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向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算第1課時(shí)新知探究問題1
平面向量除了幾何表示外,還可以用坐標(biāo)表示,向量的坐標(biāo)表示在解決向量的加、減、數(shù)乘和向量共線等問題上為我們帶來了很大的便利.那么如何用向量的坐標(biāo)來表示向量數(shù)量積的運(yùn)算呢?新知探究向量的坐標(biāo)表示與向量的數(shù)量積在平面直角坐標(biāo)系中,分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量之后,如果對于平面內(nèi)的向量,有,則(x,y)就是向量的坐標(biāo),記作
=(x,y).而且,是單位正交基底,這就是說,ya·e2xa·e1e1e2O因此,類似的,有,即也就是說,在單位正交基底下的坐標(biāo)為新知探究問題2設(shè)
=(x1,y1),
=(x2,y2),能否用的坐標(biāo)表示出?由向量坐標(biāo)的定義可知,存在單位正交基底使得因此,從而,新知探究在平面直角坐標(biāo)系中,如果A(x1,y1),B(x2,y2),則問題2設(shè)
=(x1,y1),
=(x2,y2),能否用的坐標(biāo)表示出?特別的從而因此新知探究1.在平面直角坐標(biāo)系中,分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量之后,如果對于平面內(nèi)的向量,有,則(x,y)就是向量的坐標(biāo),記作2.設(shè)則3.在平面直角坐標(biāo)系中,如果A(x1,y1),B(x2,y2),則新知探究問題3設(shè)
=(x1,y1),
=(x2,y2),能否用的坐標(biāo)表示出?解答:因?yàn)榈某湟獥l件是,因此新知探究問題3設(shè)
=(x1,y1),
=(x2,y2),能否用的坐標(biāo)表示出?這就是說,利用向量的坐標(biāo)與向量的數(shù)量積,可以方便地表達(dá)出向量垂直的條件.設(shè)
=(x1,y1),
=(x2,y2),則?x1x2+y1y2=0.初步應(yīng)用例1
已知
=(3,-1),=(1,-2),求解答:由題意可知:又因?yàn)?,所以初步?yīng)用利用向量的數(shù)量積求兩個(gè)非零向量夾角的步驟:利用兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的數(shù)量積;求出兩個(gè)向量的模;由求出兩個(gè)向量夾角的余弦值;在[0,π]范圍內(nèi)根據(jù)的值確定兩個(gè)非零向量的夾角初步應(yīng)用例2
已知a=(2,-1),b=(1,-1),求(a+2b)·(a-3b).解答:a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.初步應(yīng)用進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí),要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系:|a|2=a·a;(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.初步應(yīng)用例3
已知點(diǎn)A(1,2),B(3,4),C(5,0),求∠BAC的余弦值.解答:因?yàn)椋剑?-1,4-2)=(2,2),=(5,-1,0-2)=(4,-2),所以,
=2×4+2×(-2)=4因此:初步應(yīng)用例4
已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求證:證明:因?yàn)?/p>
=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3)所以:
=(1,1)·(-3,3)=1×(-3)+1×3=0因此初步應(yīng)用通過計(jì)算兩非零向量的數(shù)量積為0達(dá)到證明垂直的目的,即?x1x2+y1y2=0.練習(xí)練習(xí):第85頁練習(xí)A1
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