安徽省部分學校2023-2024學年高三下學期春季階段性檢測數(shù)學試題

安徽省普通高中高三春季階段性檢測數(shù)學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合和，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，根據(jù)集合的交補運算求解.【詳解】，所以，所以.故選：C2.復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得得答案.【詳解】，所以復數(shù)在復平面內對應的點位于第二象限.故選：B3.已知非零向量，滿足，設甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充要條件B.甲是乙的充分條件但不是必要條件C.甲是乙的必要條件但不是充分條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】將平方轉化為數(shù)量積，根據(jù)可得乙等價于，即甲、乙互為充要條件.【詳解】乙:等價于，即，因為，所以，所以乙等價于，即，所以甲、乙互為充要條件.故選：A4.某研究機構通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，教師的工作效率E與工作年數(shù)、勞累程度有關，并建立了數(shù)學模型，已知李老師工作了20年，根據(jù)上述公式，與工作10年時相比，如果他的工作效率不變，則他現(xiàn)在的勞累程度是工作10年時勞累程度的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】【分析】設現(xiàn)在的勞累程度是，工作10年時的勞累程度是，根據(jù)給定信息列出等式計算即得.【詳解】設李老師現(xiàn)在的勞累程度是，工作10年時的勞累程度是，依題意，，所以.故選：B5.已知數(shù)列中，，，且當時，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用，得出數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，從而得到，即可求出結果.【詳解】因為①，所以②，①②得，即有，所以，即數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，又，，所以，得到，故選：D.6.設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，在與中，由余弦定理求出，根據(jù)求出，進而求得的面積.【詳解】設，在中，，在中，，所以，解得，因為，所以，所以的面積為.故選：C7.已知拋物線，過C的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為W，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設，代入拋物線方程兩式相減可得，進而求得，由求得值.【詳解】設，則兩式相減，可得，所以，即，所以，所以，代入直線，得，所以，所以，解得.故選：B8.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過構造函數(shù)，，，利用導數(shù)與函數(shù)的單調性間的關系，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間，利用單調性即可比較出函數(shù)值的大小，從而求出結果.【詳解】令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調遞增，所以，即，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調遞增，所以，即，所以，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，即在在區(qū)間上單調遞增，所以，即，所以，綜上，，故選：D.【點睛】關鍵點點晴：通過構造函數(shù)，，，將比較大小轉化成函數(shù)值的大小，再對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，求出函數(shù)的單調區(qū)間，利用單調性即可解決問題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某專業(yè)飼料市場研究機構統(tǒng)計得到2023年19月和2022年同期的豆粕價格走勢圖如圖所示，則（）A.2023年19月的豆粕價格僅有4個月低于2022年同期B.從極差來看，2022年19月的豆粕價格比2023年同期波動范圍更大C.2023年19月的豆粕價格的中位數(shù)為2.30D.2022年19月的豆粕價格的平均數(shù)低于2.30【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的折線圖，結合極差、中位數(shù)、平均數(shù)的意義逐項判斷即得.【詳解】對于A，2023年3月、4月、5月、6月、7月的豆粕價格低于2022年同期，A錯誤；對于B，2022年的極差約為0.6，2023年的極差約為0.4，B正確；對于C，2023年19月的豆粕價格的中位數(shù)是3月的數(shù)據(jù)，小于2.30，C錯誤；對于D，2022年3月、4月、9月的豆粕價格均高于2.30，且與2.30的差不大于0.2，而其余月份豆粕價格均低于2.30，且1月、2月的豆粕價格與2.30的差分別大于0.4，0.2，因此2022年19月的豆粕價格的平均數(shù)低于2.30，D正確.故選：BD10.如圖，在平行六面體中，底面為正方形，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，分別是線段，的中點，則（）A. B.平面C.與所成角的余弦值為 D.與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，建立空間直角坐標系，利用向量法對選項A、C和D逐一分析判斷即可得出結果，對于選項B，通過條件得到，再利用線面平行的判定定理即可得出結果.【詳解】如圖，取中點，中點，連接，因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知，故可建立如圖所示的空間直角坐系，又棱長均為，，則，所以，又，所以，對于選項A，因為，得，所以，即有，故選項A正確，對于選項B，因為是線段的中點，又是與的交點，則為的中點，所以，又面，面，所以平面，故選項B正確，對于選項C，因為，，設與所成的角為，則，故選項C錯誤，對于選項D，易知平面的一個法向量為，又，設與平面所成的角為，則，故選項D正確，故選：ABD.11.已知橢圓的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，上頂點為D，P是E上異于A，B的一個動點，若，則（）A.E的離心率為 B.直線PA與PB的斜率之積為C.滿足的點P有4個 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)求得離心率，根據(jù)關系求得判斷B，根據(jù)關系判斷C，設，計算的范圍判斷D.【詳解】對于A，設橢圓的半焦距為，離心率為，因為，所以，左邊分子分母同時除以，得，解得，故A正確;對于B，設，因為，所以，則，故B錯誤;對于C，因為，所以的上、下頂點在以為直徑的圓內，故該圓與E有4個交點，因此滿足的點有4個，故C正確;對于的方程可寫為，設，則，當時取等號，則，故D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：橢圓的左、右頂點分別為A，B，P是E上異于A，B的一個動點，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而有，再利用導數(shù)的幾何意義，即可求出結果.【詳解】因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，得到，當時，，，所以滿足意義，故，所以，故，又，所以曲線在點處的切線方程為，故答案為：.13.某商場搞抽獎活動，將30副甲品牌耳機和20副乙品牌耳機放入抽獎箱中，讓顧客從中隨機抽1副，兩個品牌的耳機外包裝相同，耳機的顏色都只有黑色和白色，記事件“抽到白色耳機”，“抽到乙品牌耳機”，若，，則抽獎箱中甲品牌的黑色耳機有__________副.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)求出乙品牌耳機中白色耳機的數(shù)目，通過設出甲品牌的黑色耳機副，根據(jù)表示出副白色耳機中15副乙品牌耳機所占的比例，求解方程即得.【詳解】設抽獎箱中甲品牌的黑色耳機有副，則白色耳機有副.因，而乙品牌耳機共有20副，故乙品牌耳機中白色耳機有副，于是抽獎箱里共有白色耳機副，又，則，解得：.故答案為：10.14.若正四面體的頂點都在一個表面積為的球面上，過點且與平行的平面分別與棱交于點，則空間四邊形的四條邊長之和的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件求出正四面體的棱長為，設，利用幾何關系得到空間四邊形的四條邊長之和，即可求出結果.【詳解】如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球，設正四面體的棱長為，所以正方體的邊長為，易知正方體的外接球直徑為體對角線的長，又，所以正四面體的半徑，依題有，得到，即正四面體的棱長為，因為面，面面，面，所以，設因為，則，，在中，因為，所以，在中，，，則，所以空間四邊形的四條邊長之和，又，當時，，故答案為：.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于設出后，利用幾何關系得出，，，從而得出空間四邊形的四條邊長之和，轉化成求的最小值來解決問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某大棚種植戶通過長期觀察統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)去年本地市場中黃瓜每天的收購價格X（元）服從正態(tài)分布，規(guī)定收購價格在內的為“合理價格”.（1）從去年隨機抽取10天，記這10天中黃瓜的收購價格是“合理價格”的天數(shù)為Y，求；（2）該大棚種植戶為家鄉(xiāng)的農產品做了5次直播帶貨，成交額y（萬元）如下表所示：第x次直播帶貨12345成交額y（萬元）912172127若用最小二乘法得到的y關于x的線性回歸方程為，預計該大棚種植戶第7次直播帶貨的成交額為多少萬元.附：若，則，.【答案】（1）8.186；（2）35.2萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布求出收購價格是“合理價格”概率，再利用二項分布的期望公式計算即得.（2）根據(jù)給定的數(shù)表，求出樣本點中心，求出回歸直線方程，再進行數(shù)據(jù)估計即可.【小問1詳解】由，得，則收購價格是“合理價格”的概率，依題意，，所以.【小問2詳解】依題意，，于是，解得，則線性回歸方程為，當時，，所以預計該大棚種植戶第7次直播帶貨的成交額為35.2萬元.16.如圖，等邊三角形與正方形所在平面垂直，且，，與的交點為D，平面.（1）求線段的長度；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取線段的中點，連接，由線面平行性質得，求得的長度；（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量進而求得夾角的余弦值.【小問1詳解】取線段的中點，連接，則，又，所以.所以四點共面.由平面平面平面，平面，可得，所以四邊形為平行四邊形，故.小問2詳解】取的中點，連接，，在等邊三角形中，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則取.設平面的法向量為，則取.設平面與平面的夾角為，所以，平面與平面夾角的余弦值.17.已知等差數(shù)列的前n項和為，，，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且.（1）求和的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關系求的通項公式；根據(jù)等比數(shù)列基本量計算求的通項公式；（2）用裂項求和法求奇數(shù)項和，用錯位相減求和法求偶數(shù)項和，證得結論.【小問1詳解】設的公差為.因為，所以當時，，兩式相減，得，因為，所以，所以，又，得，所以.設的公比為，由條件知，得，又，所以.【小問2詳解】根據(jù)題意，在前項中，奇數(shù)項之和偶數(shù)項之和，，所以，所以，故.18.已知雙曲線（，）的左頂點為，過點的動直線l交C于P，Q兩點（均不與A重合），當l與x軸垂直時，.（1）求C的方程；（2）若直線AP和AQ分別與直線交于點M和N，證明：為定值.【答案】（1）（2）為定值63，證明過程見解析【解析】【分析】（1）由題意得，并代入求出，根據(jù)求出，得到答案；（2）直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出，同理得到，結合平面向量數(shù)量積公式，代入兩根之和，兩根之積得到.【小問1詳解】由題意得，故，令得，解得，由于，故，解得，所以C方程為；【小問2詳解】直線l交C于P，Q兩點（均不與A重合），故直線l的斜率不為0，設直線l方程為，聯(lián)立得，設，則且，解得，，直線，令得，同理可得，故，則.為定值.【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19.已知函數(shù).（1）若，分析的單調性；（2）若，證明：在，內各恰有一個零點，并且這兩個零點互為相反數(shù).【答案】（1）在上單調遞增（2）證明見解析【解析】【分析】（1）判斷的符號得的單調性；（2）分析的單調性得在，內各恰有一個零點，設為函數(shù)在內的零點，證明也是的零點即可.【小問1詳解】若，則.設，則，令，得，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增.【小問2詳解】.設，則，令，解得