4.2.3 平行四邊形的對角線的性質(zhì) 浙教版數(shù)學(xué)八年級下冊素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第4章平行四邊形4.2平行四邊形及其性質(zhì)第3課時(shí)平行四邊形的對角線的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)平行四邊形對角線的性質(zhì)1.【教材變式·P87例4】如圖,平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且AC⊥AB,垂足為點(diǎn)A,若AB=4,AC=6,則BD的長為()A.6B.8C.10D.12第1題圖第2題圖2.如圖,平行四邊形ABCD的周長為80,△BOC的周長比△AOB的周長多20,則BC的長為()A.40B.10C.20D.303.【一題多變·已知一邊和兩對角線長,求證直角三角形】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,其對角線相交于點(diǎn)O,OA=3,BD=8,AB=5.△AOB是直角三角形嗎?請說明理由.[變式·已知一邊和兩對角線長,求面積]如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC=6,BD=10,AB=4,求平行四邊形ABCD的面積.4.【一題多變·過對角線交點(diǎn)直線與一對邊相交,證線段相等】如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O.過點(diǎn)O的直線EF,分別交BA,DC的延長線于E,F,求證:AE=CF.[變式·對角線延長線上兩段線段相等,證線段相等]如圖,在?ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在CA和AC的延長線上,且AE=CF,連結(jié)DE,BF.求證:DE=BF.能力提升全練5.【面積法】(2023浙江金華金東光南教育集團(tuán)月考,9,★★☆)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥BC,垂足為E,AB=5,AC=2,BD=26,則AE的長為()A.103B.25C.536.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=12,點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連結(jié)PA,以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC,連結(jié)PQ,則PQ長的最小值為(提示:在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)()A.6B.43C.12D.637.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E,連結(jié)EC.若△CDE的周長為5,則AD+CD=.

8.在①DE=BF;②AF=CE;③OE=OF這三個(gè)條件中,選擇一個(gè)合適的條件補(bǔ)充在下面橫線上,并完成證明過程.已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F在AC上,且(填寫序號).

求證:DE∥BF.素養(yǎng)探究全練9.在?ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,分別過點(diǎn)A,C作直線l的垂線,垂足分別為E,F,連結(jié)OE,OF.(1)如圖①,若直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)O,試判斷線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并證明;(2)若直線l不經(jīng)過點(diǎn)O,請結(jié)合圖②判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.圖①圖②

第4章平行四邊形4.2平行四邊形及其性質(zhì)第3課時(shí)平行四邊形的對角線的性質(zhì)答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∴BO=DO,AO=CO=12∵AB⊥AC,AB=4,∴BO=AO2+A∴BD=2BO=10.故選C.2.D∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵△BOC的周長比△AOB的周長多20,∴OB+OC+BC-20=OB+OA+AB,∴BC-AB=20,①∵平行四邊形ABCD的周長為80,∴AB+BC+CD+DA=2(AB+BC)=80,∴BC+AB=40,②由①+②,可得2BC=60,∴BC=30.3.解析△AOB是直角三角形.理由如下:∵四邊形ABCD是平行四邊形,BD=8,∴OB=OD=12∵OA=3,OB=4,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.[變式]解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,且AC=6,BD=10,∴OA=OC=3,OB=OD=5,∵AB=4,∴AB2+AO2=OB2,∴△ABO是直角三角形,且∠OAB=90°,即AB⊥AC,∴平行四邊形ABCD的面積為AB·AC=4×6=24.4.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∴AO=OC,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO,又∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF.[變式]證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF,在△DOE和△BOF中,OE=OF,∴△DOE≌△BOF(SAS),∴DE=BF.能力提升全練5.D本題考查平行四邊形對角線的性質(zhì),要求其中的線段長,可用面積法求解.∵四邊形ABCD為平行四邊形,AC=2,BD=26,∴OA=12AC=1,OB=12BD=∵AB=5,∴AB2+OA2=OB2∴△AOB為直角三角形,且∠BAO=90°,∴BC=AC2+A∵S△ABC=12AC·AB=12BC∴12×2×5=12×3AE,∴AE=256.D設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O,如圖,作OP'⊥BC于點(diǎn)P'.∵四邊形PAQC是平行四邊形,∴OA=OC,OP=OQ.易知當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí),OP的長最小,此時(shí)PQ長最小,在Rt△ABC中,∠B=60°,∴∠ACB=30°,∴BC=2AB=24,∴AC=BC2-AB2=2∵OP'⊥BC,∠ACB=30°,∴OP'=12OC=33∴PQ長的最小值=2OP'=63.故選D.7.答案5解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,∵△CDE的周長為5,∴CE+CD+ED=5,∴AD+CD=AE+ED+CD=CE+ED+CD=5.8.解析可選的條件為②或③.若選②AF=CE.證明:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,∠ADB=∠CBD,在△DAE和△BCF中,AD=CB,∴△DAE≌△BCF(SAS),∴∠ADE=∠CBF,∴∠EDO=∠FBO,∴DE∥BF.若選③OE=OF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OD=OB,在△DOE和△BOF中,DO=BO,∴△DOE≌△BOF(SAS),∴∠ODE=∠OBF,∴DE∥BF.素養(yǎng)探究全練9.解析(1)OE=OF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEO=∠CFO=90°,在△AEO和△CFO中,∠∴△AEO≌△CFO(A