高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課件（新高考新教材）素養(yǎng)提升微專題（五）截面問題

素養(yǎng)提升微專題(五)截面問題第一編規(guī)律方法1.平面截幾何體的三種基本方式:橫截、縱截、斜截.2.正方體的截面形狀:正方體的橫截面為正方形,縱截面為正方形或矩形,斜截面的情況如下:考查角度角度一

確定截面的形狀[例1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為AD的中點(diǎn),E為棱D1D上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體所得的截面的形狀不可能是(

)A.四邊形 B.等腰梯形C.五邊形 D.六邊形答案D

圖①

圖②

圖③

易錯(cuò)警示在判斷截面形狀時(shí),如果對截面與幾何體的各個(gè)面是否存在交線,交線是什么形狀,交線的位置等情況分析不清,容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤,因此要結(jié)合空間中線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理等進(jìn)行分析判斷.角度二

確定截面的個(gè)數(shù)[例2]已知四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面α去截此四棱錐,使得截面是平行四邊形,則這樣的平面α(

)A.不存在 B.只有1個(gè)C.恰有4個(gè) D.有無數(shù)多個(gè)答案D

解析

設(shè)平面PAB與平面PCD相交于直線m,平面PAD與平面PBC相交于直線n,由m,n確定的平面為β,作α與β平行,且與四條側(cè)棱相交,交點(diǎn)分別為A1,B1,C1,D1,則由面面平行的性質(zhì)定理,可知A1B1∥m∥D1C1,A1D1∥n∥B1C1,從而得截面必為平行四邊形.由于平面α可以上下移動(dòng),故這樣的平面α有無數(shù)多個(gè).故選D.角度三

計(jì)算截面圖形的面積或周長[例3-1]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則以該正方體的一條體對角線的中點(diǎn)O為球心,為半徑的球與正方體的表面的交線長為

.

[例3-2]已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1,球O與該正方體的各個(gè)面相切,則平面ACB1截此球所得的截面的面積為

.

答案A

解析

如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OA,OB.因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形,O為CD的中點(diǎn),所以O(shè)A⊥CD.同理OB⊥CD.又OA∩OB=O,所以CD⊥平面AOB.又AB?平面AOB,所以CD⊥AB.設(shè)平面α分別交AC,AD,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,H,連接EF,FG,GH,HE.因?yàn)镃D∥平面α,CD?平面ACD,平面ACD∩平面α=EF,所以CD∥EF.同理GH∥CD,EH∥AB,FG∥AB.所以EF∥GH,EH∥FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)锳B⊥CD,所以EF⊥EH,所以?EFGH為矩形.名師點(diǎn)析解決截面面積的最值問題的方法首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及截面所在平面滿足的條件,確定截面的形狀,然后合理設(shè)置變量,將截面面積用變量表示出來,最后利用均值不等式或函數(shù)的性質(zhì)求出最值,即可求得截面面積的最值.對點(diǎn)演練1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱B1B,B1C1的中點(diǎn),G是棱CC1的中點(diǎn),則過線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為(

)A.矩形

B.三角形C.正方形 D.等腰梯形答案D

解析

如圖,取BC的中點(diǎn)H,連接AH,GH,D1G,AD1,由題意易知GH∥EF,AH∥A1F,GH=AD1,GH∥AD1,AH=D1G,所以A,H,G,D1四點(diǎn)共面,四邊形AHGD1為等腰梯形.因?yàn)镚H?平面A1EF,EF?平面A1EF,所以GH∥平面A1EF.同理AH∥平面A1EF.又GH∩AH=H,GH,AH?平面AHGD1,所以平面AHGD1∥平面A1EF.所以過線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為等腰梯形.故選D.2.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)與對角線AC1垂直的平面α截該正方體所得截面多邊形為M,則關(guān)于多邊形M的說法正確的是(

)A.M可能為正三角形B.M可能為正方形C.若M為六邊形,則面積為定值D.若M為六邊形,則周長為定值答案AD

解析

對于A,由△A1BD為正三角形,AC1⊥平面A1BD,可知M可能為正三角形,故A正確.對于B,平面α要么與正方體的三個(gè)面相交,要么與正方體的六個(gè)面相交,從而截面為三角形或六邊形,故B錯(cuò)誤.對于C,D,如圖,當(dāng)截面M為六邊形EFGHIJ時(shí),由于截面A1BD與截面EFGHIJ都與直線AC1垂直,因此它們平行,所以GH∥A1B,同理GF∥B1C,設(shè)3.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段BC1上的點(diǎn),過點(diǎn)A1的平面α與直線PD垂直,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面面積的最小值是(

)答案C

解析

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),D(0,1,0),D1(0,1,1).設(shè)點(diǎn)P(1,t,t),其中0≤t≤1.4.如圖,正方體ABCD-A