拋物線（課件）高二數(shù)學(xué)（2020選擇性）

2.4拋物線第2章

圓錐曲線教師xxx滬教版（2020）選擇性必修第一冊拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的性質(zhì)

0102CONTANTS目錄拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程01情景導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，今天我們類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法，研究另一類圓錐曲線——拋物線．(2)雙曲線的離心率的范圍是e＞1;(3)當(dāng)e=1時，它的軌跡是什么？(1)橢圓的離心率范圍為0<e<1;拋物線拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程作圖1：

作定點(diǎn)F，定直線l(l不經(jīng)過定點(diǎn)F)，B為定直線上一個動點(diǎn)，過B作l2⊥l，線段BF的垂直平分線交l2于D點(diǎn).拖動B點(diǎn)，點(diǎn)D隨之運(yùn)動。思考：D點(diǎn)滿足什么條件？它的軌跡是什么形狀？思考：D點(diǎn)滿足什么條件？它的軌跡是什么形狀？在運(yùn)動過程中，始終有|BD|=|DF|，即點(diǎn)D與定點(diǎn)F的距離等于它到定直線的距離，點(diǎn)D的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似。如圖，我們在黑板上畫一條直線EF，然后取一個三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線．作圖2：問題1：|DA|是點(diǎn)D到直線EF的距離嗎？為什么？提示：是．AB是直角三角形的一條直角邊．問題2：點(diǎn)D在移動過程中，滿足什么條件？提示：|DA|＝|DC|.問題3：畫出的曲線是什么形狀？提示：拋物線．平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.拋物線定義定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn).定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.··FPlC集合表示：P＝{M||MF|＝d}，d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離對拋物線定義的認(rèn)識(1)定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”；一個動點(diǎn)，設(shè)為M；一個定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)；一條定直線l，叫做拋物線的準(zhǔn)線；一個定值，即點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離之比等于1.(2)注意定點(diǎn)F不在直線l上，否則動點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線.求軌跡方程★如何建立直角坐標(biāo)系？想一想？使方程形式足夠簡潔！··FPlC

從上述過程可以看到,拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程①的解,以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)與拋物線的焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離相等,即以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上,我們把方程①叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示焦點(diǎn)在x軸正半軸上,焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是的拋物線.

在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時,選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式?請?zhí)骄恐筇顚懴卤?圖像

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程1．標(biāo)準(zhǔn)方程特征：等號一邊是某個變量的完全平方，等號的另一邊是另一變量的一次項；2．標(biāo)準(zhǔn)方程中p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p的值永遠(yuǎn)大于零；3．四個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分：焦點(diǎn)在一次項變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當(dāng)系數(shù)為正時，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向.方法總結(jié)題型探究實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題解決最值問題在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題拋物線的性質(zhì)02

你認(rèn)為應(yīng)該研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？利用數(shù)形結(jié)合思想方法，從圖形、方程兩個角度．橢圓雙曲線類比拋物線1.范圍（代數(shù)法、幾何法兩種方法研究）

以

為例研究拋物線的幾何性質(zhì)

拋物線

y2=2px(p＞0)在

y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)，橫坐標(biāo)滿足不等式

x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．范圍拋物線上的點(diǎn)

，

，

．

幾何法代數(shù)法2.對稱性——關(guān)于

軸對稱P1(x,-y)

軸所以拋物線關(guān)于

軸對稱.

觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，拋物線

關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．

拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)．

3.頂點(diǎn)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

，拋物線關(guān)于

軸對稱，當(dāng)

時，

．拋物線的頂點(diǎn)就是原點(diǎn)．4.離心率

拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離

的比

，叫做拋物線的離心率.用

e

表示，由拋物線的定義可知e=1．(1)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;(3)拋物線只有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；(4)拋物線的離心率e是確定的，為１;【總結(jié)歸納】直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個切點(diǎn);當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).(2)若k=0,直線與拋物線有一個交點(diǎn),此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.探究點(diǎn)一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例1】

已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍.(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長.思路分析(1)利用拋物線的對應(yīng)性質(zhì)求解;(2)利用拋物線的對稱性及重心的性質(zhì)求解.解

(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,[0,+∞).題型探究(2)如圖所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)M.因為焦點(diǎn)F是△OAB的重心,規(guī)律方法

拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問題時具有廣泛的應(yīng)用,但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件.其中應(yīng)用最廣泛的是范圍、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo).在解題時,應(yīng)先注意開口方向、焦點(diǎn)位置,選準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程形式,然后利用條件求解.要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練1已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn),若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系【例2】

已知拋物線y2=2x,過點(diǎn)Q(2,1)作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),試求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.規(guī)律方法

1.解決中點(diǎn)弦問題的基本方法是點(diǎn)差法,因為用點(diǎn)差法求軌跡方程時用到了斜率,所以必須驗證斜率不存在的情況.2.直線與拋物線相交于兩點(diǎn),隱含著條件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式做準(zhǔn)備.3.設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,無交點(diǎn).變式訓(xùn)練2設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是(

)答案

C解析

由題知Q(-2,0),若直線l的斜率不存在,顯然不合題意.故直線l的斜率存在,設(shè)為k,則l的方程為y=k(x+2).當(dāng)k=0時顯然符合題意;當(dāng)k≠0時,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直線l斜率的取值范圍是[-1,1].探究點(diǎn)三拋物線的焦點(diǎn)弦問題【例3】

設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求直線l的方程;(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解

(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.規(guī)律方法

AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦,稱為焦點(diǎn)弦,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),過A,M,B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,拋物線的焦點(diǎn)弦有以下結(jié)論:答案

C探究點(diǎn)四與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)、定值問題【例4】

已知動圓經(jīng)過定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線AB的斜率為定值.(1)解

∵動圓經(jīng)過定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,∴E到點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.∴曲線C的方程為y2=4x.(2)證明

設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)+2.∵直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),∴l(xiāng)2的方程為y=-k(x-1)+2.規(guī)律方法