向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算第1課時(shí)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算第1課時(shí)新知探究問題1

平面向量除了幾何表示外，還可以用坐標(biāo)表示，向量的坐標(biāo)表示在解決向量的加、減、數(shù)乘和向量共線等問題上為我們帶來了很大的便利．那么如何用向量的坐標(biāo)來表示向量數(shù)量積的運(yùn)算呢？新知探究向量的坐標(biāo)表示與向量的數(shù)量積在平面直角坐標(biāo)系中，分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量之后，如果對于平面內(nèi)的向量，有，則（x，y）就是向量的坐標(biāo)，記作

＝（x，y）．而且，是單位正交基底，這就是說，ya·e2xa·e1e1e2O因此，類似的，有，即也就是說，在單位正交基底下的坐標(biāo)為新知探究問題2設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標(biāo)表示出？由向量坐標(biāo)的定義可知，存在單位正交基底使得因此，從而，新知探究在平面直角坐標(biāo)系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），則問題2設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標(biāo)表示出？特別的從而因此新知探究1．在平面直角坐標(biāo)系中，分別給定與x軸、y軸正方向相同的單位向量之后，如果對于平面內(nèi)的向量，有，則（x，y）就是向量的坐標(biāo)，記作2．設(shè)則3．在平面直角坐標(biāo)系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），則新知探究問題3設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標(biāo)表示出？解答：因?yàn)榈某湟獥l件是，因此新知探究問題3設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐標(biāo)表示出？這就是說，利用向量的坐標(biāo)與向量的數(shù)量積，可以方便地表達(dá)出向量垂直的條件．設(shè)

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），則?x1x2＋y1y2＝0．初步應(yīng)用例1

已知

＝（3，－1），＝（1，－2），求解答：由題意可知：又因?yàn)?，所以初步?yīng)用利用向量的數(shù)量積求兩個(gè)非零向量夾角的步驟：利用兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的數(shù)量積；求出兩個(gè)向量的模；由求出兩個(gè)向量夾角的余弦值；在[0，π]范圍內(nèi)根據(jù)的值確定兩個(gè)非零向量的夾角初步應(yīng)用例2

已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），求（a＋2b）·（a－3b）．解答：a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10．初步應(yīng)用進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：|a|2＝a·a；（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2；（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．初步應(yīng)用例3

已知點(diǎn)A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的余弦值．解答：因?yàn)椋剑?－1，4－2）＝（2，2），＝（5，－1，0－2）＝（4，－2），所以，

＝2×4＋2×（－2）＝4因此：初步應(yīng)用例4

已知點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求證：證明：因?yàn)?/p>

＝（2，3）－（1，2）＝（1，1），＝（－2，5）－（1，2）＝（－3，3）所以：

＝（1，1）·（－3，3）＝1×（－3）＋1×3＝0因此初步應(yīng)用通過計(jì)算兩非零向量的數(shù)量積為0達(dá)到證明垂直的目的，即?x1x2＋y1y2＝0．練習(xí)練習(xí)：第85頁練習(xí)A1