！?。,過。作。尸!3c于/，若AD=2,

BC=4,DF=2,則DC的長為（）

A.1B.75C.2D.73

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得C歹的值，繼而在MDPC中利用勾股定理可求出CO.

【詳解】解：四邊形ABCD是等腰梯形，

.-.CF=1（BC-AD）=1

在Rf.ORC中，CD=^DF2+CF2=V5

故選：B.

【點睛】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出Cb的長度是關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2022春?上海?八年級期末）如圖，已知YABCD中，AB=6,AD=8,AH±BC,垂足為點H,點、M、N

分別是A4、8的中點.聯(lián)結(jié)MN.如果MN=6.5,那么NC的度數(shù)是.

D

BHC

【答案】120。

【分析】依據(jù)梯形中位線定理進行計算，可得C8的長，進而得到2〃的長，再根據(jù)的度數(shù)，即可得出

/C的度數(shù).

【詳解】解：CH<AD,

四邊形AOC”是梯形，

???點M、N分別是AH、C。的中點，

MN是梯形ADCH的中位線，

:.MN=g(AD+CH),即6.5=1(8+CH),

解得CH=5,

：.BH=BC-HC=8-5=3,

又；AB=6,

：.RtAABH<^,BH=^AB,

：.ZBAH=30°,ZB=60°,

.,.ZC=180°-ZB=120°,

故答案為：120。.

【點睛】本題主要考查了梯形中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)的運用，解題時注意：連接梯形兩腰中點

的線段叫做梯形的中位線；梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底之和的一半.

7.(2022春.上海.八年級期末)如果等腰梯形的一個底角為120。，這個等腰梯形的上、下底長分別為6和

10,那么這個等腰梯形的腰長為.

【答案】4

【分析】過D作r?E〃AB,交BC于E,得出四邊形ABE。是平行四邊形，推出AB=OE=￡)C,AD=BE=6,

求出CE,由等腰梯形的性質(zhì)得到/C=/B=60。，進而得到AOEC是等邊三角形，求出CE=OC即可求出答

案.

【詳解】解：：四邊形A2C。是等腰梯形，ZA=ZADC=120°,

：.ZB=ZC,AD//BC,AB=DC,

ZA+ZB=180°,

ZS=ZC=180°-ZA=180°-120°=60°,

如圖，過。作。E〃AB,交BC于E,

'：AD//BC,

...四邊形ABED是平行四邊形，

：.AB=DE=DC,AD=BE=6,

：.CE=BC-BE=10-6=4,

VZC=ZB=60°,

...△DEC是等邊三角形，

：.DC=CE=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了等腰梯形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應用，關(guān)鍵是能

把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和等腰三角形.

三、解答題

8.（2022春?上海?八年級專題練習）如圖，在等腰梯形ABCD中,AD=BC,ZACB=90°,48=60。,

DC=2cm,求AB的長.

AB

【答案】4cm

【分析】根據(jù)ABC。為等腰梯形，得出N3=N54O=60。，AD=3C根據(jù)/ACB=90。.得出N54C=30。，

ZDAC=3O°,所以AC平分/BAD,根據(jù)AB//CD,從而得出=根據(jù)等角對等邊得

出AD=CD=2,BC^AD=2.在RtAABC中即可求得AB=23C=4.

【詳解】解：AB8為等腰梯形，

:.AD^BC,ZB=ZBAD=60°

ZACB=90°.

:.ZBAC=30°,

zmc=30°

」.AC平分2BA。，

AB//CD,

ADAC=ZCAB=ZDCA

AD=CD=BC=2cm

在RtAABC中，AB=2及7=4cm.

【點睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)，屬基礎題.

9.(2022春?上海.八年級專題練習)如圖所示，在等腰梯形ABCD中A2=2C=4。=)DC,E是。C中點,

AE,相交于點。.

(1)求證：四邊形ABED是菱形;

(2)求證：BDLBC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明;

(2)根據(jù)菱形的對角線互相垂直的性質(zhì)，即可證明.

(1)

證明：四邊形ABCD是等腰梯形，

:.AB//CD,

AB=BC=AD=^DC,E是。C中點，

AB=AD=DE，

即=AB//DE,

四邊形ABED是平行四邊形,

AB=AD,

:?平行四邊形ABED是菱形;

(2)

四邊形/WED是菱形，

:.BD±AE,

AB=CE,ABIICE,

，四邊形AECB是平行四邊形，

:.AEHBC,

:.BD±BC.

【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的性質(zhì)和菱形

的判定與性質(zhì).

10.(2021春.上海青浦.八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分

別交于A、8兩點，點C在線段A3上，且CB=36.

(1)求點C的坐標；

(2)在坐標平面內(nèi)是否存在點Q,使得以A、C、。、。為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請直接寫

出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)C(-3,l);(2)存在，。點的坐標為Q(T1),g2(-3,-3),

【分析】(1)先求出點4B坐標進而求出AB,進而求出AC,設點CQ,a+4)再用兩點間的距離公式

建立方程求解，即可得出結(jié)論；

(2)①當?shù)妊菪问茿CQO時，過點C作CELOA于E,過點。作QfUOA于死先判斷出RMAEC咨RMOFQ

(HL),得出AE=OF,即可得出結(jié)論；

②當?shù)妊菪蜛CO。時，過點。作QNLAC于N,過點。作OMLAC于則四邊形OMNQ是矩形，得

出QN=0M,同①的方法得，Rt^COM^Rt^AQN(HL),得出CM=AN,再求出點M(-2,2),N(-5,-1),

最后用平移的方法即可得出結(jié)論；

③當?shù)妊菪问茿COQ時，得出連接C。，則CQ=OA=4,先求出直線OC的解析式為y=-；x,進而求出直

1414

線AQ的解析式為y=-§x-w，設。（4,J4-］）（4>-3）,利用CQ=4,建立方程求解，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1），直線>=》+4與x軸、了軸分別交于A、3兩點，

令x=0,則y=4,

令y=0,則x+4=0,

.,.x=-4,

..A（T,0）,3（0,4）,

AB=4忘.

CB=3CA,

：.AC=-AB=s/2.

4

因為點C在線段AB上，

所以設C的坐標為（。,。+4）.

J（a+4）2+（a+4）-=>/2,

解得：a=-3或a=-5（不符題意，舍去），

C（-3,l）.

（2）存在，

由（1）知，A（-4,0）,C（-3,1）,

?.?以A、C、。、。為頂點的四邊形是等腰梯形，

①當?shù)妊菪问茿CQO時，如圖1,

AC=OQ,CQ//AO,

過點C作CEL于E,過點。作QFLOA于F,

???ZAEC=ZOFQ=90°f

???四邊形CEFQ是矩形，

???CE=QF,

:?Rt〉AEC經(jīng)Rt^OFQ(HL),

：.AE=OF,

VC(-3,1),

；?CE=1,E(-3,0),

：.QF=1,

VA(-4,0),

：.AE=1,

：.OF=1,

：-Q(-1,1)；

②當?shù)妊菪蜛COQ時，如圖2,AC//OQ,AQ=CO,

過點。作QNLAC于N,過點。作于M,

則四邊形OMNQ是矩形，

：.QN=OM,

同①的方法得，RmCOM"RtxAQN(HL),

???CM=AN,

在放"03中，A(-4,0),B(0,4),

：.OA=OB=4f

9：OMLAC,

；?AM=BM=2也,

：.M(-2,2),

?：Ac=e，

：?CM=6,

：.AN=y[2,

，點N與點C關(guān)于點A對稱，

:?N(-5,-1),

點加向右移動2個單位，再向下平移2個單位到點。，

，點N向右移動2個單位，再向下平移2個單位到點。

?*.Q(-3,-3)；

③當?shù)妊菪问茿COQ時，如圖3,

AC=OQ,CO//AQ,連接CQ,貝。CQ=OA=4,

?.,點C(-3,1),

..?直線0c的解析式為y=-；x,

?.?點A(-4,0),

14

???直線AQ的解析式為y=--x-y,

14

設Q(4'-§飲§)(4>-3)，

**?CQ=J(-3-<7)2+(1+耳4+1，?=4，

:?q=-7(舍)或4二；,

17

即滿足條件的點Q的坐標為(-1,1)或(-3,-3)或(g,-二).

圖3

【點睛】本題考查了兩點間距離公式，等腰梯形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形

的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

11.（2020春?上海?八年級上海市文來中學?？计谥校┮阎喝鐖D，等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6cm,

對角線BD平分NADC,下底BC的長比等腰梯形的周長小20cm,求上底AD的長.

【答案】4cm.

【詳解】由等腰梯形的性質(zhì)得出AB=DC,AD〃BC,得出NADB=/CBD,再由已知條件得出BC=DC=AB,

由梯形中位線定理得出AD+BC=2EF=12cm,由已知條件求出BC,即可得出AD的長.

解：：四邊形ABCD是等腰梯形，

；.AB=DC,AD〃BC,

；./ADB=/CBD,

VBD平分NADC,

.\ZADB=ZCDB,

；./CBD=/CDB,

；.BC=DC=AB,

??.EF是等腰梯形的中位線，

/.AD+BC=2EF=12cm,

??,下底BC的長比等腰梯形的周長小20cm,

???BC=AB+BC+CD+AD-20,

即BC=AB+DC-8,

.".BC=8cm,

AD=4cm.

【能力提升】

一、填空題

1.（2018春?上海?八年級上海市民辦揚波中學?？计谀┨菪蜛BCD中，AD〃:BC,E在線段AB上，且

2AE=BE,EF〃BC交CD于F,AD=15,BC=21,則EF=.

【答案】17

【分析】過。作〃鈿構(gòu)造平行四邊形及相似三角形，利用平行四邊形及相似三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】如圖，過。作交所于G,交BC于H,因為AD〃:BC,EF〃BC,

所以四邊形AEG。，四邊形EBG”,四邊形ABHD都為平行四邊形，則

AE=DG,BE=HG,AD=EG=BH=15,

因為BC=21,所以CH=6,

因為EF〃BC,所以ADG/NDHC,所以盥=冬，

DHr/C

DG1

因為2AE=BE,:.GH=2DG,——=—,

DH3

所以G黑F=19,所以G方=2,所以EF=17.

r/CJ

故答案為：17.

【點睛】本題考查等腰梯形中通過作腰的平行線構(gòu)造平行四邊形及相似三角形，考查平行四邊形的性質(zhì)及

相似三角形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022春?上海?九年級?？计谥校┤鐖D，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=&,BC=4啦,ZB=45°.直

角三角板含45度角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A,斜邊與C。交于點?若△ABE為等

腰三角形，則CP的長等于

BEC

【答案】|■或4拒-3或2

【分析】分AE=BE、AB=BE、A2=AE三種情況加以考慮，利用等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)

與勾股定理等知識即可完成.

【詳解】如圖，分別過點4、。作AGLBC于G,DHLBC于H

???ZAGB=ZDHC=90°

???四邊形ABC。是等腰梯形，AD//BC

：.AB=DC,ZB=ZC

：.AABG^ADCH

：.BG=CH

由輔助線作法知：四邊形ADHG是矩形

***GH=AD=

???BG=-(BC-GH)=-(472-偽=迪

222

,/ZB=45°

ZBAG=ZB=45°

?M_3^2

??A(_7—JD(JT--------

2

???由勾股定理得AB=?BG=區(qū)史~=3

2

,?ZB=45°

???NBAE=NB=45。

??.△AB5是等腰直角三角形，＞AE±BC

??BE-..AB=-----

22

，=3C—B石=4頁一述二偵

22

NAEF=45。

???ZFEC=45°

：.ZFEC=ZC=45°

I.AECF是等腰直角三角形

：.EF=CF

由勾股定理得：CF=-CE=—x^=-

2222

圖1

②如圖2,當A8=8E時

ZB=45°

：.ZAEB=1(180°-ZB)=67.5°

???ZCEF=180。-ZAEB-ZAEF=180。一67.5°-45°=67.5°

???ZCFE=180。—ZCEF—"=180。—67.5°-45°=67.5°

：.ZCEF=ZCFE

：.CF=EC

*.*BE=AB=3,BC=472

?*-CF=CE=BC-BE=—3

圖2

③如圖3,當AB=AE1時，則NAEB=N5=45。

：.AE=AB=3,_aZBAE=90°

???ZFEC=1SO°-ZAEB-ZAEF=90°

???ZC=45°

JZEFC=ZC=45°

：.CE=EF

在RSABE中，由勾股定理得：BE=y/2AB=3y/2

CE=BC-BE=442-342=^2

由Rt△及C中，由勾股定理得：CF=V2CE=A/2XV2=2

BEC

圖3

綜上所述，CF的長為|■或40-3或2

故答案為：|■或4夜-3或2

【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角

形的判定與性質(zhì)等知識，運用這些性質(zhì)與定理是關(guān)鍵，難點在于根據(jù)腰長的不同進行分類討論.

3.（2022春?上海?八年級期末）一次函數(shù)＞=3%+。的圖象與無軸交于點A（6,0）,與〉軸交于點3,點C

在y軸的正半軸上，BC=5,如果四邊形4BCC是等腰梯形，那么點。的坐標是_.

【答案】（6,1）或（3,4）

【分析】將A（6,0）代入y=}+6,解得b=-2,可知一次函數(shù)的解析式是：y=^x-2,求出氏C坐標，

由四邊形ABCD是等腰梯形,可分兩種情況求解:①當相＞〃3C時，如圖，作DELBC于點E,則CE=OB=2,

AD=OE=5—CE—OB=L進而可得。的坐標；②當時，直線C。的解析式為y=gx+3,設。（相，

|m+3),根據(jù)3C=AD'=5,即（6-間，[m+3]=52,求出滿足要求的加的值，進而可得。的坐標.

【詳解】解：將4（6,0）代入y=gx+b得2+6=0,

解得/?=-2,

???一次函數(shù)的解析式是：-2,

令x=0,則y=-2,

.?.8(0,-2)；

,/BC=5,

由四邊形ABCD是等腰梯形，可分兩種情況求解：①當時，如圖，作DEL8C于點E,

?..四邊形ABC。是等腰梯形，

Z.CE=OB=2,

/.AD=OE=5—CE—OB=1,

：.0(6,1)；

②當CD'〃AB時，

直線CD的解析式為y=gx+3,

設D(m,^m+3),

■:BC=AD,=5,

2

(6—777)-+\-m+3I=52,

3

解得〃?=3,m=6（不合題意，舍去），

二。（3,4）；

綜上所述，。點坐標為（6,1）或（3,4）；

故答案為：（6,1）或（3,4）.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，等腰梯形的性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合根據(jù)等腰梯

形的性質(zhì)分類討論.

二、解答題

4.（2018春.上海.八年級上海市民辦揚波中學校考期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC,點M,N

分別是AD,BC的中點，點E,F分別是BM,CM的中點.（1）求證：四邊形MENF是菱形；（2）當

四邊形MENF是正方形時，求證：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半.

【答案】見解析

【分析】（1）利用等腰梯形的性質(zhì)證明名ADCM,利用全等三角形性質(zhì)及中點概念，中位線的性質(zhì)證

明四邊形MENF的四邊相等得結(jié)論.（2）連接MN,利用三線合一證明是等腰梯形的高，再利用正方

形與直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】（1）?.?四邊形帥8為等腰梯形，，鉆=8,

所以ZA=ND,

為AD中點，AM=DM.

:.AABM^ADCM,

BM=CM.

E,F為MB、CM中點，BE=EM,MF=FC,

所以：ME=MF,

（2^^為86的中點，￡廠為朋2,。0中點

:.EN=MF,FN=ME,EN=FN=FM=EM

四邊形是菱形.

（2）連結(jié)MN,VBM=CM,BN=CN,

AMNXBC,VAD/7BC,AMNXAD,

；.MN是梯形ABCD的高，

又???四邊形MENF是正方形，

.-.△BMC為直角三角形，

又?；N是BC的中點，=

2

即等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半.

【點睛】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等的判定，菱形的判定，正

方形的性質(zhì)等，掌握以上知識點是解題關(guān)鍵.

5.(2022春?上海?八年級專題練習)在梯形中，ZABC=90°,AD//BC,BOAD,AB=8cm,BC

=18cm,CZ)=10cm,點尸從點3開始沿3c邊向終點C以每秒3cm的速度移動，點。從點。開始沿D4

邊向終點A以每秒2cm的速度移動，設運動時間為t秒.

(1)求四邊形ABPQ為矩形時t的值;

⑵若題設中的“BC=18cm”改變?yōu)?BC=hm"，其它條件都不變，要使四邊形尸CD。是等腰梯形，求t與左

的函數(shù)關(guān)系式，并寫出左的取值范圍;

(3)在移動的過程中，是否存在f使尸、。兩點的距離為10cm?若存在求f的值，若不存在請說明理由.

12

【答案】⑴行

⑵t=后>12)

c、6-J8

(3)g或二

【分析】(1)過點D作。垂足為點”，根據(jù)勾股定理求出HC,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出12-27=3/,

求出即可；

(2)過點。作QG_LBC,垂足為點G,求出PG,根據(jù)BP+PG+GH+”C=BC得出方程，求出即可；

(3)有兩種情況：①由(2)可以得出3f+6+2f+6=18,求出即可；②四邊形尸CDQ是平行四邊形，根據(jù)

BP+PC=BC,代入求出即可.

(1)

解：過點D作。HLBC,垂足為點H,

由題意可知：AB^DH=8,AD=BH,DC=10,

???HC=1DC2—DH2=6,

/.AD=BH=BC-CH,

VBC=18,

???AO=8”=12,

若四邊形ABPQ是矩形，則AQ=5P,

,.?AQ=12—2/,BP=3t,

12-2t=3t,

??"上.

5

答:四邊形A3P。為矩形時/的值是

⑵

解：由（1）得C8=6,

如圖1,再過點。作QGLBC,垂足為點G,

同理：PG=6,

易知：QD=GH=2t,

又BP+PG+GH+HC=BC,

.,.3t+6+2t+6=k,

⑶

解：假設存在時間，使尸。=10,有兩種情況:

①如圖2,由(2)可知3什6+2什6=18,

.?"g

②如圖3,四邊形PCOQ是平行四邊形，

:.QD=PC=2t,

又BP=3t,BP+PC=BC,

.??3/+2/=18,

5

綜上所述，當f=1秒或/=￡秒時尸、。兩點之間的距離為10cm.

【點睛】本題主要考查對矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解一元一次方

程，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?上海奉賢.九年級統(tǒng)考階段練習)如圖，在梯形A3CD中，相>〃8<7,4。=8,對角線4?,89

相交于點O.

(D如圖1,當ZADO=NDCO,求證：四邊形A3CD是等腰梯形;

(2)如圖2,如果￡?=OC,S.AB=3,BC=2,求AO的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)AD=1+M.

2

【分析】(1)先證明。&=。2再證明OB=OC,可得AC=BD,從而可得答案；

(2)如圖，過2作3打工AD于H,過。作OGL3c于G,證明四邊形BGD"是矩形，可得

BH=DG,HD=BG,設AD=x,則4〃=尤-1,由B"?=人"一一包y，再建立方程求解即可.

【詳解】(1)證明：???&￡>=8,

ADAC=ZDCA,

"?ZADO=ZDCO,

：.ADAC=ZADO,

：.AO=DO,

'：AD//BC,

：.ADAC=ZACB,ZAD