2023-2024學(xué)年江蘇省徐州市鼓樓區(qū)某中學(xué)九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省徐州市鼓樓區(qū)某中學(xué)九年級(jí)（上）第一

次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.（x-1）（3+%）=5B.x2+^-1=0

C.y2+2%+4=0D.4x2=（2x—I）2

2.已知。。的半徑為5,若PO=4,則點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。上C.點(diǎn)P在。。外D.無(wú)法判斷

3.一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則該圓的半徑是（）

A.2.5CM或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5c?n或13cm

4.一元二次方程（x-2）2=9的兩個(gè)根分別是（）

A.x1=1,x2=—5B.%=-1,x2=—5

C.%1—1,%2=5D.x2=—1，%2=5

5.用配方法解方程》2-6%+5=0,配方后可得（）

A.(%+3)2=4B.(%-3)2=4(%-3)2=14D.(%-3)2=9

6.下列說(shuō)法正確的是（）

A.半圓是弧，弧也是半圓B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧

C.平分弦的直徑垂直于弦D.直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦

7.用公式法解一元二次方程％2一；=2%,正確的應(yīng)是（）

4

—2+V-5Q2±

A.x=~T-Bx=-C.

8.如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90。,

將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，若同時(shí)具有4

則該球的半徑是CM.（）

A.10

B.18

C.20

D.22

二、填空題（本大題共10小題，共40?0分）

9.若x=2是方程/+3x—2m=0的一個(gè)根，則m的值為.

10.方程+2)=(x+2)的根為.

11.當(dāng)工=時(shí)，代數(shù)式(3刀-4)2與(4%-3)2的值相等.

12.如圖，在矩形48C0中，AB=3,AD=4.若以點(diǎn)4為圓心，4為半徑作。4,則點(diǎn)4,點(diǎn)B,

點(diǎn)C,點(diǎn)。四點(diǎn)中在04外的是.

14.如圖，。0的弦48、半徑0C延長(zhǎng)交于點(diǎn)C,BD=0A,若

/.A0C=105°,則=度.

15.寫(xiě)出一個(gè)以2和3為兩根且二項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，你寫(xiě)的是.

16.若一元二次方程nix?+4x+5=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍

17.已知a、/?是方程/+2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a?+3a+0的值為.

18.若與、血是方程％2+3乂-3=0的兩實(shí)根，則葛+言的值等于.

三、計(jì)算題(本大題共1小題，共20.0分)

19.用指定方法解下列一元二次方程

(1)3(2%-I)2-12=0(直接開(kāi)平方法)

(2)2/-4x-7=0(配方法)

(3)x2+x-1=0(公式法)

(4)(2x-I)2-x2=0(因式分解法)

四、解答題(本大題共6小題，共56.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

20.(本小題8.0分)

k為何值時(shí)，方程/——+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；并求出這時(shí)方程的根.

21.(本小題8.0分)

如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分.如果M是。。中弦CD的

中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心。交。。于點(diǎn)E,CD=10,EM=25.求0。的半徑.

如圖，學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為487n2的矩形花園.它的一邊靠墻，其余三邊利用長(zhǎng)20m的圍

欄.已知墻長(zhǎng)9/n,問(wèn)圍成矩形的長(zhǎng)和寬各是多少？

23.(本小題10.0分)

為幫助人民應(yīng)對(duì)疫情，某藥廠下調(diào)藥品的價(jià)格.某種藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元

下調(diào)至128元，已知每次下降的百分率相同.

(1)求這種藥品每次降價(jià)的百分率是多少？

(2)已知這種藥品的成本為100元，若按此降價(jià)幅度再一次降價(jià)，藥廠是否虧本？

24.(本小題10.0分)

如圖所示，己知在△ABC中，NB=90。，4B=5,點(diǎn)Q從點(diǎn)4開(kāi)始沿4B邊向點(diǎn)B以lcm/s的速

度移動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).

(1)如果P、Q分別從4、B兩點(diǎn)出發(fā)，那么幾秒后，aPBQ的面積等于4cm2?

(2)在(1)中，的面積能否等于7cm2?試說(shuō)明理由.

25.(本小題12.0分)

某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加贏利，

盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)

平均每天可多售出2件.求：

(1)若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、是一元二次方程，故4正確；

B、是分式方程，故B錯(cuò)誤；

C、是二元二次方程，故C錯(cuò)誤；

D、是一元一次方程，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未

知數(shù).由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿(mǎn)足這四個(gè)條件者為正確答案.

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，

然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.

已知圓。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心。的距離是d,①當(dāng)r>d時(shí)，點(diǎn)P在。。內(nèi)，②當(dāng)r=d時(shí)，點(diǎn)P在

。0上，③當(dāng)r<d時(shí)，點(diǎn)P在。。外.

【解答】

解：：。。的半徑為5,若PO=4,

4<5,

.??點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是點(diǎn)P在00內(nèi)，

故選：A.

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為0。，最大距離為PB,最小距離為P4則：

??,此點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)所在的直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)即為此點(diǎn)到圓心的最大、最小距離

有兩種情況：

當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖所示，

B

半徑。B=(PA+PB)+2=6.5cm；

當(dāng)此點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖所示，

半徑OB=(PB-PA)^2=2.5cm；

故圓的半徑為2.5cm或6.5cm

故選：A.

設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為O。，最大距離為PB,最小距離為P4有兩種情況：①當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)：②當(dāng)

此點(diǎn)在圓外；分別求出半徑值即可.

注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析1解：(x-2)2=9,

兩邊直接開(kāi)平方得：x-2=±3,

則％-2=3,X-2=-3,

解得：xx=-1,x2=5.

故選：D.

兩邊直接開(kāi)平方可得x-2=±3,然后再解一元一次方程即可.

此題主要考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，解這類(lèi)問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)

的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成/=a(a20)的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解.

5.【答案】B

【解析】解：x2-6x+5=0,

x2-6x=—5,

x2-6x+9=4,

(x-3)2=4.

故選：B.

先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上9,然后把方程左邊寫(xiě)成完全平方的形式，從而可對(duì)

各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

本題考查了解一元二次方程-公式法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題

的關(guān)健.

6.【答案】D

【解析】解：半圓是弧，弧不一定是半圓，故A不符合題意；

同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，故B不符合題意：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，C不符合題意；

直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦，故。符合題意；

故選：D.

根據(jù)垂徑定理、等弧的定義及圓的有關(guān)性質(zhì)判斷求解即可.

此題考查了垂徑定理，等弧等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理、等弧的定義及圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

7.【答案】B

【解析】解：方程整理得：4X2-8X-1=0,

這里a=4,b=-8,c=-1,

???4=64+16=80,

._8±4C_2±C

"x-_8—-―2-'

故選：B.

方程整理后，利用公式法求出解即可.

此題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】a

【解析】解：設(shè)圓心為。點(diǎn)，連OE,交AB于C,如圖,

AB=16,CE=4,

則。EJL4B,

AC=BC=8,

在RtaOAC中，設(shè)。。的半徑為R,OC=R-4,

???OA2=AC2+OC2,

???R2=82+(R-4/，

解得，R=10,

即該球的半徑是10sn.

故選：A.

設(shè)圓心為。點(diǎn)，連OE,交4B于C,貝iJOE1AB,AC=BC=8,在Rt△CMC中，設(shè)0。的半徑為R,

OC=R-4,利用勾股定理得到R2=82+(R—4)2,解方程即可.

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.也考查了勾股定理.

9.【答案】5

【解析】解：把x=2代入，得

22+3x2-2m=0,

解得：m=5.

故答案是：5.

把x=2代入已知方程得到關(guān)于m的新方程，通過(guò)解新方程求得m的值即可.

此題主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方

程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也

稱(chēng)為一元二次方程的根.

10.【答案】勺=1,x2=-2

【解析】解：x(x+2)—(x+2)=0,

(x+2)(x-1)=0,

x+2=。或x—1=0,

x=-2或1.

故答案為：=-2,小=L

將x+2看作整體，先移項(xiàng)，再提公因式，求解即可.

本題考查了一元二次方程的解法，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單.

11.【答案】%!=-1,X2=1

【解析】解：由題意得，(3x—4產(chǎn)=(4x—3/

移項(xiàng)得，(3x—4下一(4尤一3)2=0

分解因式得，[(3x-4)+(4%-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0

解得，=—1,x2=1.

故答案為：X1=-1,%2=1-

代數(shù)式(3x-4)2與(4x-3)2的值相等,則可得到一個(gè)一元二次方程，然后移項(xiàng),套用公式-川=

(a+b)(a-b)進(jìn)行因式分解，利用因式分解法即可得到x的值.

本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過(guò)移項(xiàng)把等式的右邊化為0后，方程的左邊能因式

分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為。的式子的特點(diǎn)解出方程的根.因式分

解法是解一元二次方程的一種簡(jiǎn)便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用.

12.【答案】點(diǎn)C

【解析】【分析】

本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則有：當(dāng)

6(>「時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=7?時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,

主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d,則

d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi).

【解答】

解：vCA=V32+42=5>4>

???點(diǎn)C在04外，

vAD=4,

.??點(diǎn)。在上；

AB=3<4,

二點(diǎn)B在。A內(nèi)，

故答案為點(diǎn)C.

13.【答案】2d

【解析】解:連接。4如圖,

vCE=3,DE=7,

CD=10,

0C=0A=5.0E=2,

vAB1CD,

AE=BE,

在Rt△40E中,AE=V52-22=721,

AB=2AE=2/71?巾）.

故答案為2>ra.

連接04如圖，先計(jì)算出0C=04=5,0E=2,再根據(jù)垂徑定理得到HE=BE,然后利用勾股

定理計(jì)算出AE,從而得到4B的長(zhǎng).

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

14.【答案】25

【解析】解：連接。8,

vBD=0A,0A=0B

所以△4。8和△B。。為等腰三角形,

設(shè)ND=x度,則40BA=2x°,，

因?yàn)?B=。4

所以=2x°,

在ZkAOB中，2x+2x+(105-%)=180,

解得x=25,

即4=25°.

解答此題要作輔助線(xiàn)。8,根據(jù)。4=0B=BD=半徑，構(gòu)造出兩個(gè)等腰三角形，結(jié)合三角形外角

和內(nèi)角的關(guān)系解決.

此題主要考查了等腰三角形的基本性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，難易程度適中.

15.【答案】x2—5x+6=0

【解析】解：根據(jù)題意得到兩根之和為2+3=5,兩根之積為2x3=6,

則所求方程為/一5x+6=0.

故答案為：%2—5x+6=0.

由方程的根為3和2,得到兩根之和為5,兩根之積為6,寫(xiě)成方程即可.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若與，乃是一元二次方程。/+以+?=09片0)的兩根時(shí)，/+

b_c

%2=_]X1X2=

16.【答案】m<卷且小。0

【解析】解：?,,一元二次方程m/+軌+5=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

b2-4ac=42—4xmx5=16—20m>0,

解得：m<

vm0,

???Hl的取值范圍為：771</且加。0.

故答案為：小〈衣且?71。0.

由一元二次方程771/+軌+5=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，可得△=/-4第：>0且相。0,解此不

等式組即可求得答案.

此題考查了根的判別式.注意△>00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

17.【答案】一1

【解析】解：???明0是方程/+2%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，a?+2a—1=0,a+/?=-2.

?,?川+2a=1

???a?+3a+/?=a?+2a+a+0=1—2=—1.

故答案為：—1.

根據(jù)方程的根的定義，以及根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可得到小+2a-1=0,a+/?=-2,根據(jù)

a?+3a+夕=a?+2a+a+夕即可求解.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若%1，%2是一元二次方程a7+bx+c=0(aW0)的兩根時(shí)，+

亞=T，XXX2=2考查了一元二次方程根的定義.

18.【答案】-5

【解析】解：:Xi、是方程/+3》-3=0的兩實(shí)根，

?**Xi+%2=—3,%],%2=—3.

...原式=辿=(肛+丫2)心逐2=絲=_5.

Xj-%2-3

故答案為：—5.

根據(jù)一元二次方程a/+以+。=。的根與系數(shù)的關(guān)系得到與+上=-3,方?冷=一3,然后變形

原代數(shù)式為原式=正名=(巧+肛)2-2x62,再代值計(jì)算即可.

X「X2xvx2

本題考查了一元二次方程a/+bx+C=0的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根為%1，%2，則％1+%2=

bC

-?/

19.【答案】解：(1)3(2%-1)2-12=0,

移項(xiàng)，得3(2x-l)2=12,

兩邊都除以3,得(2x-1)2=4,

兩邊開(kāi)平方，得2%-1=±2,

移項(xiàng)，得2%=1±2,

解得：%i=|,x2=

(2)2X2-4X-7=0,

兩邊都除以2,得%2—2%-(=0,

移項(xiàng)，得/-2%=1,

配方，得/-2%+1=3，即(％-1)2=3，

解得：x-1=±

即—j3Q_.3—

即=1H——?x2=1------?

(3)x2+%—1=0,

這里a=1,b=1,c=-1,

vb2—4ac=l2—4x1x(―1)=5,

-i±\Ts

,X二2x1

解得：/=匚磬，&=匚尹；

(4)(2%—I)2—x2=0.

方程左邊因式分解，得(2%-1+為(2%一1一%)=0,即(3x—1)(%-1)=0,

解得：X]=g，x2=1.

【解析】(1)方程變形后，利用平方根定義開(kāi)方即可求出解；

(2)方程利用配方法求出解即可；

(3)方程利用公式法求出解即可；

(4)方程利用因式分解法求出解即可.

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法與直接開(kāi)平方法，熟練掌握各種解法是解本題

的關(guān)鍵.

20.【答案】解:

???x2-(k-2)%+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.?.4=0,即(k-2產(chǎn)-4x9=0,解得k=8或k=-4,

即當(dāng)k的值為8或-4時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

當(dāng)/c=8時(shí)，方程為—6x+9=0,解得與=刀2=3，

當(dāng)k=—4時(shí)，方程為/+6x+9=0,解得X[=&=-3.

【解析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，再解

方程即可.

本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：如圖,連接OC,

???”是弦CD的中點(diǎn)，EM過(guò)圓心0,

:.EM1CD.

???CM=MD.

vCD=10,

CM=5.

設(shè)OC=x,貝iJOM=25-x,

在COM中，根據(jù)勾股定理，得

52+(25-x)2=%2,

解得x=13.

二。。的半徑為13.

【解析】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距

和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形.

連接。C,根據(jù)垂徑定理得出EM1CD,則CM=M。=5,設(shè)。C=X,貝iJOM=25-x,在Rt△COM

中，有0。2=?！?+?！?,進(jìn)而可求得半徑0C.

22.【答案】解：設(shè)寬為xm,則長(zhǎng)為(20-2x)m.

由題意,得x?(20-2x)=48,

解得%!=4,x2=6.

當(dāng)x=4時(shí)，20-2x4=12>9(舍去)，

當(dāng)x=6時(shí)，20-2x6=8.

答：圍成矩形的長(zhǎng)為8巾、寬為6m.

【解析】設(shè)寬為xm，則長(zhǎng)為(20-2x)m,然后根據(jù)48平方米的長(zhǎng)方形即可列出方程，解方程即可

解決問(wèn)題.

此題是利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，從而找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的

列出方程.

23.【答案】解：(1)設(shè)這種藥品每次降價(jià)的百分率是x,

依題意,得：200(1-x)2=128,

解得：/=0.2=20%,右=1-8(不合題意，舍去).

答：這種藥品每次降價(jià)的百分率是20%.

(2)128x(1-20%)=102.4(元),

v102.4>100,

按此降價(jià)幅度再一次降價(jià)，藥廠不會(huì)虧本.

【解析】(1)設(shè)這種藥品每次降價(jià)的百分率是X，根據(jù)該藥品的原價(jià)及經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格，即

可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)經(jīng)過(guò)連續(xù)三次降價(jià)后的價(jià)格=經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后的價(jià)格x(1-20%),即可求出再次降

價(jià)后的價(jià)格，將其與100元進(jìn)行比較后即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】解：(1)設(shè)xs后，ZkPBQ的面積等于4刖2.

此時(shí)，AQ~xcm,QB=(5—x)cm,BP=2xcm.

由鄰BQ=4,得5(5-x)2x=4.

即/-5x+4=0,解得X]=1,x2=4.

當(dāng)x=l時(shí)，B