第35講 三角函數(shù)的應(yīng)用（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第13講三角函數(shù)的應(yīng)用

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握三角函數(shù)的圖象與解析式之間的

對(duì)應(yīng)問(wèn)題的處理方法.

2.能結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)與生活中與三角函數(shù)

之間的密切關(guān)系，用三角函數(shù)這一數(shù)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握常見(jiàn)的三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

學(xué)模式解決與之相關(guān)的問(wèn)題.

的處理方法，了解并掌握數(shù)學(xué)建模的方法與步驟，能處

3.能處理三角函數(shù)相關(guān)學(xué)科之間的問(wèn)

理與三角函數(shù)相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題、物理問(wèn)題及與之相關(guān)

題，用三角函數(shù)這一重要工具解決與

的其它學(xué)科與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)、物理學(xué)及其它學(xué)科與之相關(guān)聯(lián)

的問(wèn)題.

4.掌握數(shù)學(xué)建模的重要方法與步驟，并

能?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

漱:知識(shí)精講

*'知識(shí)點(diǎn)

1.三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)

律、預(yù)測(cè)等方面發(fā)揮著十分重要的作用.

教材中的例2對(duì)太陽(yáng)光照以及潮汐問(wèn)題的研究為我們展示了怎樣運(yùn)用模型化的思想建立三角函數(shù)模型的方

法和過(guò)程.

2.三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問(wèn)題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)

值，進(jìn)而使實(shí)際問(wèn)題得到解決.

步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值一解決實(shí)際問(wèn)題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫(xiě)出具體的

三角函數(shù)解析式.

3.三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的

函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.

TTTT

【即學(xué)即練1】把函數(shù)產(chǎn)sin（x+§）的圖象上所有點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來(lái)的g（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的解析式是產(chǎn)sin（s+0）（加>0,附〈兀），則（）

1兀兀

A.co=—,（p=——B.CD=2（/）=一

2393

2兀

C.（o=2f0=0D.CD=2,^=—

【答案】C

TTTTTTJT

【解析】把函數(shù)y=sin（X+1）的圖象上所有點(diǎn)向右平移點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=sin[（X-^）+^]=sinx的

圖象，再將所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的!（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的解析式是產(chǎn)sin2x,故。=2,%0.

TT

（即學(xué)即練2】電流強(qiáng)度/（單位:安）隨時(shí)間"單位:秒）變化的函數(shù)/=Asin（初+9）（4〉0,0〉0,0<9<2）

的圖象如圖所示，則當(dāng)仁二一秒時(shí)，電流強(qiáng)度是（）

100

A.一5安B.5安

C.5百安D.10安

【答案】A

【解析】由題圖可知4=10,—T=——4-——1，即1六一2，所T以。=r」=10的，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0,5）且0<”上7t,

230030050T2

777rl

所以3=不，所以函數(shù)為/=10sin（100"+不），當(dāng)秒時(shí)，/=—5安.故選A.

TT

【即學(xué)即練3】如圖，某港口?天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)）=3sin（—x+9）+k.據(jù)此函

6

數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位:

A.5

C.8D.10

【答案】C

【解析】根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2,有一3+"2,k=5,最大值為3+48.

【即學(xué)即練4】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)尸在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為Po（、Q,-V2）,角

速度為1,那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間［的函數(shù)圖象大致為（)

D

【答案】c

【解析】因?yàn)镽）（、歷，-V2）,所以/PoOx=一四.因?yàn)榻撬俣葹?,所以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間，后，得

4

7T7TTT

NPOPo=f,所以由三角函數(shù)定義，知點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為2sin?——），因此g2|sin?一一）|.令

444

r=0,則d=2|sin（—￥）|二.當(dāng)/='■時(shí)，d=0.故選C.

44

【即學(xué)即練5】某彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移函數(shù)為，=疝（切+23>0）,其中f表示振動(dòng)的時(shí)間，y表

示振動(dòng)的位移，當(dāng)fe[0,2]時(shí)，該振子剛好經(jīng)過(guò)平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過(guò)程

中該振子有（）次離平衡位置的距離最遠(yuǎn).

A.3B.2C.5D.5或6

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖像，得出該振子離平衡位置的距離最遠(yuǎn)的次數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出草圖，由圖可知2?與,9），fe[0,2]時(shí)，該振子離平衡位置的距離最遠(yuǎn)的次數(shù)共5

或6次，

【即學(xué)即練6】我們學(xué)過(guò)用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制''度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌?/p>

的同心圓中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這

種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角e的面度數(shù)為（，則角。的余弦值為

（）A.-且B.--C.；D.@

2222

【答案】B

【分析】利用扇形面積公式，根據(jù)面度數(shù)定義，求角夕

【詳解】由面度數(shù)的定義可知.'I=萬(wàn),即0cose=cos0-g.故選：B

口能力拓展

考法01

1.函數(shù)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)問(wèn)題

（1）已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，可結(jié)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)排除干擾項(xiàng)即可得到正確的選項(xiàng).

（2）函數(shù)圖象與解析式的對(duì)應(yīng)問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的

函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性、值域，此外零點(diǎn)也可以作為判斷的依據(jù).

【典例1].己知函數(shù)/（x）=3sin（2x+e）,xeR.

（1）用“五點(diǎn)法''作出y=/（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；

（2）請(qǐng)說(shuō)明函數(shù)y=/（x）的圖像可以由正弦函數(shù)丫;出門(mén)、的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】

（1）先由函數(shù)解析式，按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，再描點(diǎn)連線，即可得出圖像；

（2）根據(jù)函數(shù)的平移變換以及伸縮變換的原則，即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：

713TC

2x+-71

0T2兀

62

71715兀2/r1171

X

"12nT五

fM030-30

筒圖如圖所示.

（2）先將函數(shù)丫=5也”圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到y(tǒng)=3sinx的圖像；再將

得到的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得至1」丫=35也（工+1）的圖像；最后將得到的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不

變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到F（x）=3sin（2x+tJ的圖像.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)圖像的畫(huà)法，以及三角函數(shù)的伸縮變換與平移變換，熟記五.點(diǎn)作圖法，以及圖像變

換的法則即可，屬于?？碱}型.

（71兀、

【即學(xué)即練7】函數(shù)11眼05磯-5<》<,的圖象是（）

【答案】A

（71兀、

【解析】丁=111（85幻［-5<%<5）是偶函數(shù)，，可排除8、D;

兀1

又當(dāng)X=—時(shí)，y=ln—<0,故選A.

32

【名師點(diǎn)睛】該題也可直接利用余弦函數(shù)的定義域得到，顯然只有選項(xiàng)A滿足題意，直接得到正確的選

項(xiàng).所以該類(lèi)問(wèn)題抓住函數(shù)的“特性”很重要.

【即學(xué)即練8］函數(shù)y=sin|x|的圖象是（）

【答案】B

【解析】令段)=sin|x|,xSR,則/(—x)=sin|-x|=sin|x|=y(x),.,.函數(shù)/(x)=sin|M為偶函數(shù)，排除A；

又當(dāng)工=一時(shí)，y=sin|—|=sin—=1,排除D；

2'22

當(dāng)x=5時(shí)，y=sin|——|=sin——=-1,排除C,故選B.

22

【名師點(diǎn)睛】解決函數(shù)圖象與解析式對(duì)應(yīng)問(wèn)題的策略

(I)解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、圖象

的對(duì)稱性、單調(diào)性、值域，此外零點(diǎn)也可以作為判斷的依據(jù).

(2)利用圖象確定函數(shù)y=Asin((?x+0)的解析式，實(shí)質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A,a>,<p.

其中4由最值確定；

3由周期確定，而周期由特殊點(diǎn)求得；

9由點(diǎn)在圖象上求得，確定0時(shí);注意它的不唯一性，一般是求刷中最小的夕.

考法02

函數(shù)解析式的應(yīng)用

(1)已知實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問(wèn)題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計(jì)算即可.

(2)三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應(yīng)用主要是對(duì)相關(guān)量物理意義的考查.

【典例2].如圖，某海港一天從0~12h的水位高度y(單位：m)隨時(shí)間f(單位：h)的變化近似滿足函

數(shù)y=4sin(〃+夕)+6(A>0。>0,()<°<萬(wàn)).

|y/m

0\2610z/h

(1)求該函數(shù)的解析式；

(2)若該海港在水位高度不低于6m時(shí)為輪船最佳進(jìn)港時(shí)間，那么該海港在0~12h,輪船最佳進(jìn)港時(shí)間總

共多少小時(shí)？

(71

【答案】(1)y=4sinl-/+-114+4,0釉12；(2)—h.

【分析】

(1)由圖可得人=等=4,〃=竿=4,7=2x00-2)=16,再由周期公式可求出,再把將，=2,

y=8代入可求出勿的值，從而可求得函數(shù)的解析式;

(2)由4s喂可J+4..6可求出結(jié)果

【詳解】

Q_AQ_i_n

(1)由圖可知，A=^=4,6=寸=4.

VT=2x(10-2)=16,.-.—=16,解得＜y=g,

CD8

/.y=4sin[*/+e)+4.

jrn

將t=2,y=8代入上式，解得gx2+g=彳+2ATT,kwZ,

82

?:金<(p<冗，：.(p=—,

故該曲線的函數(shù)解析式為y=4sin[(/+?)+4,0釉12.

(2)由題意得4sin修，+f]+4..6,即sin仔f+/]..、,解得[+2匕淡吟￡學(xué)+2&%,keZ,即

(84J<84；26846

214

--+16硼—+16A,keZ.

33

14

V0>12,二當(dāng)％=0時(shí)，即魄小—,

3

14

二該海港在0~12h的輪船最佳進(jìn)港時(shí)間總共為.

【即學(xué)即練9】如圖，某地一天從6?14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)尸AsinQx+0)+6(A>0,。>0,

0<9<兀)，則該函數(shù)的表達(dá)式為

TT371

【答案】y=10sin(—x+—)+20

84

2兀7t

【解析】由題意可知，函數(shù)的周期T=2x(14—6)=16,???口=；7

16

30-10

-------=A

2A=10兀

乂〈b20，*,?y=10sin(-x+^)+20.

30+10

-------=h7

2

71371371

20=10sin(—xl04-(^)+20,/.sin(—+9)=0,/.—+(p=knfk^Z.

3n7i3K

XV0<^<n,*.(p=—,.'.y=10sin(——x-\----)+20.

考法03

三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

【典例3]下圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題:

(1)寫(xiě)出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率

(2)從O點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如果從A點(diǎn)算起呢？

(3)寫(xiě)出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】⑴振幅為2cm,周期為0.8s,頻率為g；

(2)如果從。點(diǎn)算起，到曲線上。點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從4點(diǎn)算起，到曲線上E點(diǎn)，表示完

成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；

5%

(3)y=2sin—x,xe[0,+oo).

【分析】

(1)從圖像中可以直接得到振幅、計(jì)算周期和頻率；

(2)從圖像中可以看出；

⑶設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諾動(dòng)的函數(shù)解析式為丁=入出(8+9)6式0,內(nèi)),從圖像得到A3,9，即可得到解析式.

【詳解】

(1)從圖像中可以看出：這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2cm,周期為0.8s,頻率為人=3；

0.84

(2)如果從。點(diǎn)算起，到曲線上。點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從A點(diǎn)算起，到曲線上E點(diǎn)，表示完

成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；

(3)設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為y=Asin(<yx+e),xe[0,M),由圖像可知：A=2,*=0,又由

245乃

T=—=0.8,得：co=—.

co2

S乃

所以所求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為卜=2$111耳為工€[0,+<?).

【典例4]彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在時(shí)間f(s)內(nèi)離開(kāi)平衡位置(靜止時(shí)的位置)的距離人(cm)由下面的

TT

函數(shù)關(guān)系式表示：〃=3sin(2f+—).

4

(1)求小球開(kāi)始振動(dòng)的位置；

(2)求小球第一次上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位置；

(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往返振動(dòng)一次？

(4)每秒內(nèi)小球能往返振動(dòng)多少次？

【解析】(1)令仁0,得/z=3sin2=逑，所以開(kāi)始振動(dòng)的位置為(0,—).

422

7T7T

(2)由題意知，當(dāng)人=3時(shí)，t=-,即最高點(diǎn)為(一,3);

88

當(dāng)仁—3時(shí)，廠5一7r，即最低點(diǎn)為(S一IE,一3).

88

27r

(3)T-——=K-3.14,即每經(jīng)過(guò)約3.14s小球往返振動(dòng)一次.

2

(4)/=1?0.318,即每秒內(nèi)小球往返振動(dòng)約0.318次.

【名師點(diǎn)睛】解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確各個(gè)參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問(wèn)題是混淆彼此之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

系導(dǎo)致錯(cuò)解.

【典例5】單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置的距離s(單位：cm)和時(shí)間〃單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s

=6sin(27t?+-^).

(1)作出函數(shù)的圖象.

(2)當(dāng)單擺開(kāi)始擺動(dòng)(f=0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？

(3)當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？

(4)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需多長(zhǎng)時(shí)間？

【解析】(1)利用“五點(diǎn)法''可作出其圖象.

7T

(2)因?yàn)楫?dāng)1=0時(shí)，s=6sin—=3,所以此時(shí)離開(kāi)平衡位置3cm.

(3)離開(kāi)平衡位置6cm.

(4)因?yàn)門(mén)=——=l,所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為Is.

2兀

【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，其中對(duì)彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問(wèn)題考查最多,

尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.

考法04

三角函數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用

【典例6】如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點(diǎn)落在矩形的左邊上，那么折痕長(zhǎng)度/取決于角

。的大小.探求/,。之間的關(guān)系式，并導(dǎo)出用。表示/的函數(shù)表達(dá)式.

sin。。+cos20)

【分析】

根據(jù)圖形判斷直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2^=/sin0cos2^,由

4E+BE=/sin(98s2，+/sin9=6,求解即可.

【詳解】

解：由已知及對(duì)稱性知，GF=BF=lcos。,GE=BE=lsm0,

乂NGEA=ZGFB=20,

AE=GEcos20=1sin6cos29,

又由AE+BE=/sin9cos盼+/sin°=6得：d疝正8s2。）

【典例7】南開(kāi)園自然環(huán)境清幽，棲居著多種鳥(niǎo)類(lèi)，熱愛(ài)動(dòng)物的南青同學(xué)獨(dú)愛(ài)其中形貌雅致的藍(lán)膀香鵲，于

是她計(jì)劃與生物興趣小組的同學(xué)一起在翔字樓前廣場(chǎng)一角架設(shè)一臺(tái)可轉(zhuǎn)動(dòng)鏡頭的相機(jī)，希望可以捕捉到這

種可愛(ài)鳥(niǎo)兒的飄逸瞬間，南同學(xué)設(shè)計(jì)了以下草圖，為簡(jiǎn)化模型，假設(shè)廣場(chǎng)形狀為正方形，邊長(zhǎng)為1,已知相

機(jī)架設(shè)于A點(diǎn)處，其可捕捉到圖象的角度為45,即NE4Q=45,其中P,Q分別在邊BC,C￡＞上，記

N8"=e（o麴B(yǎng)45）.

(1)南鶯同學(xué)的數(shù)學(xué)老師很欣賞她的計(jì)劃，并根據(jù)她的設(shè)計(jì)草圖編制了此刻你正在思考的這道期中考試試

題，設(shè)AC與PQ相交于點(diǎn)R,當(dāng)6=30時(shí)，請(qǐng)你求出：

(i)線段。。的長(zhǎng)為多少？

(ii)線段AR的長(zhǎng)為多少？

(2)為節(jié)省能源，南鶯同學(xué)計(jì)劃在廣場(chǎng)上人員較多的時(shí)段關(guān)閉相機(jī)鏡頭的自動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)功能，為使相機(jī)能夠捕

捉到的面積(即四邊形APC。的面積，記為S)最大，。應(yīng)取何值？S的最大值為多少？

【答案】(I)(i)2-73,(ii)瓜-五,(2)

【分析】

(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在用D4Q中，直接求解。Q,從而可得。(2-6,1),求出直線P。的方

程，再與直線AC的方程聯(lián)立可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AR的長(zhǎng)；

TTTT

(2)由于3P=ABtan9=tan6,DQ=ADtan(--^)=tan(--0),從而可求出S八期,5從園的值，進(jìn)而可表

44

示出四邊形APCQ的面枳，再用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值

【詳解】

解：(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由于8=30，AB=AD^BC=CD^l,

所以40,0),C(l,l),8(1,0),。(0,1),

由tan<9=t^,得8P=ABtan30°=f，所以P(l,g),

因?yàn)閆PAQ=45,ZBAP=30°,所以NOAQ=15°,tan15°=tan(45°-30°)=3符一血好=2一代

1+tan45°tan30°

在Rf.DAQ中，tanZDAQ=—,pjljDQ=ADtanZ.DAQ=tan15°=2->/3,

AD

所以Q(2-G,l),

k=----

1k+m=—G東所以直線尸。為y=-石2#)

設(shè)直線產(chǎn)。為丫="+，〃,則3,解得，--XH-----?

33

(2-Bk+m=lm=———

3

直線忙為丁=》,

62>/3

y=----x+----X=yf3-1廠l

ill<33得L，Bp/?(V3-1,V3-1),

y=x

所以AH=7(>/3-1)2+(>/3-1)2=向6-》=瓜-6

TT1T

(2)BP=ABtan6=tan。，QQ=A0tan(一―6>)=tan(一一9)，

44

所以5神=加的=軻45八狽=gA〃QQ=gta吟-⑶,

]]TT

所以S=l-SABP-SADQ=1--tan<9--tan(--0),

1sin。cossin0

=1-----------------------

2cos02(cos0+sin0)

=1------；--------------

2cos-9+2cosesin6

=1-----------:——

1+cos2。+sin20

=1-----------------

V2sin(20+-)+l

4

"出=2-6,當(dāng)且僅當(dāng)即。4時(shí)取等號(hào),

所以當(dāng)。時(shí)，S取得最大值，最大值為2-&

O

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線PQ、AC的方程,

從而可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AR的長(zhǎng)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題

考法05

三角函數(shù)模型的應(yīng)用

三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式：

一、給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題；

二、給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題；

三、搜集一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化

規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題.

【典例8】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度是時(shí)間/(h)的函數(shù)，記作)，=4).下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù).

f(h)03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，⑺的曲線可近似地看成是函數(shù))，=兒0$皿+。

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)〉=48$函+6的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；

(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8

時(shí)到晚上20時(shí)之間，有多長(zhǎng)時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

【解析】(1)依題意，得T=12,A=%期:2血=0.5,山皿=1,

A1兀兀

(2)令y=—cos—?jiǎng)t2版——<一，<2日H---(氏￡Z),

62

.\12jt-3<f<12Jl+3()teZ).又：8<r<20,.-.9<f<15,

從9點(diǎn)到15點(diǎn)適合對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，一共有6個(gè)小時(shí).

【名師點(diǎn)睛】解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)已知條件確定函數(shù)解

析式中的各個(gè)參數(shù)，最后利用模型解決實(shí)際問(wèn)題.

【典例9】心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的

讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p")=1l5+25sin160叫

其中p(f)為血壓(mmHg),r為時(shí)間(min),試回答下列問(wèn)題：

(1)求函數(shù)p⑺的周期；

(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)畫(huà)出函數(shù)p⑺的草圖：

(4)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù).

27t2兀1一

【解析】(1)由于<o=160兀，代入周期公式~,可得7=-----=——(min),所以函數(shù)p⑺的周期

1。|160兀80

為L(zhǎng)in.

80

(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率.尸-=80(次).

(3)列表:

1131

t0

32016032080

P⑺11514011590115

描點(diǎn)、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)〃⑺的簡(jiǎn)圖如圖所示:

(4)由圖可知此人的收縮壓為140mmHg,舒張壓為90mmHg.

【名師點(diǎn)睛】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟：

讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號(hào)”

I審清題意f等語(yǔ)言，理解所反映的實(shí)際問(wèn)題的背

景，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題

整理數(shù)據(jù)，引入變量，找出變化規(guī)律，

建立函運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識(shí)、物理知

數(shù)模型識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，即建

立三角函數(shù)模型

解答函利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解答得到的

數(shù)模型三角函數(shù)模型，求得結(jié)果

得出結(jié)論f將所得結(jié)論翻譯成實(shí)際問(wèn)題的答案

TT

【典例10］如圖，在扇形。尸。中，半徑。P=l,圓心角/POQ=§,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCO內(nèi)

接于扇形.記NPOC=&,求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

【答案】a=J時(shí)，矩形ABC。的面積，最大面積為立

66

【分析】

由題意可得CD=cosa-木sina,BC=sin?,從而可得矩形A8CO的面積為

I17rlT[7C7T57r

S=CDBC=(cosa--f=sina)sina=-j=sin(2a4--)------,再由o＜。＜一可得—＜2a+—v—,山此可

v3v362,33666

得2a+g=g時(shí)，S取得最大值

62

【詳解】

在RlQ8C中，8C=sina,OC=cosa,

.,AD7i/r

在向..ADO匚3——=tan—=V3,

OD3

所以O(shè)D=—j=AD=—j=BC=sina

所以CD=OC-OD=cosa一&ina

設(shè)矩形A8CO的面積為S,則

S=CDBC

、.

=(/cosa——1si.na)-sina

V3

1?，

=sinacosa——j=sm~a

6

=—1si?nc2aH-----1產(chǎn)cosr2a-----1產(chǎn)

22V326

=—Usin(2<z+—)---------------,

y/36273

1八7Czr-i7C_7C5〃"..._TCf1rlTC..?

由0<a<一,得一<2aH—<—,所以?2aH—=—,Q[Jcc——時(shí),

3666626

?115/3

染「耳一法=不，

因此，當(dāng)a=￡時(shí)，矩形A8CZ）的面積，最大面積為近，

66

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將四邊形A8C￡＞的面積表示為

S=CD3C=（cosa-耳sina）.sina=有$也（20!+不）-5萬(wàn)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，屬

于中檔題

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)>=4$曲（5》-不）的相位與初相分別是（）

_7t71

A.5x---,—B.5x—3,4

33

C.5x—3,—D.4,一

33

【答案】C

【分析】

根據(jù)相位與初相的概念，直接求解即可.

【詳解】

相位是當(dāng)x=（）時(shí)的相位為初相，即-g.

故選：C

2.在兩個(gè)彈簧上各掛一個(gè)質(zhì)量分別為Mi和例2的小球，它們做上下自由振動(dòng).已知它們?cè)跁r(shí)間f（s）時(shí)離

開(kāi)平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分別由下列兩式確定：

si=5sin（2f+專），s2=5cos（2f-3）.

則在時(shí)間t=,時(shí)，si與S2的大小關(guān)系是（）

A.S\>S2B.S\<S2

C.5,1=52D.不能確定

【答案】C

【分析】

將『=當(dāng)2乃代入求值，可得$1=52

【詳解】

當(dāng)時(shí)，si=5sin（2x竺+g]=-5,S2=5cos（2x空一=-5,.*.51=52

3136yz\33y

故選：C

3.月均溫全稱月平均氣溫，氣象學(xué)術(shù)語(yǔ)，指一月所有日氣溫的平均氣溫.某城市一年中12個(gè)月的月均溫》（單

位：C）與月份X（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)丫=Asin-（JC-3）+。（x=1,2,3,112）來(lái)表示，

O_

已知6月份的月均溫為29C,12月份的月均溫為17C,則10月份的月均溫為（)

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

【答案】A

【分析】

由題意得出關(guān)于A、。的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令x=10可得結(jié)果.

【詳解】

Asin—+a=A+a=29(./

2|A=6

由題意可得;,解得”，

AAsi.n——"+,a=a-AA=nl71a=23

2

所以，函數(shù)解析式為y=6sinf(x-3)+23,

o

在函數(shù)解析式中，令x=10,可得y=6sin今+23=6x(-；)+23=20.

因此，10月份的月均溫為20c.

故選：A.

4.在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時(shí)間相距12h,低潮時(shí)水深為9m,高潮時(shí)水深為15m.每天潮漲潮

落時(shí)，該港口水的深度y(m)關(guān)于時(shí)間r(h)的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)y=4sin(w+?)+?A>0,。

>0)的圖象，其中g(shù)江24,且f=3時(shí)漲潮到一次高潮，則該函數(shù)的解析式可以是()

JT

A.y=3sin-r+12B.y=-3sin-/+12

66

IT7T

C.y=3sin—r+12D.y=3cos7f+12

【答案】A

【分析】

由兩次高潮的時(shí)間間隔12人知7=12,且T=12=生(0>0)得0==，又由最高水深和最低水深得A=3,

co6

k=12,將r=3y=15代入解析式解出夕，進(jìn)而求出該函數(shù)的解析式.

【詳解】

由相鄰兩次高潮的時(shí)間間隔為12兒知7=12,且7=12=券@>。),得又由高潮時(shí)水深15”和

低潮時(shí)水深9/?7,得A=3,k=12,由題意知當(dāng)f=3時(shí)，y=15.故將/=3,y=15代入解析式尸35皿隹/+夕

+12中，得3sinJx3+e|+12=15,得￡x3+^=1+24;r(Z￡Z),解得g=2%;r(&￡Z).所以該函數(shù)的解析

16J62

式可以是y=3sin菅1+2&乃+12=3sin3+12.

6

5.在圖中，點(diǎn)。為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm,

周期為3s,且物體向右運(yùn)動(dòng)到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).則物體對(duì)平衡位置的位移x(單位：cm)

和時(shí)間r(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系式為()

C.x=—sin3，+一

2(2

【答案】D

【分析】

設(shè)x=f(f)=Asin(d+s)(0>O),根據(jù)振幅確定A,根據(jù)周期確定。，根據(jù)/(0)=3確定夕，即可得出結(jié)

果.

【詳解】

設(shè)位移x關(guān)于時(shí)間f的函數(shù)為x=/(r)=Asin?+9)(<w>0),

2萬(wàn)27r24

根據(jù)題中條件，可得A=3,周期T='=3,故幻=g=q,

coT3

jr

由題意可知當(dāng)x=0時(shí)，取得最大值3,故3sine=3,則9=5+2%"(keZ),

所以x=3sin[-^-f+5+2k;rJ=3sin[7r+5J.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查由二角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

6.若函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移詈個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),則下列說(shuō)法正確的是

()

A.g(x)的圖象關(guān)于》=-看對(duì)稱B.g(x)在[0,句上有2個(gè)零點(diǎn)

C.g(x)在區(qū)間與歌|上單調(diào)遞減D.g(x)在卜別上的值域?yàn)楫?dāng)()

【答案】B

【分析】

求出g(x)的解析式，并整理后，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)判斷.

【詳解】

由題意g(x)=sin2(x-----)=sin(2x------)=sin(2x+—),

633

g(4)=sin(q+$=g不是函數(shù)的最值，》=卡不是對(duì)稱軸，A錯(cuò)；

由g(x)=sin(2x+f)=0,2x+g=br(AeZ),x="-￡,其中g(shù),學(xué)是[0,兀]上的零點(diǎn)，B正確；

332636

由2人萬(wàn)H—42XH—<IkrrH-----得ZTTH&x&k兀T-----,kwZ,因此且(工)在(一,—)是遞減，在(—,—)上

2321212312126

遞增，C錯(cuò)；

時(shí),2x+ye[-^,y],g(x)e[_1,#],D錯(cuò).

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì).掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.某藝術(shù)展覽館在開(kāi)館時(shí)間段(9：00—16：00)的參觀人數(shù)(單位：千)隨時(shí)間f(單位：時(shí))的變化近

似滿足函數(shù)關(guān)系/⑺=Asin[?"F)+5(A>0,94r416),且下午兩點(diǎn)整參觀人數(shù)為7千，則開(kāi)館中參觀

人數(shù)的最大值為()

A.1萬(wàn)B.9千C.8千D.7千

【答案】B

【分析】

利用當(dāng)7=14時(shí)，f(f)=7,求出A=4,由94Y16,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

卜午兩點(diǎn)整即r=14,當(dāng)r=14時(shí)，/(r)=7.

即Asin------F5=7,1.A=4,

6

，'冗11%「7乃7乃

丁當(dāng)94，416時(shí)?，-t-------e—,

36L62_

.?.當(dāng)苧時(shí)，/⑺取得最大值，且最大值為4+5=9.故選：B

362

【點(diǎn)睛】本題考查/三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式、三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖所示為2018年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y=Asin(s+3)+

?4>0,。>0,]<夕<萬(wàn)|勺半個(gè)周期的圖象，則該天8h的溫度大約為()

T/t

t/h

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【分析】

由最大值和最小值及中間值求得由周期求得。，再由起點(diǎn)求得8（注意圖象起點(diǎn)是最低點(diǎn)）.得函數(shù)

解析式，然后令x=8代入即可得.

【詳解】

由題意得A=Jx(30-10)=10,

/?=1x(30+10)=20,

2萬(wàn)71

72x(14-6)=16,J一=16,