向量法求點線距離

本文格式為Word版下載后可任意編輯和復制第第頁向量法求點線距離

用向量方法求空間角和距離

空間角和距離是最基本的兩個幾何量，空間圖形中各元素的位置關系都可以用這兩個幾何量來定量地描述，因此，有關空間角和距離的計算，是立體幾何的一類重要問題，是歷年來高考考查的重點，本文運用向量方法簡捷地解決這些方法。

一．求空間角問題1．求異面直線的夾角

設a,b分別為異面直線a,b的方向向量，則由向量的數(shù)量積可知，異面直線a,b的夾角由cos??

|a?b|

得出。

|a||b|

【例1】在三棱錐S?ABC中，?SAB??SAC?

?ACB

?90,AC?2，BCSB

①證明：SC?BC

②求異面直線SC與AB所成角?的余弦值。（2022年高考題）

解析：①由題意得：SC?CB?(SA?AC)?CB?SA?CB?AC?CB?

0A

故：SC?BC

③由SC?AB?(SA?AC)?(AC?CB)?|AC|2?4|AB|SA|?SC|?4,故:cos??

B

|SC?AB|?|SC|?|

AB|

【例2】如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，P是DD1的中點，O,M,N分別是面A1B1C1D1，BB1C1C,ABCD的中心，求異面直線PN和OM所成的角.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，取正方體的棱長為2，則P(0,0,1),N(1,1,0),M(1,2,1),O(1,1,2)

由PN?OM?(1,1,?1)?(0,1,?

1)?2|PN|?|OM|?故PN與OM

所成的角?滿意cos??

|PN

?OM|，即???

3|PN|?|OM|

2．求二面角

如圖，設n1,n2是二面角??l??的兩個半平面的一個法向量，其方向一個指向內側，另一個指向外側，法向量n1,n2的夾角為?，就是二面角??l??的平面角：cos??角。

【例3】如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為a的正方形，

n1?n2

,據(jù)此，只要求得二面角兩個半平面的異側法向量，即可得到二面角的平面角。要留意調整好向量的方向，使其夾角為二面角的平面

|n1|?|n2|

PB?面ABCD，證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD

與面PCD所成的二面角恒大于90。

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系P?xyz，設P(0,0,b)，依題意有：

y

C,a(,0,D0)a,a(A(0,a,0)，設n1?(x,y,z)是面PAD的一個法

??n1?PA?0?ay?bz?0

向量，則?即?令y?b

??n1?PD?0?ax?ay?bz?0

??n2?PC?0?ax?bz?0

得n1?(0,b,a)，設n2?(x,y,z)是面PCD的一個法向量，則?即?

ax?ay?bz?0??n2?PD?0?

令x??b，得n2?(?b,0,?a)，由n1?n2??a2?0得cos??0,即無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角?恒大于90?！纠?/p>

1

4】如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S?ABCD中，?ABC?90，SA?面ABCD,SA?AB?BC?1,AD?,求面

2

SC與面DS所成的二面角AB?的正切值。

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz，則S(0,0,1),C(1,1,0)，D(

1

,0,0)n?(x,y,z)是面SCD的一個法向量，則，設2

??n?SD?0?x?2z?0?即?令x?2得n?(2,?1,1)，

x?y?z?0??n?SC?0?1

又知AD?(,0,0)是面SAB的一個法向量，

2

x

n?AD所以cos??。?tan??

2|n|?|AD|3

【例5】在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD?底面ABCD，且PD?AD?a,問

:

平面PAB與平面PBC能否垂直？說明之。

解析：由PD?底面ABCD，得PD?AD,PD?CD,設DC?b(b?a),設平面PAB的法向量n1?DP??DA??DC，則n1?AB?0

即(DP??DA??DC)?AB?0，所以?DC?AB?0,所以??0,又n1?AP?0，即(DP??DA??DC)?AP?0，所以：(DP??DA??

D)C?(D?P

a2

所以：(DP)??(DA)?0,所以??2?1,所以：D?)A0

a

2

2

PBC的法向量為：n2?DP?mDA?nDC，則n2?BC?0,n1?DP?D，設平面A

a2a2

n2?PC?0，同理得：n2?DP?2DC，所以n1?n2?(DP?DA)?(DP?2DC)?a2，

bb

故平面PAB與平面PBC不行能垂直。

D為CC1上的點，且CC1?3C1D，求二面角B?B1D?A的大小?！纠?】如圖，底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1，?C?90,AA1?AC，

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系C?xyz，設AA1?AC?3,則：A(0,3,0B),1

(3,0D,3),，設(0,n0?,(2)y,z)為平面ADB1的一個

x,

??0??3y?2z?0?n?AD

法向量，則?即?令x?1,得n?(1,?2,?3)，易知平面BB1D的一個法向量為CA?(0,3,0)，所

以

??n?A1B?0

?3x?3y?3z?0cos?n,CA??

n?CA|n|?|CA|

??

7B?B1D

?A為：arccos7

?！军c拔】二面角問題通過法向量的引入，使簡單的添加幫助線不必進行，解題一下子變得輕松易懂。

3．求線面角

如圖，設AB是平面?的斜線，n是?的一個法向量，C是垂足，則向量AB在n

上的射影長為：|BC|?

|n?AB||n|，AB與平面?的夾角?滿意：sin??|BC||n?AB||n?AB|

|AB|?|n?||AB即,|sin??|n|?|AB|

或：cos??

|AB?AC|

|AB|?|AC|

，據(jù)此，只須求得平