2024年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷01（甲卷理科專用）（含答案與解析）

第第頁試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科專用）01數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）全國甲卷的使用將接近于尾聲，往后會是新高考的題型。全國甲卷的題型會相對穩(wěn)定，考試題型為12（單選題）＋4（填空題）＋6（解答題），其中結(jié)構(gòu)不良型試題是對接新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及解三角形與數(shù)列兩大模塊，以解答題的方式進(jìn)行考查。2024年的對于三視圖、線性規(guī)劃及程序框圖圖的考察也將近有尾聲，題目難度變化不大，但側(cè)重于考察學(xué)生運(yùn)算能力與分析能力。1.2023年的真題中就有開放性的題目，重在提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，如本卷第15題2.加強(qiáng)知識間的綜合考察仍將是2024的熱點(diǎn)，如本卷第7題，第8題，第10題3.結(jié)合2024年九省聯(lián)考試題的結(jié)構(gòu)及其特點(diǎn)，預(yù)測2024年新高考地區(qū)也將出現(xiàn)新定義問題的大題，例如本卷第17題，以新定義為背景與數(shù)列相結(jié)合。4.同時(shí)應(yīng)特別注意以數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識、方法等融為一體，注意歸納題目意思。對于數(shù)學(xué)文化的知識會結(jié)合排列組合、數(shù)列及對數(shù)（指數(shù)）函數(shù)知識進(jìn)行考察，難度不大，但計(jì)算能力為考察重點(diǎn)（如第9題），將中國的航天事業(yè)與排列組合有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，其中a、b為實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，3．已知流程圖如圖所示，該程序運(yùn)行后，則輸出的值為（

）A．28 B．40 C．54 D．704．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則（

）A．24 B．28 C．30 D．326．長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人的近視率約為．現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為（

）A． B． C． D．7．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，截該雙曲線的一條漸近線所得的弦長為（

）A． B． C． D．9．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排4人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）．A．14種 B．16種 C．18種 D．20種10．將函數(shù)的圖象向左平移單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為A． B． C． D．11．在三棱錐中，，且，，則該三棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．12．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，的平分線與x軸交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)H，則等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為．14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝3x－2y＋1的最大值為．15.在中，角A，，所對的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長可能為．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）15．在棱長為6的正四面體中，已知點(diǎn)為該四面體的外接球的球心，則以為球心，為半徑的球面與該四面體的表面形成的交線長為．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（本小題滿分12分）若數(shù)列中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”．(1)已知數(shù)列為4，3，1，2，數(shù)列為1，2，6，24，分別判斷，是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；18．（本小題滿分12分）如圖，是正方形，直線底面，，是的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.19．（本小題滿分12分）為進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)健康有序發(fā)展，財(cái)政部、工業(yè)和信息化部、科技部，發(fā)展改革委聯(lián)合發(fā)布了《財(cái)政部工業(yè)和信息化部科技部發(fā)展改革委關(guān)于2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼政策的通知》，進(jìn)一步明確了2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼政策有關(guān)要求.為了解消費(fèi)者對新能源汽車的購買意愿與財(cái)政補(bǔ)貼幅度的關(guān)系，隨機(jī)選取200人進(jìn)行調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車購買時(shí)補(bǔ)貼大于1.5萬6535購買時(shí)補(bǔ)貼不大于1.5萬4555(1)能否有95%的把握認(rèn)為新能源汽車的購買意愿與購買時(shí)財(cái)政補(bǔ)貼幅度有關(guān)？(2)若從購買時(shí)補(bǔ)貼大于1.5萬的樣本中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，從這20人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查家族收入情況，記表示這3人中愿意購買新能源汽車的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線交拋物線的弦長為2．(1)求拋物線N的方程；(2)點(diǎn)和點(diǎn)為兩定點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線N上的兩動點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)Q在直線OM上，求△ABC面積的最大值．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù),.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與零點(diǎn)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最小值.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線與直線圍成的三角形的面積；(2)若，且不等式的解集是，求的值.

絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科專用）01數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）全國甲卷的使用將接近于尾聲，往后會是新高考的題型。全國甲卷的題型會相對穩(wěn)定，考試題型為12（單選題）＋4（填空題）＋6（解答題），其中結(jié)構(gòu)不良型試題是對接新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及解三角形與數(shù)列兩大模塊，以解答題的方式進(jìn)行考查。2024年的對于三視圖、線性規(guī)劃及程序框圖圖的考察也將近有尾聲，題目難度變化不大，但側(cè)重于考察學(xué)生運(yùn)算能力與分析能力。1.2023年的真題中就有開放性的題目，重在提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，如本卷第15題2.加強(qiáng)知識間的綜合考察仍將是2024的熱點(diǎn)，如本卷第7題，第8題，第10題3.結(jié)合2024年九省聯(lián)考試題的結(jié)構(gòu)及其特點(diǎn)，預(yù)測2023年新高考地區(qū)也將出現(xiàn)新定義問題的大題，例如本卷第17題，以新定義為背景與數(shù)列相結(jié)合。4.同時(shí)應(yīng)特別注意以數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識、方法等融為一體，注意歸納題目意思。對于數(shù)學(xué)文化的知識會結(jié)合排列組合、數(shù)列及對數(shù)（指數(shù)）函數(shù)知識進(jìn)行考察，難度不大，但計(jì)算能力為考察重點(diǎn)（如第9題），將中國的航天事業(yè)與排列組合有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知集合A中元素表示被3除余1的自然數(shù)，又，則，故選A2．設(shè)，其中a、b為實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因?yàn)閍，，，所以，，解得，．故選：C3．已知流程圖如圖所示，該程序運(yùn)行后，則輸出的值為（

）

A．28 B．40 C．54 D．70【答案】B【解析】因?yàn)?，，第一次運(yùn)行，；第二次運(yùn)行，；第三次運(yùn)行，；第四次運(yùn)行，；第五次運(yùn)行，.終止運(yùn)行，所以輸出的值為40，故選B.4．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴（提示：見模長，取平方），∴，∴，∴．∵，∴，∴，，∴，故選C．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則（

）A．24 B．28 C．30 D．32【答案】C【解析】因?yàn)?，代入得：，即，解得，故，故選C.6．長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人的近視率約為．現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他是近視記為事件A，且，從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他每天玩手機(jī)超過記為事件B，且由題可知，，所以從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為：.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.7．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，或，若，則，這與矛盾，故，所以或，故“是“”的必要不充分條件.故選：C.8．以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，截該雙曲線的一條漸近線所得的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由雙曲線可得，∵雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，故所得弦長.故選：D.9．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排4人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）．A．14種 B．16種 C．18種 D．20種【答案】C【解析】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的4人中選取3人，剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個(gè)，剩下5人中選取4人進(jìn)入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種可能.故選：C.10．將函數(shù)的圖象向左平移單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得函數(shù)，因?yàn)?所以，由，得,解得，或，所以所求橫坐標(biāo)之和為，故選C.11．在三棱錐中，，且，，則該三棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以為等邊三角形，，在中，利用余弦定理得：，解得：，同理可得：，因?yàn)椋晒垂啥ɡ砟娑ɡ砜傻?，，所以，，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，所以，由勾股定理得：，故，所以四棱錐的表面積.故選：A12．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，的平分線與x軸交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)H，則等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】如圖，根據(jù)題意，有，且．由角平分線定理和橢圓的定義，有因此是以為斜邊的直角三角形，進(jìn)而可得，因此．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為．【答案】【解析】易知函數(shù)定義域?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)對定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，，對定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，即.14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝3x－2y＋1的最大值為．【答案】【解析】畫出線性約束條件所表示的可行域，如圖，由，得，由，得，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)所代表的直線過點(diǎn)時(shí)，的值最大，且.15.在中，角A，，所對的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長可能為．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個(gè)值均可）【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，進(jìn)而可得周長的取值范圍.【詳解】由余弦定理可得，因?yàn)榻茿為銳角，則，可得，所以的周長.15．在棱長為6的正四面體中，已知點(diǎn)為該四面體的外接球的球心，則以為球心，為半徑的球面與該四面體的表面形成的交線長為．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，的中心，則，，．因?yàn)椋?，．設(shè)球面與平面形成的交線上一點(diǎn)，則，即，所以．所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖2：設(shè)此圓與的邊交于，與邊交于，于，于，由得同理又所以所以球面與底面形成的交線是三段圓心角為的圓弧，所以結(jié)合對稱性可知球面與該四面體的表面形成的交線長度為．解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（本小題滿分12分）若數(shù)列中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”．(1)已知數(shù)列為4，3，1，2，數(shù)列為1，2，6，24，分別判斷，是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；【解】（1）是“等比源數(shù)列”，不是“等比源數(shù)列”．中“1，2，4”構(gòu)成等比數(shù)列，所以是“等比源數(shù)列”；中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能構(gòu)成等比數(shù)列，且這四者的其他次序也不構(gòu)成等比數(shù)列，所以不是“等比源數(shù)列”．（2）不是“等比源數(shù)列”．假設(shè)是“等比源數(shù)列”，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，即中存在的，，三項(xiàng)成等比數(shù)列，也就是，即，，兩邊時(shí)除以得，等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)．所以數(shù)列中不存在三項(xiàng)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列．綜上可得不是“等比源數(shù)列”．18．（本小題滿分12分）如圖，是正方形，直線底面，，是的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.【解】（1）連接，交于，連接四邊形為正方形

為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)

平面，平面

平面（2）平面

直線與平面所成角即為

設(shè)，則

19．（本小題滿分12分）為進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)健康有序發(fā)展，財(cái)政部、工業(yè)和信息化部、科技部，發(fā)展改革委聯(lián)合發(fā)布了《財(cái)政部工業(yè)和信息化部科技部發(fā)展改革委關(guān)于2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼政策的通知》，進(jìn)一步明確了2022年新能源汽車推廣應(yīng)用財(cái)政補(bǔ)貼政策有關(guān)要求.為了解消費(fèi)者對新能源汽車的購買意愿與財(cái)政補(bǔ)貼幅度的關(guān)系，隨機(jī)選取200人進(jìn)行調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車購買時(shí)補(bǔ)貼大于1.5萬6535購買時(shí)補(bǔ)貼不大于1.5萬4555(1)能否有95%的把握認(rèn)為新能源汽車的購買意愿與購買時(shí)財(cái)政補(bǔ)貼幅度有關(guān)？(2)若從購買時(shí)補(bǔ)貼大于1.5萬的樣本中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，從這20人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查家族收入情況，記表示這3人中愿意購買新能源汽車的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解】（1）2×2列聯(lián)表如下：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車合計(jì)大于1.5萬6535100不大于1.5萬4555100合計(jì)11090200可得，所以有95%的把握認(rèn)為對新能源汽車的購買意愿與購買時(shí)財(cái)政補(bǔ)貼幅度有關(guān).（2）依題意，分層隨機(jī)抽樣的抽樣比為，則有，，所以在愿意購買新能源汽車的人中抽取13人，在不愿意購買新能源汽車的人中抽取7人，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123故（人），所以的數(shù)學(xué)期望為人.20．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線交拋物線的弦長為2．(1)求拋物線N的方程；(2)點(diǎn)和點(diǎn)為兩定點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線N上的兩動點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)Q在直線OM上，求△ABC面積的最大值．【解】（1）解：由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，在方程中，令，可得，所以弦長為，即，解得，所以拋物線C的方程為．（2）解：由（1）知拋物線的方程為，設(shè)，直線AB的斜率為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，由可知直線OM的方程為，設(shè)，所以，所以，又，所以，即得，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，所以，所以，即，由根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得，則，又由點(diǎn)到直線的距離為，所以，記，因?yàn)椋?，所以，令，可得，令，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即有最大值為.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù),.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與零點(diǎn)；(