二項式定理（1）課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

6.3.1二項式定理（1）

1.今天是星期一，從明天起的第天是星期幾？820新課引入2.某人投資10萬元，年利率10％，按每年復利一次計算，10年后本息．這就得研究形如的展開式．？探究：展開下列式子，并回答下面的問題

(a+b)1=

,

(a+b)2=__________________(a+b)3=__________________1、若把(a+b)3看成(a+b)(a+b)(a+b)，你能用排列組合的思想來解釋a3這一項是怎么得到的嗎？

其他的項呢？2、參照上題的思想，試展開(a+b)4a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3完成教材P29探究a+b那么，將展開后，它的各項是什么呢？

容易看到，等號右邊的積的展開式的每一項，是從每個括號里任取一個字母的乘積，因而各項都是4次式，即展開式應有下面形式的各項：思考:現(xiàn)在來看一看上面各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，也就是看展開式中各項的系數(shù)是什么？在上面4個括號中：每個都不取b的情況有1種，即種，恰有1個取b的情況下有種，恰有2個取b的情況下有種，恰有3個取b的情況下有種，4個都取b的情況下有種，所以a4的系數(shù)是；所以a3b的系數(shù)是；

所以a2b2的系數(shù)是；

所以ab3的系數(shù)是；

所以b4的系數(shù)是.

(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=____________________，a+b(a+b)n

=?……請同學們歸納、猜想

!?一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

探究猜想：思考：的展開式怎么寫呢？按所取b的個數(shù)分類：

(1)不取b，得(2)取1個b，得(3)取2個b，得…………(k+1)取k個b，得…………(n+1)取n個b，得

將這n+1個式子相加，可得(分成n+1類)

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，二項展開式中的叫做二項式系數(shù).

它一共有n+1項，其中各項的系數(shù)用來表示，叫做二項展開式的通項，

即通項為展開式第r+1項:一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

1.系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)均為n；（2）各項里a的指數(shù)由n降到0，

b的指數(shù)由0升到n.3.項數(shù)規(guī)律：兩項和的n次冪的展開式共有n+1個項.定理特征新知探究:二項式定理：公式通項公式:集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，是二項式定理的核心，特定項系數(shù)、以及數(shù)、式的整除方面有廣泛應用.它在求展開式的某些特定項、注意：（2）叫做二項式系數(shù)，（1）展開式的第r+1項（通項）其中它與第r+1項的系數(shù)是兩個不同的概念.它可表示二項展開式中的任意項，只要n與r確定，該項也隨即確定；（3）表示的是第r+1項，而不是第r項；（4）中a，b

的位置不能顛倒，且它們指數(shù)和一定為n.二項式定理對任意的數(shù)a、b都成立，當然對特殊的a、b也成立！問題1：根據(jù)二項式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？問題2：(a－b)n(n∈N*)的展開式是什么？例1.應用探究求的展開式．

解：根據(jù)二項式定理，

（1）求(1+2x)7的展開式中的第4項的二項式系數(shù)以及第4項的系數(shù)；（2）例2教材P30例2改編解：（1）(1+2x)7展開式的第4項為∴第4項的二項式系數(shù)

的展開式中的三次項.第4項的系數(shù)是280.展開式中

的系數(shù)（3）求

（2）求的展開式中的三次項.例2教材P30例2改編由題意得∴

三次項是:解：應用探究解:求的展開式中的系數(shù)。的展開式的通項：根據(jù)題意，得因此，的系數(shù)是例2(3)通項公式變式:求展開式中的常數(shù)項.

解：依題意故在的展開式中的常數(shù)項是第9項，即（1）二項式定理是代數(shù)公式

和它是以多項式的乘法公式為基礎，以組合知識為工具，用不完全歸納法得到的，其證明可用數(shù)學歸納法．（2）對二項式定理的理解和掌握，要從項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項等方面的特征去熟悉他