正定二次型和正定矩陣

關(guān)于正定二次型和正定矩陣22一、基本概念定義設(shè)A為實(shí)n階對(duì)稱(chēng)矩陣，如果對(duì)于任意非零向量X，二次型f=XTAX均為正數(shù)，則稱(chēng)二次型f為正定的，其矩陣A

稱(chēng)為正定矩陣.定義如果對(duì)于任意向量X，二次型f=XTAX均為非負(fù)(非正)數(shù)，則稱(chēng)二次型f為半正(負(fù))定的，其矩陣A

稱(chēng)為半正(負(fù))定矩陣.定義如果實(shí)二次型f=XTAX對(duì)于某些向量X為正數(shù),并且對(duì)于對(duì)于某些向量X為負(fù)數(shù),則稱(chēng)二次型是不定的.第2頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天33例第3頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天44二、正定矩陣的充分必要條件定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是其特征值都是正數(shù).證明設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值都是正數(shù).存在正交矩陣Q,使得QTAQ=,為對(duì)角矩陣,其對(duì)角線(xiàn)元素為,對(duì)于令即,顯然又故這就證明了條件的充分性.第4頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天5設(shè)A是正定矩陣,而是其任意特征值,X是屬于的特征向量,則有于是必要性得證.推論若A是正定矩陣,則|A|>0.證明5第5頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天66例判斷下列矩陣是否為正定矩陣解第6頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天77第7頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天88定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是它與單位矩陣合同.證明充分性.設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A合同與E,即存在可逆矩陣C,使得對(duì)于任意向量X≠O,由于C可逆,可從解出Y≠O,于是故A是正定的.必要性.設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是正定的.由于A是實(shí)對(duì)稱(chēng)的,A合同于一個(gè)對(duì)角矩陣,其對(duì)角線(xiàn)元素是A的特征值由于A是正定的,這些特征值大于零,而這樣的對(duì)角矩陣與單位矩陣合同,故A合同于單位矩陣.第8頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天9定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A

正定的充分必要條件是存在可逆矩陣P，使得A=PTP.證明設(shè)A=PTP,P可逆.對(duì)于任意,由于P可逆,PX≠o,故設(shè)A正定,則A合同于單位矩陣,即存在可逆矩陣,使得A=PTEP=PTP.第9頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天10例

A正定,B實(shí)對(duì)稱(chēng),則存在可逆矩陣R,使得RTAR和RTBR同時(shí)為對(duì)角形.證明存在P,使得PTAP=E,PTBP實(shí)對(duì)稱(chēng),存在正交矩陣Q,使得QTPTBPQ=D為對(duì)角形,令R=PQ,則為對(duì)角形.第10頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天11例A,B正定,AB正定的充分必要條件是A,B可交換.證明必要性設(shè)AB正定,則AB對(duì)稱(chēng),充分性設(shè)A,B可交換,則AB是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,A正定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC,CTBC是正定矩陣,特征值為正,AB特征值也為正數(shù),故AB正定.第11頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天1212為了敘述下一個(gè)正定矩陣充分必要條件，我們引進(jìn)定義給定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣則其前s行前s列元素組成的行列式稱(chēng)為A的順序主子式.即第12頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天1313的行列式.定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的充分必要條件是其順序主子式全大于零.第13頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天1414例用順序主子式判斷上例的矩陣的正定性.解故A正定.第14頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天1515實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是1.其特征值都是正數(shù).2.A合同于3.

可逆.4.A的順序主子式全是正數(shù).5.A的主子式全是正數(shù).第15頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天1616例判斷下列二次型是否正定:第16頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天17第17頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天18例

t在什么范圍取值時(shí)二次型是正定二次型?解第18頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天19第19頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天20定義實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的第行和第列的元素組成的行列式稱(chēng)為主子式.例如是2階主子式.其中只有是2階順序主子式.第20頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2121實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A半正定的充分必要條件是1.其特征值都是非負(fù)數(shù).2.A合同于3.A的正慣性指數(shù)p=r.4.A的所有主子式非負(fù).第21頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天22定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A半正定的充分必要條件是所有主子式非負(fù).證明設(shè)A半正定.則A+tE正定.其所有主子式個(gè).第22頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天23設(shè)A的所有主子式非負(fù).考慮矩陣其順序主子式是A的階主子式之和,故

正定,對(duì)于任意非零向量X,令得故A半正定.第23頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天24例但A并非半正定，事實(shí)上，A對(duì)應(yīng)的二次型主子式順序主子式第24頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2525三、正定矩陣的性質(zhì)1.若A為正定矩陣,則|A|>0,A可逆.2.若A為正定矩陣,則A-1也是正定矩陣.證明A為正定矩陣,其全部特征值為正數(shù),A-1的全部特征值是它們的倒數(shù),也全是正數(shù),故A-1正定.3.正定矩陣的對(duì)角線(xiàn)元素都是正數(shù).4.A為正定矩陣,Ak也是正定矩陣.5.A,B為同階正定矩陣,則A+B是正定矩陣.6.若A為正定矩陣,則存在可逆矩陣P,使得A=PPT.7.A為正定矩陣,A的所有主子式大于零.第25頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2626證明由于A合同于單位矩陣,存在可逆矩陣Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8.若A為n階正定矩陣,則正定.證明對(duì)于任意m維列向量由于矩陣P的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),是P的列向量的非零線(xiàn)性組合,故而A正定,故故是正定矩陣.第26頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2727的若干性質(zhì)1.若A為n階可逆矩陣,則為正定矩陣.證明是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.對(duì)于任意A可逆,否則故正定.2.若A為矩陣,且則為m階正定矩陣,為n階半正定矩陣,但非正定矩陣.證明任意