2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章《函數(shù)》第二節(jié)：一次函數(shù)及其應(yīng)用（附答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章《函數(shù)》第二節(jié)：一次函數(shù)及

其應(yīng)用

★解讀課標(biāo)★--------------熟悉課標(biāo)要求，精準把握考點

1.結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達式：

2.會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式；

3.能畫出一次函數(shù)的圖象,根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式y(tǒng)=kx+b（k/0）,探索并理解k>0

和k<0時，圖象的變化情況；

4.理解正比例函數(shù)；

5.體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.

6.能用一次函數(shù)解決實際問題.

★中考預(yù)測★--------------統(tǒng)計考題頻次，把握中考方向

一次函數(shù)是中考非常重要的函數(shù)，年年考查，總分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考一

定還會考，一般小題的形式考察一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，大題主要以應(yīng)用題或一次函數(shù)與幾

何圖形綜合。

★聚焦考點★--------------直擊中考考點，落實核心素養(yǎng)

正比例函數(shù)的一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kWO）的函數(shù)，叫正比例函數(shù)，其中k叫

概念正比例系數(shù).

一次函數(shù)的定一般地，形如y=kx+b（k,b為常數(shù)，且k/0）的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數(shù)，kWO）.這時，

義

y叫做x的正比例函數(shù).

一次函數(shù)的一般形式為丫=1?+13,其中k,b為常數(shù)，kWO.

一次函數(shù)的一

一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：

般形式

1.20,

2.x的次數(shù)是1；

3.常數(shù)b可以為任意實數(shù).

一次函數(shù)與正正比例函數(shù)一次函數(shù)

比例函數(shù)的區(qū)

別與聯(lián)系

y=kx+b（k是常數(shù)，且ky=kx+b（k,b是常數(shù)，且kWO）

區(qū)別一般形式

W0）

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圖象經(jīng)過原點的一條直線一條直線

k的符號決定其增減性，k的符號決定其增減性；b的符

k,b符號的同時決定直線所經(jīng)過的象號決定直線與y軸的交點位置；

作用限k,b的符號共同決定直線經(jīng)過

的象限

求解析式的只需要一對x,y的對應(yīng)值需要兩對x,y的對應(yīng)值或兩個

條件或一個點的坐標(biāo)點的坐標(biāo)

比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫法一樣，都是過兩點畫直線，但畫

一次函數(shù)的圖象需取兩個不同的點，而畫正比例函數(shù)的圖象只要取一個不

同于原點的點即可.

③一次函數(shù)y=kx+b(k#0)的圖象可以看作是正比例函數(shù)丫=1?(k#0)的

聯(lián)系

圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移⑻個單位長度得到的.由此可

知直線y=kx+b(kWO,b#0)與直線y=kx(k#0)平行.

④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：

a.當(dāng)k>0時，y的值隨x值的增大而增大；b.當(dāng)k<0時，y的值隨x值的

增大而減小.

注意1.正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

2.一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù).

3.判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b(kWO)

的形式.

正比例函數(shù)y二kx(kWO)的圖象是經(jīng)過原點(0,0)的一條直線.

k的

函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)

符號

正比例函數(shù)的yi

/一y隨x的增大而增

圖象特征與性k>0圖象經(jīng)過第一、三象限

/Ox大

質(zhì)

7

y隨x的增大而減

k<07圖象經(jīng)過第二、四象限

0小

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一次函一次函數(shù)丫=1?+1(1</0)的圖象是經(jīng)過點(0,b)和(-2,0)的一

一次函數(shù)的圖3

數(shù)的圖k

象特征與性質(zhì)

象條直線

一次函數(shù)y=kx+b(kWO)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(kWO)的圖

圖象關(guān)

象平移得到；b>0,向上平移b個單位長度；b〈0,向下平移|b|

系

個單位長度

圖象確因為一次函數(shù)的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一

定次函數(shù)圖象時，只要取兩點即可

函數(shù)

函數(shù)字母取值圖象經(jīng)過的象限

性質(zhì)

.■y隨x

k>0,b>0\OX、—O、

y=kx+b的增

(kWO)大而

k>0,b<0一、三、四增大

隨

k<0,b>0一、二、四yx

y=kx+b1的增

d)y大而

k<0,b<0XOx二、三、四減小

在直線y=kx+b(kWO)中，令y=0,則x=-2,即直線y=kx+b與x軸交

k

于(-2,°).

k,b的符號與k

直線y=kx+b(k1.當(dāng)-2>o時，即k,b異號時，直線與x軸交于正半軸.

#0)的關(guān)系k

bh

2.當(dāng)--=0,即b=0時，直線經(jīng)過原點.③當(dāng)-一<0,即k,b同號時，直

kk

線與X軸交于負半軸.

兩直線1.當(dāng)k尸k2,b|Wb2,兩直線平行；

y=kix+bj(kiN2.當(dāng)ki=k2,bi=b2,兩直線重合；

0)與y=k2x+b23.當(dāng)kiWkz,bi=b2,兩直線交于y軸上一點；

(k2^0)的位4.當(dāng)ki?k2=-1時，兩直線垂直.

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置關(guān)系：

L待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，

從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法.

2.待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟：

①設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx（k￥0）.

②把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元

一次方程.

待定系數(shù)法求

③解方程，求出待定系數(shù)k.

一次函數(shù)解析

④將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式.

式

3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟：

①設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b.

②把兩個已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k,

b的二元一次方程組.

③解二元一次方程組，求出k,b.

④將求得的k,b的值代入解析式.

一次函1.任何一個一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=O（k,b為常數(shù)，且k￥0）的形式.

2.從函數(shù)的角度來看，解這個方程就是尋求自變量為何值時函數(shù)值為0從函數(shù)圖

數(shù)與一;

象的角度考慮，解這個方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點的橫坐標(biāo).

元一次

方程

一次函1.任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b〉O（或ax+b<0）（a,b為常數(shù)，且aWO）

的形式.

數(shù)與一

2.從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a^O）的值大

元一次

于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b

不等式

（aWO）在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標(biāo)滿足的條件.

一次函1.一般地，二元一次方程mx+ny=p（m,n,p是常數(shù)，且mWO,nWO）都能寫成y=ax+b

（a,b為常數(shù)，且aWO）的形式.因此，一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)，

數(shù)與二

又因為一個一次函數(shù)對應(yīng)一條直線，所以一個二元一次方程也對應(yīng)一條直線.進一

元一次

步可知，一個二元一次方程對應(yīng)兩個一次函數(shù)，因而也對應(yīng)兩條直線.

方程組

2.從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時，兩個函數(shù)的值相

等，以及這兩個函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條

直線的交點坐標(biāo)，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方

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程組對應(yīng)的兩條直線的交點坐標(biāo).

一次函解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的

坐標(biāo)，或兩條直線的交點坐標(biāo)，進而將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長，或者三角形

數(shù)圖象

的高.如果圍成的三角形沒有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或

與圖形

“補”的方法.

面積

主要題1.求相應(yīng)的一次函數(shù)表達式；

型2.結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實際問題的最值等.

用一次1.設(shè)定實際問題中的自變量與因變量；

2.通過列方程（組）與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式：

函數(shù)解

3.確定自變量的取值范圍；

決實際

4.利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；

問題的

5.檢驗所求解是否符合實際意義；

一般步6.答.

驟為

方案最對于求方案問題，通常涉及兩個相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，

值問題通過列不等式，求解出某一個事物的取值范圍，再根據(jù)另一個事物所要滿足的條件，

即可確定出有多少種方案.

正比例函數(shù)的概一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kWO）的函數(shù)，叫正比例函數(shù)，其中k叫

念正比例系數(shù).

一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b（k,b為常數(shù)，且k￥0）的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數(shù)，kWO）.這時，

y叫做x的正比例函數(shù).

一次函數(shù)的一般一次函數(shù)的一般形式為丫=1?+1）,其中k,b為常數(shù)，kWO.

一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：

形式

LkWO,

2.x的次數(shù)是1；

3.常數(shù)b可以為任意實數(shù).

一次函數(shù)與正比正比例函數(shù)一次函數(shù)

例函數(shù)的區(qū)別與

聯(lián)系

y=kx+b（k是常數(shù)，且ky=kx+b（k,b是常數(shù)，且k#0）

區(qū)別一般形式

W0）

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圖象經(jīng)過原點的一條直線一條直線

k的符號決定其增減性，k的符號決定其增減性；b的符

k,b符號的同時決定直線所經(jīng)過的象號決定直線與y軸的交點位置；

作用限k,b的符號共同決定直線經(jīng)過

的象限

求解析式的只需要一對x,y的對應(yīng)值需要兩對x,y的對應(yīng)值或兩個

條件或一個點的坐標(biāo)點的坐標(biāo)

比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫法一樣，都是過兩點畫直線，但畫

一次函數(shù)的圖象需取兩個不同的點，而畫正比例函數(shù)的圖象只要取一個不

同于原點的點即可.

③一次函數(shù)y=kx+b(kr0)的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx(k^O)

聯(lián)系

的圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的.由

此可知直線y=kx+b(k#0,bWO)與直線y=kx(k#0)平行.

④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：

a.當(dāng)k>0時，y的值隨x值的增大而增大；b.當(dāng)k〈0時，y的值隨x值

的增大而減小.

注意1.正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

2.一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù).

3.判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成丫=1?^3(kWO)

的形式.

★方法導(dǎo)引★--------------總結(jié)思想方法，提升解題效率

1.正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

2.正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k^O)的結(jié)構(gòu)特征：①k#0：②x的次數(shù)是1.

3.通常畫正比例函數(shù)y=kx(kWO)的圖象時只需取一點(1,k),然后過原點和這一點畫

直線.

4.當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx(kWO)的圖象從左向右，呈上升趨勢；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx(k

#0)的圖象從左向右，呈下降趨勢.

5.正比例函數(shù)y=kx中，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸；|k|越小，直線y=kx越靠近x

軸.

6.一次函數(shù)圖象的位置和函數(shù)值y的增減性完全由b和比例系數(shù)k的符號決定.

7.方程ax+b=k(aWO)的解o函數(shù)y=ax+b(aWO)中，y=k時x的值.

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8.方程ax+b=k（a￥0）的解o函數(shù)y=ax+b（a￥0）的圖象與直線y=k的交點的橫坐標(biāo).

9.一次函數(shù)y=ax+b（aWO）與一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的關(guān)系：

①ax+b>0的解集oy=ax+b中，y>0時x的取值范圍，即直線y=ax+b在x軸上方部分圖象對

應(yīng)的x的取值范圍；

②ax+b〈0的解集Qy=ax+b中，y<0時x的取值范圍，即直線y=ax+b在x軸下方部分圖象對

應(yīng)的x的取值范圍.

10.一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象

為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達式一確定函數(shù)增減性一根據(jù)自變量

的取值范圍確定最值.

11.求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：

①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較：

②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確

定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計算出每個分段函數(shù)的取值，再進行

比較.

顯然，第②種方法更簡單快捷.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點01一次函數(shù)相關(guān)概念

1.（2022?徐匯區(qū)校級模擬）關(guān)于函數(shù)丫=1?+6（k,b都是不等于0的常數(shù)），下列說法,

正確的是（）

A.y與x成正比例B.y與kx成正比例

C.y與x+b成正比例D.y-b與x成正比例

【考點】正比例函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kWO）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫

做比例系數(shù)，直接將原式變形進而得出y-b與x的關(guān)系.

【解答】解：???關(guān)于函數(shù)y=kx+b（k,b都是不等于0的常數(shù)），

/.y-b=kx,

；.y-b與x成正比例.

故選：D.

【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)的定義，正確把握比例函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.

2.（2022?廣州）點（3,-5）在正比例函數(shù)y=kx（kWO）的圖象上，則k的值為（）

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A.-15B.15C.一旦D.-5

53

【考點】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】直接把已知點代入，進而求出k的值.

【解答】解：???點（3,-5）在正比例函數(shù)y=kx（kWO）的圖象上，

-5=3k,

解得：k=-§,

3

故選：D.

【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，正確得出k的值是解題關(guān)鍵.

3.（2022?鄲都區(qū)模擬）若函數(shù)y=（m-1）x"+2是一次函數(shù)，則m的值為（）

A.1B.-1C.±1D.2

【考點】一次函數(shù)的定義.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；符號意識.

【分析】一次函數(shù)解析式的特征：k#0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項b可以為任意實數(shù).根

據(jù)一次函數(shù)的定義即可列方程求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：

1lm|=l

解得：m=-1.

故選：B.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)丫=1?+13的定義條件是：k、b為常

數(shù)，kWO,自變量次數(shù)為1.

★變式訓(xùn)練★--------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實質(zhì)

1.（2022?瀘縣校級一模）已知函數(shù)y=（1n-2）乂/-34n+2，（m,n是常數(shù)）是正比例函

數(shù)，m+n的值為（）

A.-4或0B.±2C.0D.-4

【考點】正比例函數(shù)的定義.

【專題】計算題；運算能力.

【分析】按正比例函數(shù)的定義解答，正比例函數(shù)的定義是形如y=kx（k是常數(shù)，）的函

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數(shù)，叫做正比例函數(shù).

【解答】解：函數(shù)y=（m-2）x/7tn+2，（＞?,n是常數(shù)）是正比例函數(shù)，

^-3=1①

'm-2盧0②

n+2=0③

m=±2

解得，，m#2，

n=-2

1n--2

；.m+n=-4.

故選:D.

【點評】本題主要考查了正比例函數(shù)等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)的定義,

解方程或不等式.

2.（2022?北京）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x：

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x.

其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

【專題】函數(shù)及其圖象；應(yīng)用意識.

【分析】（1）根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增加而減小判斷即可；

（2）根據(jù)水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小判斷即可；

（3）根據(jù)矩形的面積公式判斷即可.

【解答】解：汽車從A地勻速行駛到B地，根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增加

而減小，故①符合題意；

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將水箱中的水勻速放出，直至放完，根據(jù)水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減

小，故②符合題意；

用長度一定的繩子圍成一個矩形，周長一定時，矩形面積是長x的二次函數(shù)，故③不符

合題意；

所以變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是①②.

故選：A.

【點評】本題考查了利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象表示的意義，理

解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決.

3.（2022?金鄉(xiāng)縣二模）若函數(shù)y=（m-1）-5是一次函數(shù)，則m的值為（）

A.+1B.-1C.1D.2

【考點】一次函數(shù)的定義.

【專題】模型思想.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義列式計算即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得，m|=l且m-IWO,

解得m=±l且mWl,

所以，m=-1.

故選：B.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)丫=1?+13的定義條件是：k、b為常

數(shù)，kWO,自變量次數(shù)為1.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點02一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1.（2022?柳州）如圖，直線yi=x+3分別與x軸、y軸交于點A和點C,直線y2=-x+3

分別與x軸、y軸交于點B和點C,點P（m,2）是AABC內(nèi)部（包括邊上）的一點，則m

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【考點】一次函數(shù)的圖象；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用：推理能力.

【分析】由于P的縱坐標(biāo)為2,故點P在直線y=2上，要求符合題意的m值，則P點為

直線y=2與題目中兩直線的交點，此時m存在最大值與最小值，故可求得.

【解答】解：???點P（m,2）是△ABC內(nèi)部（包括邊上）的一點，

.,.點P在直線y=2上，如圖所示，

當(dāng)P為直線y=2與直線y2的交點時，m取最大值，

當(dāng)P為直線y=2與直線外的交點時，m取最小值，

,.,丫2=-x+3中令y=2,貝！Jx=l,

yi=x+3中令y=2,則x=-l,

Am的最大值為1,m的最小值為-1.

則m的最大值與最小值之差為：1-（-1）=2.

故選:B.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，要求符合題意的m值，關(guān)鍵要理解當(dāng)P在何處時m

存在最大值與最小值，由于P的縱坐標(biāo)為2,故作出直線y=2有助于判斷P的位置.

2.（2022?湖南湘潭）請寫出一個）'隨x增大而增大的一次函數(shù)表達式.

【答案】y=x（答案不唯一）

【分析】在此解析式中，當(dāng)x增大時，y也隨著增大，這樣的一次函數(shù)表達式有很多，根據(jù)

題意寫一個即可.

【詳解】解：如曠=%,y隨x的增大而增大.故答案為：y=x（答案不唯一）.

【點睛】此題屬于開放型試題，答案不唯一，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的

增減性是解題關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇無錫）請寫出一個函數(shù)的表達式，使其圖像分別與x軸的負半軸、y軸的

正半軸相交：.

【答案】y=x+5

第11頁共76頁

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】函數(shù)y=x+5的圖像如下，函數(shù)分別于X軸相交于點B、和y軸相交于點A,

當(dāng)x=0時，y=5,即A（0,5）

當(dāng)y=0時，x=-5,即磯一5,0）

...函數(shù)圖像分別與x軸的負半軸、y軸的正半軸相交

故答案為：y=x+5.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，從而完

成求解.

4.（2022?甘肅武威）若一次函數(shù)y=kxf的函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大，則

k=（寫出一個滿足條件的值）.

【答案】2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大得到k>0,寫出一個正數(shù)即可.

【詳解】解：???函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而增大，

...k>0,；.k=2（答案不唯一）.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)：k>0,y隨x的增大而增大;

k<0,y隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?銅仁市）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三點A（-1,4）、B（-3,2）、C（0,6）.

（1）求過其中兩點的直線的函數(shù)表達式（選一種情形作答）；

（2）判斷A、B、C三點是否在同一直線上，并說明理由.

第12頁共76頁

【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用：推理能力.

【分析】（1）根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)求得直線AB的解析式.

（2）把C的坐標(biāo)代入看是否符合解析式即可判定.

【解答】解：（1）設(shè)A（-1,4）、B（-3,2）兩點所在直線解析式為y=kx+b,

.f-k+b=4

*，l-3k+b=2,

解得任=1,

lb=5

直線AB的解析式y(tǒng)=x+5.

（2）當(dāng)x=0時，y=0+5W6,

...點C（0,6）不在直線AB上，即點A、B、C三點不在同一條直線上.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，以及判定是否是直線上的點，掌握一次函數(shù)

圖像上的點的坐標(biāo)特征是關(guān)鍵.

6.（2022?阜新）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化.下

面是關(guān)于“一次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)”的探究過程，請補充完整.

（1）如圖1,將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當(dāng)于將它向右平移了

]_個單位長度；

（2）將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當(dāng)于將它向左（填

“左”或“右”）平移了1個單位長度；

一2一

（3）綜上，對于一次函數(shù)y=kx+b（k￥0）的圖象而言，將它向下平移m（m>0）個單

位長度，相當(dāng)于將它向右（填“左”或“右”）（k>0時）或?qū)⑺蜃螅ㄌ?/p>

“左”或“右”）（k<0時）平移了n（n>0）個單位長度，且m,n,k滿足等式m=

n|k|（或：當(dāng)k>0時，m=nk,當(dāng)kVO時，m=-nk）?

第13頁共76頁

y八y八

0

【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】（1）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)（1）（2）題得出結(jié)論即可.

【解答】解：（1）?.?將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移1個單位長度得到y(tǒng)=x+2-1

=（x-1）+2,

.?.相當(dāng)于將它向右平移了1個單位長度，

故答案為：1;

（2）將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向下平移1個單位長度得到y(tǒng)=-2x+4-1=-2（x+』）

2

+4,

相當(dāng)于將它向左平移了2個單位長度；

2

故答案為：左；—；

2

（3）綜上，對于一次函數(shù)y=kx+b（k關(guān)0）的圖象而言，將它向下平移m（m>0）個單

位長度，相當(dāng)于將它向右（填“左”或“右”）（k>0時）或?qū)⑺蜃螅ㄌ睢白蟆被颉坝摇保?/p>

（kVO時）平移了n（n>0）個單位長度，且m,n,k滿足等式m=nIk|.

故答案為：右；左；m=n|k|（或：當(dāng)k>0時，m=nk,當(dāng)kVO時，m=-nk）.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，平移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右

減，上加下減”.關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系.

★變式訓(xùn)練★--------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實質(zhì)

1.（2022?四川眉山）一次函數(shù)y=（2機-l）x+2的值隨x的增大而增大，則點％-見的所

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在象限為（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍，再根據(jù)每個象限點的坐標(biāo)特征判斷P點所處的

象限即可.

【詳解】???一次函數(shù)y=（2〃?-l）x+2的值隨x的增大而增大，

2m—1>0解得：P（-”?,加）在第二象限故選：B

2

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和各個象限坐標(biāo)特點，能熟記一次函數(shù)的性質(zhì)是解此題

的關(guān)鍵.

2.（2022?湖南邵陽）在直角坐標(biāo)系中，已知點嗚，小，點彳冬是直線丁="+。（％<0）

上的兩點，則機，〃的大小關(guān)系是（）

A.m<nB.C.m>nD.m<n

【答案】A

【分析】因為直線y="+b（%<0）,所以隨著自變量的增大，函數(shù)值會減小，根據(jù)這點即

可得到問題解答.

【詳解】解：???因為直線丫=依+/％<0）,，y隨著x的增大而減小，

22

V3>（V7）,：.m<n,故選：A.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確判斷一次函數(shù)的增減性并靈

活運用.

3.（2022?沈陽）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-x+1的圖象是（）

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0\X01/X

C.ID./T

【考點】一次函數(shù)的圖象.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；兒何直觀；推理能力.

【分析】依據(jù)一次函數(shù)y=x+l的圖象經(jīng)過點（0,1）和（1,0）,即可得到一次函數(shù)y

=-x+l的圖象經(jīng)過一、二、四象限.

【解答】解：一次函數(shù)y=-x+l中，令x=0,則y=l；令y=0,則x=l,

...一次函數(shù)y=-x+1的圖象經(jīng)過點（0,1）和（1,0）,

...一次函數(shù)y=-x+1的圖象經(jīng)過一、二、四象限，

故選：C.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直

線.

4.（2022?江蘇宿遷）甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個特征，甲：“函數(shù)值y隨自變

量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖像經(jīng)過點（0,2）”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的

函數(shù)，其表達式是—.

【答案】y=-2x+2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意的要求，結(jié)合常見的函數(shù)，寫出函數(shù)解析式即可，最好找有代表性的、特

殊的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等.

【詳解】解：根據(jù)題意，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；

可設(shè)函數(shù)為：y=-2x+b,

又滿足乙：“函數(shù)圖像經(jīng)過點（0,2）”，

則函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2,

故答案為：y=-2x+2（答案不唯一）

【點睛】本題考查學(xué)生對函數(shù)圖象的掌握程度與靈活運用的能力，屬于開放性題.

5.（2022?天津）若一次函數(shù)y=（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的

值可以是一（寫出廠個即可）.

【答案】1（答案不唯一，滿足6>0即可）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，可得6>0,進而即可求解.

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【詳解】解：?.?一次函數(shù)y=x+〃(b是常數(shù))的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

：.b>0

故答案為：1答案不唯一，滿足b>0即可D

【點睛】本題考查了已知一次函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)的值，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

6.(2022?益陽)如圖，直線y=2x+l與x軸交于點A,點A關(guān)于y軸的對稱點為A',經(jīng)

2

過點A'和y軸上的點B(0,2)的直線設(shè)為y=kx+b.

(1)求點A'的坐標(biāo)；

(2)確定直線A'B對應(yīng)的函數(shù)表達式.

【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)；一次函數(shù)的性

質(zhì).

【專題】待定系數(shù)法；一次函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】(1)利用直線解析式求得點A坐標(biāo)，利用關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)的特征解答

即可；

(2)利用待定系數(shù)法解答即可.

【解答】解：(1)令y=0,則工x+l=0,

2

；.x=-2,

AA(-2,0).

???點A關(guān)于y軸的對稱點為A',

.?.A'(2,0).

(2)設(shè)直線A'B的函數(shù)表達式為丫=1?+13,

.[2k+b=0

'lb=2

解得：尸1,

lb=2

第17頁共76頁

，直線A'B對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=-x+2.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，待定

系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)的特征，利用待定系數(shù)法解得是解

題的關(guān)鍵.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點03一次函數(shù)與方程（組）、不等式

1.（2022?市南區(qū)校級二模）若關(guān)于x的方程-2x+b=0的解為x=2,則直線y=-2x+b

一定經(jīng)過點（）

A.（2,0）B.（0,3）C.（4,0）D.（2,5）

【考點】一次函數(shù)與一元一次方程.

【專題】用函數(shù)的觀點看方程（組）或不等式；運算能力.

【分析】根據(jù)方程可知當(dāng)x=2,y=0,從而可判斷直線y=-2x+b經(jīng)過點（2,0）.

【解答】解：由方程的解可知：當(dāng)x=2時，-2x+b=0,即當(dāng)x=2,y=0,

直線y=-2x+b的圖象一定經(jīng)過點（2,0）,

故選：A.

【點評】本題主要考查的是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次

方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?安徽）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)1奴+合與y=a的圖像可能

是（)

【答案】D

【分析】分為〃>0和。<0兩種情況，利用一次函數(shù)圖像的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】解：當(dāng)x=l時，兩個函數(shù)的函數(shù)值：y=a+a2,即兩個圖像都過點（3+叫，故

選項A、C不符合題意；

第18頁共76頁

當(dāng)a>0時，a2>0,一次函數(shù)y=?x+42經(jīng)過一、二、三象限，一次函數(shù)y=/x+a經(jīng)過一、

二、三象限，都與y軸正半軸有交點，故選項B不符合題意;

當(dāng)〃<()時，a2>0>一次函數(shù)y=ar+a2經(jīng)過一、二、四象限，與丁軸正半軸有交點，一次

函數(shù)y=/x+。經(jīng)過一、三、四象限，與)軸負半軸有交點，故選項D符合題意.故選：D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像性質(zhì).理解和掌握它的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

一次函數(shù)>=去+。的圖像有四種情況：

①當(dāng)%>0,5>0時，函數(shù)>的圖像經(jīng)過第一、二、三象限；

②當(dāng)上>0,b<0時，函數(shù)，=米+萬的圖像經(jīng)過第一、三、四象限；

③當(dāng)％<0,6>0時，函數(shù)了=履+。的圖像經(jīng)過第一、二、四象限；

④當(dāng)％<0,b<0時，函數(shù)y=去+。的圖像經(jīng)過第二、三、四象限.

3.(2022?東莞市一模)如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3和y=-x+b的圖象交于點P(2,4),

則關(guān)于x的方程kx+3=-x+b的解是x=2.

【考點】一次函數(shù)與一元一次方程.

【分析】函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即是方程的解.

【解答】解：???已知一次函數(shù)丫=1^+3和y=-x+b的圖象交于點P(2,4),

關(guān)于x的方程kx+3=-x+b的解是x=2,

故答案為：x—2.

【點評】考查了一次函數(shù)與一元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是了解函數(shù)的圖象的交點

與方程的解的關(guān)系，難度不大.

4.(2022江蘇揚州)如圖，函數(shù)y="+b(%<0)的圖像經(jīng)過點P,則關(guān)于x的不等式米+6>3

的解集為.

第19頁共76頁

【答案】X<-1

【分析】觀察一次函數(shù)圖象，可知當(dāng)y>3時，X的取值范圍是X<-1,則依+匕>3的解集亦

同.

【詳解】由一次函數(shù)圖象得，當(dāng)y〉3時，%<-1,

則丫=1?+1）>3的解集是x<-l.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式結(jié)合，深入理解函數(shù)與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?襄陽）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析

圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)丫=1旦丁-|x|的圖象，并

IxI

探究該函數(shù)性質(zhì).

③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象;

第20頁共76頁

(2)探究函數(shù)性質(zhì)

請寫出函數(shù)y二工-Ix|的一條性質(zhì)：丫=二且r-|x|的圖象關(guān)于y軸對稱(答案不

IXIIXI

唯一)；

(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)

①寫出方程|x|=5的解x=l或x=-l；

②寫出不等式1r-|x|<1的解集xW-2或x22.

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式；解分式方程.

【專題】數(shù)形結(jié)合；一次函數(shù)及其應(yīng)用：應(yīng)用意識.

【分析】(1)①把X=2代入解析式即可得a的值：

②③按要求描點，連線即可；

(2)觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；

(3)①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案.

【解答】解：(1)①列表：當(dāng)x=2時，2=丁殳丁-|2|=1,

|2I

故答案為：1;

②描點，③連線如下：

第21頁共76頁

故答案為：丫=丁2丁-1x1的圖象關(guān)于y軸對稱（答案不唯一）；

IXI

（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)y=5時，x=l或x=-l,

■16-|x|=5的解是x=l或x=-1,

IxI

故答案為：x=1或x=-1;

②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)XW-2或x22時，yWl,

???丁旦丁-|x|W1的解集是xW-2或x22,

IxI

故答案為：*W-2或心2.

【點評】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象.

★變式訓(xùn)練★--------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實質(zhì)

1.（2022?大荔縣三模）如圖是一次函數(shù)y=3x+n的圖象，則關(guān)于x的一次方程3x+n=0

【考點】一次函數(shù)與一元一次方程.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力.

第22頁共76頁

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得出一次函數(shù)y=3x+n與y軸的交點坐標(biāo)是（0,2）,把坐標(biāo)

代入函數(shù)解析式，求出n,再求出方程的解即可.

【解答】解：從圖象可知：一次函數(shù)y=3x+n與y軸