2023-2024學年四川省廣安市高考數(shù)學一模試卷含解析

2023-2024學年四川省廣安市高考數(shù)學一模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3202．在中，，則（）A． B． C． D．3．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．4．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．5．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．7．已知集合，，則（）A． B．C． D．8．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．10．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或11．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為_.14．若直線與直線交于點，則長度的最大值為____．15．若，且，則的最小值是______.16．函數(shù)在的零點個數(shù)為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，若點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）過點的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點，為坐標原點，求△面積的最大值及此時直線的方程.18．（12分）在平面直角坐標系中，點，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當時，求的值．19．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200（2）調查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，（1）分別求出，的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為證明：．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.2、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計算的值．【詳解】因為所以為的重心，所以,所以,所以，因為，所以，故選A．【點睛】對于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點，且滿足，那么為的重心．3、A【解析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應概率.【詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.4、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關系以及二次函數(shù)的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎題.6、A【解析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調性，同增異減以及采用排除法，可得結果.【詳解】當時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當時，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【點睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關鍵在于對復合函數(shù)單調性的理解，記住常用的結論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復合函數(shù)單調性同增異減，屬中檔題.7、C【解析】

求出集合，計算出和，即可得出結論.【詳解】，，，.故選：C.【點睛】本題考查交集和并集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關于原點對稱，排除選項A，B；當時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關鍵是能夠利用函數(shù)單調性將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量的大小關系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.10、B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.11、C【解析】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.12、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結合為函數(shù)的一條對稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù)，由輔助角公式化簡可得，因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸，代入可得，即，化簡可解得，即，所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度可得，則，故選：C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應用，三角函數(shù)對稱軸的應用，三角函數(shù)圖像平移變換的應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)滿足約束條件，畫出可行域，將目標函數(shù)，轉化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點，此時，目標函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標函數(shù)，轉化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點此時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為故答案為：-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關系;考查數(shù)形結合思想和運算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關鍵;屬于中檔題.15、8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【點睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.16、【解析】

求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點個數(shù)．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質和函數(shù)的零點，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為，此時直線的方程為.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；（2）設出直線方程后，采用（表示原點到直線的距離）表示面積，最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解：（Ⅰ）由定義法可得，點的軌跡為橢圓且，.因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設直線的方程為與橢圓交于點，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得，即，.面積可表示為令，則，上式可化為，當且僅當，即時等號成立，因此面積的最大值為，此時直線的方程為.【點睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：（1）已知點，若點滿足且，則的軌跡是橢圓；（2）已知點，若點滿足且，則的軌跡是雙曲線.18、（1）；（2）.【解析】

（1）在已知極坐標方程兩邊同時乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標方程；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y由韋達定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得．【詳解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲線C的直角坐標方程為：x2＝4y．（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題．19、（1）見解析，有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計算出，與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結論；（2）由題意得概率為古典概型，根據(jù)古典概型概率公式計算可得所求.【詳解】（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經(jīng)常閱讀的有100人，不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經(jīng)常閱讀的有5人，記為、、、、；不經(jīng)常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應用，利用列舉法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可，屬于中檔題.20、(1)（2）證明見解析【解析】

（1）因為，所以，所以，即，又因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，則，即.設的公差為，則，所以（），則（），所以，因此，綜上，．（2）設數(shù)列的前n項和為，則兩式相減得，所以，設則，所以.21、(1)(2)【解析】

（1）當時，，當或時，，所以可轉化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，所以，所以，即，即．當時，因為，所以，不符合題意．當時，解可得，因為當時，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范