用法向量求二面角的大小

關(guān)于用法向量求二面角的大小兩半平面的法向量與二面角有怎樣的關(guān)系？根據(jù)上圖，分小組進行討論---“兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系.”第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系θ=π-φ互補θ=φ相等第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天如何判別互補還是相等？第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)教材109頁例4改編如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證:PA||平面EDB;(2)求證:PB⊥平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，A(2,0,0),C(0,2,0)B(2,2,0),E(0,1,1)易得平面BDF的法向量設(shè)平面BDE的法向量根據(jù)觀察，二面角為銳二面角，

故二面角F-BD-E的余弦值為.第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天判斷互補還是相等的簡單的方法是：觀察二面角的大小來判定.第6頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,點E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,點E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)平面BDE的法向量平面A1DE的法向量根據(jù)觀察，二面角為………。

第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天齊相國老師刊登在《數(shù)學(xué)通訊》2009年第4期的《法向量求二面角時法向量方向的判定方法》。李峰老師發(fā)表在《數(shù)學(xué)通訊》2010年第9期的《對“法向量求二面角時法向量方向的判定方法”一文的改進》第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天規(guī)定:如圖,分別在半平面α，β內(nèi)各取一點M,N(不在棱上取),我們稱(與法向量不共線)為內(nèi)部向量。內(nèi)部向量MN判定法第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天異號互補同號相等內(nèi)部向量MN判定法第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,點E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面BDE的法向量，平面A1DE的法向量取內(nèi)部向量

故二面角A1-DE-B的余弦值為.第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天1、建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)。用法向量求二面角的大小的一般步驟:2、求出兩半平面的法向量，并求出其夾角。3、用觀察法，確定二面角的大小?；蛉?nèi)部向量（同號相等，異號互補），判定二面角的大小。4、下結(jié)論。第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題2如圖，底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,AD||BC,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值;第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題2如圖，底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,AD||BC,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值;解:建立如圖空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面SAB的法向量，求出平面SDC的法向量取內(nèi)部向量

故二面角的余弦值為.第15頁,共17頁，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)1、弄清楚兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系。2、利用內(nèi)部向量判定二面角的大小。5、分析、歸納問題的能力。4、感知空間中點、線、面在運動